山東省高考理科數(shù)試卷解析

2013年山東省高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題1．（5分）（2013?山東）復數(shù)z滿足（z﹣3）（2﹣i）=5（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復數(shù)為（）A．2+iB．2﹣iC．5+iD．5﹣i考點：復數(shù)的基本概念．專題：計算題．分析：利用復數(shù)的運算法則求得z，即可求得z的共軛復數(shù)．解答：解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故選D．點評：本題考查復數(shù)的基本概念與基本運算，求得復數(shù)z是關鍵，屬于基礎題．2．（5分）（2013?山東）已知集合A={0，1，2}，則集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是（）A．1B．3C．5D．9考點：集合中元素個數(shù)的最值．專題：計算題．分析：依題意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，從而可得答案．解答：解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴當x=0，y分別取0，1，2時，x﹣y的值分別為0，﹣1，﹣2；當x=1，y分別取0，1，2時，x﹣y的值分別為1，0，﹣1；當x=2，y分別取0，1，2時，x﹣y的值分別為2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是5個．故選C．點評：本題考查集合中元素個數(shù)的最值，理解題意是關鍵，考查分析運算能力，屬于中檔題．3．（5分）（2013?山東）已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當x＞0時，，則f（﹣1）=（）A．﹣2B．0C．1D．2考點：函數(shù)的值．專題：計算題；函數(shù)的性質及應用．分析：利用奇函數(shù)的性質，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解答：解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，x＞0時，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故選A．點評：本題考查奇函數(shù)的性質，考查函數(shù)的求值，屬于基礎題．4．（5分）（2013?山東）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為（）A．B．C．D．考點：直線與平面所成的角．專題：空間角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱與底面垂直和線面角的定義可知，∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角，即為∠APA1為PA與平面ABC所成角．利用三棱錐的體積計算公式可得AA1，再利用正三角形的性質可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如圖所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1為PA與平面ABC所成角．∵==．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P為底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故選B．點評：熟練掌握三棱柱的性質、體積計算公式、正三角形的性質、線面角的定義是解題的關鍵．5．（5分）（2013?山東）函數(shù)y=sin（2x+φ）的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則φ的一個可能的值為（）A．B．C．0D．考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，函數(shù)在曲線上某點處的切線的斜率等于函數(shù)在該點處的導數(shù)，是中檔題．12．（5分）（2013?山東）設正實數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．則當取得最大值時，的最大值為（）A．0B．1C．D．3考點：基本不等式．專題：計算題；壓軸題；不等式的解法及應用．分析：依題意，當取得最大值時x=2y，代入所求關系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均為正實數(shù)，∴==≤=1（當且僅當x=2y時取“=”），∴=1，此時，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值為1．故選B．點評：本題考查基本不等式，由取得最大值時得到x=2y是關鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題．二、填空題13．（4分）（2013?山東）執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的?值為0.25，則輸出的n值為3．考點：程序框圖．專題：圖表型．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算并輸出n的值．解答：解：循環(huán)前，F(xiàn)0=1，F(xiàn)1=2，n=1，第一次循環(huán)，F(xiàn)0=1，F(xiàn)1=3，n=2，第二次循環(huán)，F(xiàn)0=2，F(xiàn)1=4，n=3，此時，滿足條件，退出循環(huán)，輸出n=3，故答案為：3．點評：本題主要考查了直到循環(huán)結構，根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結果，是算法這一模塊最重要的題型，屬于基礎題．14．（4分）（2013?山東）在區(qū)間[﹣3，3]上隨機取一個數(shù)x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率為．考點：幾何概型；絕對值不等式的解法．專題：不等式的解法及應用；概率與統(tǒng)計．分析：本題利用幾何概型求概率．先解絕對值不等式，再利用解得的區(qū)間長度與區(qū)間[﹣3，3]的長度求比值即得．解答：解：利用幾何概型，其測度為線段的長度．