日本內(nèi)文書《割圓八線互求法》的版本與成書

日本內(nèi)文書《割圓八線互求法》的版本與成書

2007年3月，郭世榮在日本參加?xùn)|亞數(shù)學(xué)史國際會(huì)議時(shí)，閱讀了八線互法的計(jì)算書。回國后，他請(qǐng)日本前橋京工業(yè)大學(xué)的教授小林龍彥幫助復(fù)制本書。2008年,小林龍彥將兩部算書的復(fù)印件寄到內(nèi)蒙古,一本名為《割圓八線互求法》,似抄本,未標(biāo)明著者,藏于內(nèi)閣文庫(9612)(圖1),不分卷,但有兩個(gè)起始頁,應(yīng)該是分為兩部分。另一本名為《八線互求法》,手抄本,分上下兩卷,分別標(biāo)注“崇禎類書五十四、五十五”,書內(nèi)另標(biāo)有書名《割圓八線互求法》,且有“徐光啟校閱”字樣,在東京大學(xué)圖書館(370253)(圖2)和東北帝國大學(xué)圖書館(林集書918)(圖3)都有收藏。兩部書均無序、跋。小林龍彥在信中說:一本寫有徐光啟編著,一本沒有,所以現(xiàn)在還不能斷定此書是否與徐光啟有關(guān),希望中國數(shù)學(xué)史研究者將這一問題解決。多年前,小林龍彥已指出兩部書卷數(shù)不同但內(nèi)容一致。在國內(nèi)僅見馮立昇做過簡要介紹,李迪《中國算學(xué)書目匯編》亦未見著錄。已有研究均認(rèn)為兩部書歸屬《崇禎歷書》,沒有過多的考述它們的由來。由于《八線互求法》在文字上多有錯(cuò)誤,且書內(nèi)另標(biāo)有“割圓八線互求法”,可以判斷出《八線互求法》抄自《割圓八線互求法》。下面將以《割圓八線互求法》為主,介紹書中數(shù)學(xué)內(nèi)容,并對(duì)《割圓八線互求法》、《八線互求法》成書問題進(jìn)行探討。1必須注意三角公式的求解《割圓八線互求法》卷首給出求正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢八個(gè)三角函數(shù)公式1,除正、余矢外,每組四個(gè)公式。之后,將平面三角形分為勾股形、銳角形、鈍角形三類,按順序依次介紹平面三角學(xué)邊角互求法、三角求積、容圓徑、容方徑、外切圓等相關(guān)問題。全部解法都是以構(gòu)造勾股形為基礎(chǔ),以三率法結(jié)合八線關(guān)系求解,有些題涉及正弦定理,在“三邊求角”一題“附三較求角術(shù)”中,用“半角定理”求解;在銳角形求積又一術(shù)“用三較連乘法”中,用“海倫公式”求解。此外還附有“分角術(shù)”、“三點(diǎn)串圓”、“作外切圓”等作圖法。全書只介紹題目、解法,沒有相關(guān)定理的證明,內(nèi)容較為簡單。最后一部分是測(cè)高、測(cè)遠(yuǎn)、測(cè)深、測(cè)斜坡等測(cè)量術(shù)。先利用儀器窺得角度,然后根據(jù)前面介紹的三角函數(shù)關(guān)系式以及平面三角形邊角互求法求解問題。如“遞數(shù)測(cè)高”(圖4)術(shù):假如有高山如丁壬,欲從甲處測(cè)之,而為近山乙庚所掩,及登乙庚近山之巔望之,復(fù)為丙丑山所掩,及登丙丑山望之,又無平路可以進(jìn)退,止可延坡而下至子望見丁壬山,仍隔深苦不知其遠(yuǎn)。首先根據(jù)“測(cè)不知遠(yuǎn)之高”法,從甲、戊處安儀器,測(cè)得甲角、戊角、甲戊,求出乙庚:∠乙=∠戊-∠甲,sim∠乙甲戊=sim∠甲乙戊?sim∠乙甲戊=sim∠甲乙戊?乙戊;乙庚=乙戊sin∠戊。再用“測(cè)知遠(yuǎn)之高”法,從乙處安儀器,測(cè)得乙角、乙癸2,用正切求出丙癸(此處原書從乙處安儀器,測(cè)得乙角、乙丙,用正弦求出丙癸,有誤)。根據(jù)“斜坡上測(cè)高”法,從丙、子處安儀器,測(cè)出午角、未角、酉角、丙子長,在△子丙丁中,∠丙=∠午3+∠未,∠子=180°-(∠未+∠酉),∠丁=180°-(∠子+∠丙),由正弦定理sim∠丁丙子=sim∠子丁丙?sim∠丁丙子=sim∠子丁丙?丁丙;在△丙丁己中,丁己=丁丙sin∠午。最后,丁壬=乙庚+丙癸+丁己,求出山高。