2024屆湖南省師大附中博才實驗中學(xué)數(shù)學(xué)九上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

2024屆湖南省師大附中博才實驗中學(xué)數(shù)學(xué)九上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．對于函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A．這個函數(shù)的圖象位于第一、第三象限B．這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C．當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大D．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小2．如圖，、、分別切于、、點，若圓的半徑為6，，則的周長為（）A．10 B．12 C．16 D．203．關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣10＝0的一個根為2，則b的值為（）A．1 B．2 C．3 D．74．下列標(biāo)志中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．5．如圖，在中，，，點從點沿邊，勻速運動到點，過點作交于點，線段，，，則能夠反映與之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．6．下列計算中，結(jié)果是的是A． B． C． D．7．﹣2的絕對值是（）A．2 B． C． D．8．如圖，AB為⊙O的弦，AB＝8，OC⊥AB于點D，交⊙O于點C，且CD＝1，則⊙O的半徑為（）A．8.5 B．7.5 C．9.5 D．89．從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是（）A． B．C． D．10．如圖，線段AB兩個端點的坐標(biāo)分別為A（6，6），B（8，2），以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則線段CD的長為（）A．2 B． C．3 D．11．將拋物線y＝2x2向左平移3個單位得到的拋物線的解析式是()A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3C．y＝2(x+3)2 D．y＝2(x﹣3)212．一個不透明的盒子中裝有5個紅球和1個白球，它們除顏色外都相同．若從中任意摸出一個球，則下列敘述正確的是（）A．摸到紅球是必然事件B．摸到白球是不可能事件C．摸到紅球與摸到白球的可能性相等D．摸到紅球比摸到白球的可能性大二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，直線與兩坐標(biāo)軸相交于兩點，點為線段上的動點，連結(jié)，過點作垂直于直線，垂足為，當(dāng)點從點運動到點時，則點經(jīng)過的路徑長為__________．14．二次函數(shù)y＝x2的圖象如圖所示，點A0位于坐標(biāo)原點，點A1、A、A、…、A在y軸的正半軸上，點B、B、B、…、B在二次函數(shù)y＝x2位于第一象限的圖象上，若△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3、…、△A2017B2018A2018都為等邊三角形，則△ABA的邊長＝____________．15．如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，AB＝2km，從A測得燈塔P在北偏東60°的方向，從B測得燈塔P在北偏東45°的方向，則燈塔P到海岸線l的距離為_____km．16．二次函數(shù)（a＜0）圖象與x軸的交點A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3，1，與y軸交于點C，下面四個結(jié)論：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函數(shù)圖象上的兩點，則y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，則b=﹣．其中正確的有______（請將結(jié)論正確的序號全部填上）17．《算學(xué)寶鑒》中記載了我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步？大意是“一個矩形田地的面積等于864平方步，它的寬比長少12步，問長與寬各多少步？”若設(shè)矩形田地的寬為x步，則所列方程為__________．18．有兩名學(xué)員小林和小明練習(xí)射擊，第一輪10槍打完后兩人打靶的環(huán)數(shù)如圖所示，通常新手的成績不太穩(wěn)定，那么根據(jù)圖中的信息，估計小林和小明兩人中新手是_______.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，與軸的另一個交點為A(－2，0)．（1）求二次函數(shù)的解析式（2）在拋物線上是否存在一點P，使△AOP的面積為3，若存在請求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．20．（8分）為了解某小區(qū)居民使用共享單車次數(shù)的情況，某研究小組隨機采訪該小區(qū)的10位居民，得到這10位居民一周內(nèi)使用共享單車的次數(shù)統(tǒng)計如下：使用次數(shù)05101520人數(shù)11431（1）這10位居民一周內(nèi)使用共享單車次數(shù)的中位數(shù)是次，眾數(shù)是次．（2）若小明同學(xué)把數(shù)據(jù)“20”看成了“30”，那么中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)中不受影響的是．（填“中位數(shù)”，“眾數(shù)”或“平均數(shù)”）（3）若該小區(qū)有2000名居民，試估計該小區(qū)居民一周內(nèi)使用共享單車的總次數(shù)．21．（8分）體育文化公司為某學(xué)校捐贈甲、乙兩種品牌的體育器材，甲品牌有A、B、C三種型號，乙品牌有D、E兩種型號，現(xiàn)要從甲、乙兩種品牌的器材中各選購一種型號進(jìn)行捐贈．