由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1可得①，或②，③．解①可得x∈?，解②可得1≤x＜2，解③可得x≥2．故原不等式的解集為{x|x≥1}，∴|在區(qū)間[﹣3，3]上隨機取一個數(shù)x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率為P==．故答案為：點評：本題主要考查了幾何概型，簡單地說，如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．15．（4分）（2013?山東）已知向量與的夾角為120°，且，．若，且，則實數(shù)λ=．考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量的模．專題：計算題；壓軸題；平面向量及應用．分析：利用，，表示向量，通過數(shù)量積為0，求出λ的值即可．解答：解：由題意可知：，因為，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案為：．點評：本題考查向量的數(shù)量積的應用，向量的垂直，考查轉化數(shù)學與計算能力．16．（4分）（2013?山東）定義“正數(shù)對”：ln+x=，現(xiàn)有四個命題：①若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=bln+a；②若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，則；④若a＞0，b＞0，則ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+2．其中的真命題有①③④（寫出所有真命題的序號）考點：命題的真假判斷與應用．專題：綜合題；壓軸題；新定義．分析：由題意，根據(jù)所給的定義及對數(shù)的運算性質對四個命題進行判斷，由于在不同的定義域中函數(shù)的解析式不一樣，故需要對a，b分類討論，判斷出每個命題的真假解答：解：對于①，由定義，當a≥1時，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有l(wèi)n+（ab）=bln+a；當a＜1時，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1時bln+a=0，所以此時亦有l(wèi)n+（ab）=bln+a．由上判斷知①正確；對于②，此命題不成立，可令a=2，b=，則ab=，由定義ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b；由此知②錯誤；對于③，當a≥b＞0時，≥1，此時≥0，當a≥b≥1時，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=，此時命題成立；當a＞1＞b時，ln+a﹣ln+b=lna，此時，故命題成立；同理可驗證當1＞a≥b＞0時，成立；當＜1時，同理可驗證是正確的，故③正確；對于④，可分a≤1，b≤1與兩者中僅有一個小于等于1、兩者都大于1三類討論，依據(jù)定義判斷出④是正確的故答案為①③④點評：本題考查新定義及對數(shù)的運算性質，理解定義所給的運算規(guī)則是解題的關鍵，本題考查了分類討論的思想，邏輯判斷的能力，綜合性較強，探究性強．易因為理解不清定義及忘記分類討論的方法解題導致無法入手致錯三、解答題17．（12分）（2013?山東）設△ABC的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．考點：余弦定理；同角三角函數(shù)間的基本關系；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦定理．專題：解三角形．分析：（1）利用余弦定理列出關于新，將b與cosB的值代入，利用完全平方公式變形，求出acb的值，與a+c的值聯(lián)立即可求出a與c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，進而求出cosA的值，所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．解答：解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，聯(lián)立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B為三角形的內角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A為銳角，∴cosA==，則sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．18．（12分）（2013?山東）如圖所示，在三棱錐P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ=2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH．（1）求證：AB∥GH；（2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．考點：二面角的平面角及求法；直線與平面平行的性質．專題：空間位置關系與距離；空間角．分析：（1）由給出的D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，利用三角形中位線知識及平行公理得到DC平行于EF，再利用線面平行的判定和性質得到DC平行于GH，從而得到AB∥GH；（2）由題意可知BA、BQ、BP兩兩相互垂直，以B為坐標原點建立空間直角坐標系，設出BA、BQ、BP的長度，標出點的坐標，求出一些向量的坐標，利用二面角的兩個面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．解答：（1）證明：如圖，∵C，D為AQ，BQ的中點，∴CD∥AB，又E，F(xiàn)分別AP，BP的中點，∴EF∥AB，則EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．又AB∥CD，∴AB∥GH；（2）由AQ=2BD，D為AQ的中點可得，三角形ABQ為直角三角形，以B為坐標原點，分別以BA、BQ、BP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設AB=BP=BQ=2，則D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F(xiàn)（0，0，1），因為H為三角形PBQ的重心，所以H（0，，）．