八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何重難點(diǎn)知識(shí)及數(shù)學(xué)方法：專(zhuān)題05 全等三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的分類(lèi)討論（解析版）

專(zhuān)題05全等三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的分類(lèi)討論典例解析【知識(shí)點(diǎn)1：確定點(diǎn)的位置】例1-1．圖中的小正方形邊長(zhǎng)都相等，若，則點(diǎn)Q可能是圖中的（）A．點(diǎn)D B．點(diǎn)C C．點(diǎn)B D．點(diǎn)A【答案】A.【解析】解：觀察圖象可知△MNP≌△MFD．故答案為：A．例1-2．（2021·山東福山區(qū)期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣6，1），B（﹣2，1），C（﹣8，3），線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D（﹣1，6），E（﹣1，2）．若網(wǎng)格中有一點(diǎn)F，且以D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為_(kāi)_______________．【答案】（﹣3，8）或（﹣3，0）.【解析】解：∵A（﹣6，1），B（﹣2，1），C（﹣8，3），∴AB＝﹣2+6＝4，∵D（﹣1，6），E（﹣1，2），∴DE＝6﹣2＝4，∴DE＝AB，設(shè)第三頂點(diǎn)為F，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，分兩種情況：①如果△DEF≌ABC，DF＝AC，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，8）；②如果△DEF≌BAC，則EF＝AC，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣3，0）；故答案為：（﹣3，8）或（﹣3，0）．【變式1-1】（2020·甘肅甘州區(qū)月考）如圖，中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為如果要使以點(diǎn)A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與全等（非重合），那么點(diǎn)D的坐標(biāo)可以是__________.【答案】（4，-1）、（-1,3）、（-1，-1）.【解析】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上方時(shí)，坐標(biāo)為（-1，-1）當(dāng)點(diǎn)D在邊AB下方時(shí)，坐標(biāo)為（4，-1）或（-1,3）故答案為：（4，-1）、（-1,3）、（-1，-1）．【變式1-2】（2019·河南扶溝期中）在直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)A（3，0），B（0，4），若有一個(gè)直角三角形與Rt△ABO全等且它們只有一條公共直角邊，請(qǐng)寫(xiě)出這些直角三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)（不要求寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）．（至少寫(xiě)出三個(gè)）【答案】（﹣3，4）；(-3,0)；（0，﹣4）；（3，﹣4）；（3,4）.【知識(shí)點(diǎn)2：動(dòng)點(diǎn)與全等存在性】例2-1．（2020·武漢市月考）如圖，已知線段AB＝20米，MA⊥AB于點(diǎn)A，MA＝6米，射線BD⊥AB于B，P點(diǎn)從B點(diǎn)向A運(yùn)動(dòng)，每秒走1米，Q點(diǎn)從B點(diǎn)向D運(yùn)動(dòng)，每秒走3米，P、Q同時(shí)從B出發(fā)，則出發(fā)x秒后，在線段MA上有一點(diǎn)C，使△CAP與△PBQ全等，則x的值為（）A．5 B．5或10 C．10 D．6或10【答案】A.【解析】解：由題意，BP=x，AP=20﹣x，BQ=3x，∠A=∠B=90°當(dāng)△CAP≌△PBQ時(shí)，AP=BQ，則20﹣x=3x，解得：x=5；當(dāng)△CAP≌△QBP時(shí)，AP=BP，則：20﹣x=x，解得：x=10，當(dāng)x=10時(shí)，AC=BQ=30米，但MA=5米，故x=10不符合題意，舍去，故答案為：A．例2-2．（2020·廣州市番禺期中）如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=20cm，BC=16cm，點(diǎn)E在邊AB上，AE=6cm，如果點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)在線段BC上以2cm/s的速度向點(diǎn)C向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上從點(diǎn)C到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)時(shí)間t為（）s時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等．A．1 B．1或4 C．1或2 D．3【答案】B.【解析】解：∵AB=20，AE=6，BC=16，∴BE=14，BP=2t，PC=16-2t，當(dāng)△BPE≌△CQP時(shí)，有BE=PC，則14=16-2t，解得t=1，當(dāng)△BPE≌△CPQ時(shí)，有BP=PC，則2t=16-2t，解得t=4．故答案為：B．例2-3．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C，BC＝16厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為_(kāi)_______厘米/秒時(shí)，能夠在某一時(shí)刻使△BPD與△CQP全等．【答案】4或6.【解析】解：設(shè)點(diǎn)Q的速度為x，則運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，CQ=xt，∵P點(diǎn)的速度為4，BC=16∴BP=4t，PC=（16-4t）又∵AB=AC=24，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)∴BD=AB=12∵∠B=∠C∴運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△BPD與△CQP全等共有兩種情況①當(dāng)△BPD≌△CQP時(shí)，則有BD=CP，BP=CQ即12=16-4t，4t=xt由4t=xt得，x=4．②當(dāng)△BPD≌△CPQ時(shí)，則有BD=CQ，BP=CP即12=xt，4t=16-4t∴t=2，x=6．故答案為：4或6．例2-4.（2020·黎平縣期中）如圖，，垂足為點(diǎn)，，，射線，垂足為點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以3厘米秒沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持，當(dāng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)___秒時(shí)，與全等．【答案】0，4，12，16.【解析】解：（1）設(shè)點(diǎn)E經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△DEB≌△BCA，此時(shí)AE=3t，