（1）下列事件是不可能事件的是．A．選購乙品牌的D型號B．既選購甲品牌也選購乙品牌C．選購甲品牌的A型號和乙品牌的D型號D．只選購甲品牌的A型號（2）寫出所有的選購方案（用列表法或樹狀圖）；（3）如果在上述選購方案中，每種方案被選中的可能性相同，那么A型器材被選中的概率是多少？22．（10分）如圖，在中，連接，點,分別是的點（點不與點重合），,相交于點.(1)求，的長；(2)求證：～；(3)當(dāng)時，請直接寫出的長.23．（10分）綜合與實踐背景閱讀：旋轉(zhuǎn)就是將圖形上的每一點在平面內(nèi)繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動，其中“旋”是過程，“轉(zhuǎn)”是結(jié)果．旋轉(zhuǎn)作為圖形變換的一種，具備圖形旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形是全等圖形等性質(zhì)．所以充分運用這些性質(zhì)是在解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)問題的關(guān)?。畬嵺`操作：如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．問題解決：（1）①當(dāng)α＝0°時，＝；②當(dāng)α＝180°時，＝．（2）試判斷：當(dāng)0°≤a＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．問題再探：（3）當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點共線時，求得線段BD的長為．24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CD，（點D在⊙O外）AC平分∠BAD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若DC、AB的延長線相交于點E，且DE＝12，AD＝9，求BE的長．25．（12分）某汽車專賣店經(jīng)銷某種型號的汽車.已知該型號汽車的進(jìn)價為萬元/輛，經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該型號汽車售價定為萬元/輛時，平均每周售出輛；售價每降低萬元，平均每周多售出輛.（1）當(dāng)售價為萬元/輛時，平均每周的銷售利潤為___________萬元；（2）若該店計劃平均每周的銷售利潤是萬元，為了盡快減少庫存，求每輛汽車的售價．26．如圖，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中點，連接AD與BE交于點F，求證：△AFE∽△BCE．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解題分析】試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，可由題意知k=4＞0，其圖像在一三象限，且在每個象限y隨x增大而減小，它的圖像即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.故選C點睛：反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)：1、當(dāng)k＞0時，圖像在一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x增大而減?。?、當(dāng)k＜0時，圖像在二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x增大而增大.3、反比例函數(shù)的圖像即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.2、C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，得到直角三角形OAP，根據(jù)勾股定理求得PA的長；根據(jù)切線長定理，得AD=CD，CE=BE，PA=PB，從而求解．【題目詳解】∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C點，

∴AD=CD，CE=BE，PA=PB，OA⊥AP．

在直角三角形OAP中，根據(jù)勾股定理，得AP==8，

∴△PDE的周長為2AP=1．

故選C．【題目點撥】此題綜合運用了切線長定理和勾股定理．3、C【解題分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=2代入方程得到關(guān)于b的一次方程，然后解一次方程即可．【題目詳解】解：把x=2代入程x2+bx﹣10=0得4+2b﹣10=0解得b=1．故選C．點睛：本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．4、C【解題分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【題目詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤；

B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形．故錯誤；

C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故正確；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤．