則，，．設平面GCD的一個法向量為由，得，取z1=1，得y1=2．所以．設平面EFG的一個法向量為由，得，取z2=2，得y2=1．所以．所以=．則二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于．點評：本題考查了直線與平面平行的性質，考查了二面角的平面角及其求法，考查了學生的空間想象能力和思維能力，考查了計算能力，解答此題的關鍵是正確求出H點的坐標，是中檔題．19．（12分）（2013?山東）甲乙兩支排球隊進行比賽，先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是．設各局比賽結果相互獨立．（1）分別求甲隊3：0，3：1，3：2勝利的概率；（2）若比賽結果3：0或3：1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結果為3：2，則勝利方得2分，對方得1分，求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望．考點：離散型隨機變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計．分析：（1）甲隊獲勝有三種情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每種情形的最后一局肯定是甲隊勝，分別求出相應的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率公式求出甲隊獲得這次比賽勝利的概率；（2）X的取值可能為0，1，2，3，然后利用相互獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式解之即可．解答：解：（1）甲隊獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是甲隊勝①3：0，概率為P1=（）3=；②3：1，概率為P2=C（）2×（1﹣）×=；③3：2，概率為P3=C（）2×（1﹣）2×=∴甲隊3：0，3：1，3：2勝利的概率：．（2）乙隊得分X，則X的取值可能為0，1，2，3．由（1）知P（X=0）=P1+P2=；P（X=1）=P3=；P（X=2）=C（1﹣）2×（）2×=；P（X=3）=（1﹣）3+C（1﹣）2×（）×=；則X的分布列為X3210PE（X）=3×+2×+1×+0×=．點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的期望與分布列，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．20．（12分）（2013?山東）設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn且（λ為常數(shù)）．令cn=b2n（n∈N※）求數(shù)列{cn}的前n項和Rn．考點：等差數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）設出等差數(shù)列的首項和公差，由已知條件列關于首項和公差的方程組，解出首項和公差后可得數(shù)列{an}的通項公式；（2）把{an}的通項公式代入，求出當n≥2時的通項公式，然后由cn=b2n得數(shù)列{cn}的通項公式，最后利用錯位相減法求其前n項和．解答：解：（1）設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②聯(lián)立①、②得a1=1，d=2．所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）把an=2n﹣1代入，得，則．所以b1=T1=λ﹣1，當n≥2時，=．所以，．Rn=c1+c2+…+cn=③④③﹣④得：=所以；所以數(shù)列{cn}的前n項和．點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的求和，訓練了錯位相減法，考查了學生的計算能力，屬中檔題．21．（13分）（2013?山東）設函數(shù)．（1）求f（x）的單調區(qū)間及最大值；（2）討論關于x的方程|lnx|=f（x）根的個數(shù)．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：壓軸題；導數(shù)的綜合應用．分析：（1）利用導數(shù)的運算法則求出f′（x），分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0即可得出單調區(qū)間及極值與最值；（2）分類討論：①當0＜x≤1時，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，②當x≥1時，令v（x）=lnx﹣．利用導數(shù)分別求出c的取值范圍，即可得出結論．解答：解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為．故f（x）在x=取得最大值，且．（2）函數(shù)y=|lnx|，當x＞0時的值域為[0，+∞）．如圖所示：①當0＜x≤1時，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，c==g（x），則=．令h（x）=e2x+x﹣2x2，則h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]單調遞增，∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]單調遞減．∴c．②當x≥1時，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），則=＞0，故m（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴c≥m（1）=．綜上①②可知：當時，方程|lnx|=f（x）無實數(shù)根；當時，方程|lnx|=f（x）有一個實數(shù)根；當時，方程|lnx|=f（x）有兩個實數(shù)根．點評：本題綜合考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值最值、數(shù)形結合的思想方法、分類討論的思想方法等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力及其化歸思想方法．22．（13分）（2013?山東）橢圓C：的左右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為