①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，

BE=AC，∴AE=AB-BE=24-12=12，∴3t=12，

∴t=4；

②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，

BE=AC，∴AE=AB+BE=24+12=36，∴3t=36，

∴t=12；

（2）設(shè)點(diǎn)E經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△EDB≌△BCA，此時(shí)AE=3t，

①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，

BE=AB，即24-3t=24，

∴t=0；

②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，

BE=AB，∴AE=AB+BE=24+24=48，∴3t=48，

∴t=16．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)E經(jīng)過(guò)0秒或4秒或12秒或16秒時(shí)，△DEB與△BCA全等．故答案為：0，4，12，16．【變式2-1】（2020·福建鯉城區(qū)期中）如圖，AB＝8cm，AC＝5cm，∠A＝∠B，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)在射線BD上運(yùn)動(dòng)，則△ACP與△BPQ全等時(shí)，的值為_(kāi)____________【答案】2或.【解析】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP＝2t，BP＝AB－AP＝8－2t，BQ＝xt，∵∠A＝∠B，∴CP和PQ是對(duì)應(yīng)邊，當(dāng)△ACP與△BPQ全等時(shí)，①AP＝BQ，即：2t＝xt，解得：x＝2，②AP＝PB，即：2t＝8－2t，解得：t＝2，此時(shí)，BQ＝AC，xt＝5，即：2x＝5，解得：x＝故答案為：2或．【變式2-2】（2021·江蘇泰興市期末）如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為_(kāi)_____厘米/秒時(shí)，能夠使與全等．【答案】3或.【解析】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則BP=3t，CP=8-3t，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB=10厘米，∴AE=BE=5厘米，∵∠B=∠C，∴①當(dāng)BE=CP=5，BP=CQ時(shí)，△BPE與△CQP全等，此時(shí)，5=8-3t，解得t=1，∴BP=CQ=3，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3÷1=3厘米/秒；②當(dāng)BE=CQ=5，BP=CP時(shí)，△BPE與△CQP全等，此時(shí)，3t=8-3t，解得t=，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為：5÷=厘米/秒；故答案為：3或．【變式2-3】（2020·湖南師大附中月考）如圖，ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相交．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為2cm/s和3cm/s，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開(kāi)始計(jì)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束．在某時(shí)刻分別過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)Q作PE⊥l于點(diǎn)E，QF⊥l于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則當(dāng)t＝_____秒時(shí)，PEC與QFC全等．【答案】2或或6.【解析】解：由題意得，AP＝2t，BQ＝3t，∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴CP＝6﹣2t，CQ＝8﹣3t，①如圖1，當(dāng)△PEC≌△CFQ時(shí)，則PC＝CQ，即6﹣2t＝8﹣3t，解得：t＝2，②如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q與P重合時(shí)，△PEC≌△QFC全等，則PC＝CQ，∴6﹣2t＝3t﹣8．解得：t＝，③如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q與A重合時(shí)，△PEC≌△CFQ，則PC=CQ，即2t-6=6，解得：t=6，綜上所述：當(dāng)t＝2秒或秒或6秒時(shí)，△PEC與△QFC全等，故答案為：2或或6．【變式2-4】（2020·遼寧望花區(qū)期末）如圖，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，若使得△ACP與△BPQ全等，則x的值為_(kāi)____．【答案】2或．【解析】解：當(dāng)△ACP≌△BPQ，∴AP＝BQ，∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，∴P，Q的運(yùn)動(dòng)速度也相同，∴x＝2．當(dāng)△ACP≌△BQP時(shí)，AC＝BQ＝4，PA＝PB，∴t＝1.5，∴x＝＝故答案為2或．【知識(shí)點(diǎn)3：綜合題型】例3-1．（2021·云南盤(pán)龍區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的邊在軸上，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，且點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）連接，當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積的一半時(shí)，求的值；（3）當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在軸上是否存在點(diǎn)，使與全等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2）或；（3）存在，或或或.【解析】解：（1）∵，∴，，∴，，∴A的坐標(biāo)是（0，4），C的坐標(biāo)是（3，0）（2）∵B的坐標(biāo)是（-5，0），A的坐標(biāo)是（0，4），C的坐標(biāo)是（3，0）∴，，①P在線段OB上，如圖，∵，∴解得t=1②當(dāng)P在射線OC上,∵，，∴解得t=9∴當(dāng)t=1或t=9時(shí)，△POA的面積等于△ABC面積的一半；（3）存在.