故選：C．【題目點撥】本題考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．5、D【分析】分兩種情況：①當(dāng)P點在OA上時，即2≤x≤2時；②當(dāng)P點在AB上時，即2＜x≤1時，求出這兩種情況下的PC長，則y=PC?OC的函數(shù)式可用x表示出來，對照選項即可判斷．【題目詳解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，AB=，∴OB=1．①當(dāng)P點在OA上時，即2≤x≤2時，PC=OC=x，S△POC=y=PC?OC=x2，是開口向上的拋物線，當(dāng)x=2時，y=2；OC=x，則BC=1-x，PC=BC=1-x，S△POC=y=PC?OC=x（1-x）=-x2+2x，是開口向下的拋物線，當(dāng)x=1時，y=2．綜上所述，D答案符合運動過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式．故選：D．【題目點撥】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決這類問題要先進(jìn)行全面分析，根據(jù)圖形變化特征或動點運動的背景變化進(jìn)行分類討論，然后動中找靜，寫出對應(yīng)的函數(shù)式．6、D【解題分析】根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法的運算法則計算后利用排除法求解.【題目詳解】解：A、a2+a4≠a6，不符合；B、a2?a3=a5，不符合；C、a12÷a2=a10，不符合；D、(a2)3=a6，符合.故選D.【題目點撥】本題考查了合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方．需熟練掌握且區(qū)分清楚，才不容易出錯.7、A【解題分析】分析：根據(jù)數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值的定義，在數(shù)軸上，點﹣2到原點的距離是2，所以﹣2的絕對值是2，故選A．8、A【解題分析】根據(jù)垂徑定理得到直角三角形，求出的長，連接，得到直角三角形，然后在直角三角形中計算出半徑的長.【題目詳解】解：如圖所示：連接，則長為半徑.∵于點，∴，∵在中，，∴，∴，故答案為A.【題目點撥】本題主要考查垂徑定理和勾股定理.根據(jù)垂徑定理“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧”得到一直角邊，利用勾股定理列出關(guān)于半徑的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.9、B【分析】根據(jù)圓周角定理（直徑所對的圓周角是直角）求解，即可求得答案．【題目詳解】∵直徑所對的圓周角等于直角，∴從直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是B．故選B．【題目點撥】本題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10、D【分析】直接利用A，B點坐標(biāo)得出AB的長，再利用位似圖形的性質(zhì)得出CD的長．【題目詳解】解：∵A（6，6），B（8，2），∴AB＝＝2，∵以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，∴線段CD的長為：×2＝．故選：D．【題目點撥】本題考查了位似圖形，解題的關(guān)鍵是熟悉位似圖形的性質(zhì)．11、C【解題分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，從而選出答案.【題目詳解】y＝2x2向左平移3個單位得到的拋物線的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案選C.【題目點撥】本題主要考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變換規(guī)律，解本題的要點在于熟知“左加右減，上加下減”的變化規(guī)律.12、D【解題分析】根據(jù)可能性的大小，以及隨機事件的判斷方法，逐項判斷即可．【題目詳解】∵摸到紅球是隨機事件，∴選項A不符合題意；∵摸到白球是隨機事件，∴選項B不符合題意；

∵紅球比白球多，∴摸到紅球比摸到白球的可能性大，∴選項C不符合題意，D符合題意．故選：D．【題目點撥】此題主要考查了可能性的大小，以及隨機事件的判斷，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的特點可得A、B兩點坐標(biāo)，由題意可得點M的路徑是以AB的中點N為圓心，AB長的一半為半徑的，求出的長度即可．【題目詳解】解：∵AM垂直于直線BP，∴∠BMA=90°，∴點M的路徑是以AB的中點N為圓心，AB長的一半為半徑的，連接ON，∵直線y=-x+4與兩坐標(biāo)軸交A、B兩點，∴OA=OB=4，∴ON⊥AB，∴∠ONA=90°，∵在Rt△OAB中，AB=，∴ON=，∴故答案為：．【題目點撥】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及了兩坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)及點的運動軌跡，難點在于根據(jù)∠BMA=90°，判斷出點M的運動路徑是解題的關(guān)鍵，同學(xué)們要注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力．14、1【分析】分別過B1，B2，B3作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C，設(shè)A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，則AB1=a，BB2=b，CB3=c，再根據(jù)所求正三角形的邊長，分別表示B1，B2，B3的縱坐標(biāo)，逐步代入拋物線y=x2中，求a、b、c的值，得出規(guī)律．【題目詳解】解：分別過B1，B2，B3作y軸的垂線，垂足分別為A、B、C，

設(shè)A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，則AB1=a，BB2=b，CB3=c,在正△A0B1A1中，B1（a，），

代入y=x2中，得=×a2，解得a=1，即A0A1=1，

在正△A1B2A2中，B2（b，1+），

代入y=x2中，得1+=×b2，解得b=2，即A1A2=2，

在正△A2B3A3中，B3（c，3+），

代入y=x2中，得3+=×c2，解得c=3，即A2A3=3，

…

依此類推由此可得△A2017B1A1的邊長=1，

故答案為：1．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)正三角形的性質(zhì)表示點的坐標(biāo)，利用拋物線解析式求正三角形的邊長，得到規(guī)律．15、【分析】作PD⊥AB，設(shè)PD=x，根據(jù)∠CBP=∠BPD=45°知BD=PD=x、AD=AB+BD=2+x，由sin∠PAD=列出關(guān)于x的方程，解之可得答案．【題目詳解】如圖所示，過點P作PD⊥AB，交AB延長線于點D，設(shè)PD＝x，∵∠PBD＝∠BPD＝45°，∴BD＝PD＝x，又∵AB＝2，∴AD＝AB+BD＝2+x，∵∠PAD＝30°，且sin∠PAD＝，∴，解得：x＝1+，即船P離海岸線l的距離為（1+）km，故答案為1+．【題目點撥】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)建合適的直角三角形及三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用．16、①③．【解題分析】解：①∵a＜0，∴拋物線開口向下，∵圖象與x軸的交點A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3，1，∴當(dāng)x=﹣4時，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；故①正確；②∵圖象與x軸的交點A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3，1，∴拋物線的對稱軸是：x=﹣1，∵P（﹣5，y1），Q（，y2），﹣1﹣（﹣5）=4，﹣（﹣1）=3.5，由對稱性得：（﹣4.5，y3）與Q（，y2）是對稱點，∴則y1＜y2；故②不正確；③∵=﹣1，∴b=2a，當(dāng)x=1時，y=0，即a+b+c=0，3a+c=0，a=﹣c；④要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，當(dāng)AB=BC=4時，∵AO=1，△BOC為直角三角形，又∵OC的長即為|c|，∴c2=16﹣9=7，∵由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴c=，與b=2a、a+b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得b=﹣；同理當(dāng)AB=AC=4時，∵AO=1，△AOC為直角三角形，又∵OC的長即為|c|，∴c2=16﹣1=15，∵由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上，∴c=，與b=2a、a+b+c=0聯(lián)立組成解方程組，解得b=﹣；同理當(dāng)AC=BC時，在△AOC中，AC2=1+c2，在△BOC中BC2=c2+9，∵AC=BC，∴1+c2=c2+9，此方程無實數(shù)解．經(jīng)解方程組可知有兩個b值滿足條件．故⑤錯誤．綜上所述，正確的結(jié)論是①③．故答案為①③．點睛：本題考查了等腰三角形的判定、方程組的解、拋物線與坐標(biāo)軸的交點、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)a＜0，拋物線開口向下；拋物線的對稱軸為直線x=；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，c），與x軸的交點為（x1，0）、（x2，0）．17、【分析】如果設(shè)矩形田地的寬為x步，那么長就應(yīng)該是（x+12）步，根據(jù)面積為864，即可得出方程．【題目詳解】解：設(shè)矩形田地的寬為x步，那么長就應(yīng)該是（x+12）步，根據(jù)面積公式，得：；故答案為：.【題目點撥】本題為面積問題，考查了由實際問題抽象出一元二次方程，掌握好面積公式即可進(jìn)行正確解答；矩形面積=矩形的長×矩形的寬．18、小林【題目詳解】觀察圖形可知，小林的成績波動比較大，故小林是新手．

故答案是：小林．三、解答題（共78分）19、（4）y＝－x3－3x；（3）（4，-4），（4，-4）．【分析】（4）把點（3，3）和點A（-3，3）分別代入函數(shù)關(guān)系式來求b、c的值；（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，-x3-3x），利用三角形的面積公式得到-x3-3x=±4．通過解方程來求x的值，則易求點P的坐標(biāo)．【題目詳解】解：（4）∵二次函數(shù)y=-x3+bx+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點（3，3）∴c=3．又∵二次函數(shù)y=-x3+bx+c的圖象過點A（-3，3）∴-（-3）3-3b+3=3，∴b=-3．∴所求b、c值分別為-3，3；（3）存在一點P，滿足S△AOP=4．設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，-x3-3x）∵S△AOP=4∴×3×|-x3-3x|=4∴-x3-3x=±4．當(dāng)-x3-3x=4時，此方程無解；當(dāng)-x3-3x=-4時，解得x4=-4，x3=4．∴點P的坐標(biāo)為（-4，-4）或（4，-4）．【題目點撥】本題考查了拋物線與x軸的交點．解（4）題時，實際上利用待定系數(shù)法來求拋物線的解析式．20、（1）10,10；（2）中位數(shù)和眾數(shù)；（3）22000【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義分別求解可得；