①當(dāng)≌時(shí)，∴PO=AO，OC=OQ=3∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）②當(dāng)≌時(shí)，∴PO=CO，OQ=OA=4∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）綜上所述：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）或（0，4）或（0，-4）.例3-2.（2021·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）如圖，是直角坐標(biāo)系軸上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸正半軸運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，以為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）若軸，求的值；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)（不與重合）使得以、、為頂點(diǎn)的三角形和全等，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）1.5；（2）（8，?3），（3，7），（11，1）.【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖所示．∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，∴四邊形ABCO為長(zhǎng)方形，∴AO＝BC＝3．∵△APB為等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，∴∠OAP＝90°?∠PAB＝45°，∴△AOP為等腰直角三角形，∴OA＝OP＝3．∴t＝3÷2＝1.5（秒），故t的值為1.5；（2）當(dāng)t＝2時(shí)，M、P、B為頂點(diǎn)的三角形和△ABP全等，①如圖，若△ABP≌△MBP，則AP＝PM，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥OP于點(diǎn)D，∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA＝DM＝3，OP＝PD＝4，∴M（8，?3）．②如圖，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（3，7），③如圖，若△ABP≌△MPB，則△AOP≌△PNB≌△MCB，同理可求得M（11，1）．綜合以上可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8，?3），（3，7），（11，1）．【變式3-1】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A﹣C﹣B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B﹣C﹣A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以1和3的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過(guò)P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．問(wèn)：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，△PEC與△QFC全等？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或3.5或12秒時(shí)，△PEC與△QFC全等，理由見(jiàn)解析【解析】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，△PEC與△QFC全等，∵△PEC與△QFC全等，∴斜邊CP＝CQ，有四種情況：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，∴6﹣t＝8﹣3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此時(shí)P、Q重合，∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，∴t＝3.5；③P在BC上，Q在AC時(shí)，理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上時(shí)，P應(yīng)也在AC上，所以這種情況不存在.④當(dāng)Q到A點(diǎn)（和A重合），P在BC上時(shí)，∵CQ＝CP，CQ＝AC＝6，CP＝t﹣6，∴t﹣6＝6∴t＝12∵t＜14∴t＝12符合題意綜上所述，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1或3.5或12秒時(shí)，△PEC與△QFC全等．【變式3-2】（2020·江蘇江陰市月考）如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，直接寫(xiě)出經(jīng)過(guò)多少秒后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的那一條邊上相遇．【答案】見(jiàn)解析．【解析】解：（1）①△BPD與△CQP全等，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s，∴運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，BP=CQ=1cm，∵BC=6cm，∴CP=5cm，∵AB=10，D為AB的中點(diǎn)，∴BD=5，∴BD=CP，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP．②點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，則BP≠CQ，若△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，此時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)3cm，需3秒，而點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)5cm，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是cm/