（2）由中位數(shù)和眾數(shù)不受極端值影響可得答案；

（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中居民的平均使用次數(shù)即可得．【題目詳解】解：（1）這10位居民一周內(nèi)使用共享單車次數(shù)的中位數(shù)是：（次），根據(jù)使用次數(shù)可得：眾數(shù)為10次；（2）把數(shù)據(jù)“20”看成了“30”，那么中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)中不受影響的是中位數(shù)和眾數(shù)，

故答案為：中位數(shù)和眾數(shù)；（3）平均數(shù)為（次），（次）估計該小區(qū)居民一周內(nèi)使用共享單車的總次數(shù)為22000次．【題目點撥】本題考查的是平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義及其求法，牢記定義是關(guān)鍵．21、（1）D；（2）見解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)不可能事件和隨機隨機的定義進(jìn)行判斷；

（2）畫樹狀圖展示所有6種等可能的結(jié)果數(shù)；

（3）找出A型器材被選中的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【題目詳解】（1）只選購甲品牌的A型號為不可能事件．

故答案為D；

（2）畫樹狀圖為：

共有6種等可能的結(jié)果數(shù)；

（3）A型器材被選中的結(jié)果數(shù)為2，

所以A型器材被選中的概率=．【題目點撥】此題考查列表法與樹狀圖法，解題關(guān)鍵在于利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．22、（1）AD=10，BD=10；（2）見解析；（3）AG=．【分析】（1）由可證明△ABC∽△DAC，通過相似比即可求出AD，BD的長；（2）由（1）可證明∠B=∠DAB，再根據(jù)已知條件證明∠AFC=∠BEF即可；（3）過點C作CH∥AB，交AD的延長線于點H，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，計算出CH和AH的值，由已知條件得到≌，設(shè)AG=x，則AF=15-x，HG=18-x，再由平行線的性質(zhì)得到，表達(dá)出即可解出x，即AG的值．【題目詳解】解：（1）∵，∴，又∵∠ACB=∠DCA，∴△ABC∽△DAC，∴，即，解得：CD=8，AD=10，∴BD=BC-CD=18-8=10，∴AD=10，BD=10；（2）由（1）可知，AD=BD=10，∴∠B=∠DAB，∵∠AFE=∠B+∠BEF，∴∠AFC+∠CFE=∠B+∠BEF，∵，∴∠AFC=∠BEF，又∵∠B=∠DAB，∴～；（3）如圖，過點C作CH∥AB，交AD的延長線于點H，∴，即，解得：CH=12，HD=8，∴AH=AD+HD=18，若，則≌；∴BF=AG，設(shè)AG=x，則AF=15-x，HG=18-x，∵CH∥AB，∴，即，解得：，（舍去）∴AG=．【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟悉相似三角形的判定，并靈活作出輔助線．23、（1）①，②；（2）無變化，證明見解析；（2）6或．【分析】問題解決：（1）①根據(jù)三角形中位線定理可得：BD=CDBC=6，AE=CEAC=2，即可求出的值；②先求出BD，AE的長，即可求出的值；（2）證明△ECA∽△DCB，可得；問題再探：（2）分兩種情況討論，由矩形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可求BD的長．【題目詳解】問題解決：（1）①當(dāng)α=0°時．∵BC=2AB=3，∴AB=6，∴AC6，∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴BD=CDBC=6，AE=CEAC=2，DEAB，∴．故答案為：；②如圖1．，當(dāng)α=180°時．∵將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，∴CD=6，CE=2，∴AE=AC+CE=9，BD=BC+CD=18，∴．故答案為：．（2）如圖2，，當(dāng)0°≤α＜260°時，的大小沒有變化．證明如下：∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．問題再探：（2）分兩種情況討論：①如圖2．．∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，∴AD3．∵AD=BC，AB=DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=6②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P．∵AC=6，CD=6，CD⊥AD，∴AD3．在Rt△CDE中，DE==2，∴AE=AD﹣DE=3﹣2=9，由（2）可得：，∴BD．綜上所述：BD=6或．故答案為：6或．【題目點撥】本題是幾何變換綜合題，考查了勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，利用分類討論思