2角公式與《平三角舉要法》《割圓八線互求法》中少數(shù)地方文字、算式有誤,絕大部分字跡工整、算法正確、圖形清晰。該書除卷首八線互求法外,平面三角學(xué)邊角互求法,三角求積、容圓徑、容方徑、外切圓、測(cè)量法等內(nèi)容的編排順序與梅文鼎(1633—1721年)所著《平三角舉要》一致,題型、解法也多有類似,甚至很多地方具有幾乎相同的圖形與表述(表1)。由表1可看出:《割圓八線互求法》和《平三角舉要》上述內(nèi)容除個(gè)別用詞不同外,陳述、解法、圖形,甚至圖形中所用天干地支完全相同(如圖5中所示,圖a、b、c出自《割圓八線互求法》,圖a’、b’、c’出自《平三角舉要》)。由此可推斷兩書存在因襲關(guān)系。兩書最大的不同在于,《割圓八線互求法》題型分類繁雜、解題方法不精,整體數(shù)學(xué)水平明顯沒有《平三角舉要》高。如在銳角三角形邊角互求問題中,《平三角舉要》只針對(duì)“兩角一邊”、“一角兩邊”和“三邊求角”即將全部問題解決,而《割圓八線互求法》列舉了“兩邊一角”、“兩角一邊”、“兩角夾一邊”、“兩邊夾一角”4種情況解決問題,卻漏掉“三邊求角”問題。另外,在鈍角形中,《割圓八線互求法》沒有充分理解“鈍角用外角正弦”的方法,導(dǎo)致其邊角互求解法十分麻煩。更為重要的是,《平三角舉要》專設(shè)一卷“或問”,給出相關(guān)三角公式的證明,但《割圓八線互求法》全書都沒有對(duì)任何公式進(jìn)行證明。以上分析給我們一個(gè)感覺,《割圓八線互求法》成書年代似乎在《平三角舉要》之前,然而前者書中存在的幾處紕漏卻證明《割圓八線互求法》源于《平三角舉要》。首先,《割圓八線互求法》版心處有“三角”字樣(圖5a),按照常理,“三角”應(yīng)該是這本書的書名或者書名的簡稱,但該書名為《割圓八線互求法》,無論如何也不能簡稱為“三角”。在日本(,187頁)、朝鮮半島流傳的梅文鼎平三角著作,書名大都是《三角法舉要》。根據(jù)《勿庵歷算書目》記載,《平三角舉要》原名為《三角法舉要》,后《梅勿庵先生歷算全書》和《梅氏叢書輯要》兩書的編者才將其改名為《平三角舉要》。另,清華大學(xué)圖書館新發(fā)現(xiàn)梅文鼎早年《中西算學(xué)通初集》刻本,內(nèi)有《三角法》一書。其次,《割圓八線互求法》一書中圖形用字頗為奇特,現(xiàn)舉一例。在“三角形求容方”一題的圖形中(圖5b),分別用了甲、乙、丙、丁、戊、癸,子、丑等8個(gè)并不連續(xù)的干支來表示交點(diǎn),非常不符合用字習(xí)慣,但是將此圖與《平三角舉要》中對(duì)應(yīng)題目圖形(圖5b’)進(jìn)行比對(duì),這一疑惑豁然而解。顯然《割圓八線互求法》中的圖形來自《平三角舉要》。第三,《割圓八線互求法》雖然使用和《平三角舉要》中相同的三角定理,但在解題過程中作者行文與定理并不一致。如《割圓八線互求法》在“銳角形兩邊夾一角”一題中附有“分外角術(shù)”,敘述與《平三角舉要》“用切線分外角”法大體相同,其實(shí)質(zhì)是正切定理的應(yīng)用。但在其后根據(jù)“分外角術(shù)”解題時(shí),卻與該定理大相徑庭。如圖6所示,甲乙丙三角形有甲丙、乙丙兩邊和夾角丙,求余邊余角?！陡顖A八線互求法》的解法是,以甲丙邊分別乘丙角正余弦,得甲丁垂線和丙丁長。以乙丙減丙丁得乙丁,以丙丁除以甲丁得“甲左分角度”正切,再以乙丁除以甲丁得“甲右分角度”正切,“以兩分角相并得甲全角”。該解法顯示作者沒有弄懂“分外角術(shù)”。由此可見《割圓八線互求法》的作者見過“用切線分外角”法,但是并沒有理解。這是該書源自《平三角舉要》的又一例證。3日本算法與《八線互求法》經(jīng)過上面的分析,我們大體上可以肯定《割圓八線互求法》源自《平三角舉要》(或者二者有共同的來源,但是這種可能微乎其微)?！陡顖A八線互求法》的作者是在學(xué)習(xí)《平三角舉要》的基礎(chǔ)上完成該書的,但是書中也存在《測(cè)量全義》中的數(shù)學(xué)知識(shí),如鈍角形“三邊求角”術(shù),與《測(cè)量全義》卷1第5題相同,作者或許學(xué)習(xí)過《測(cè)量全義》。這種方法在《平三角舉要》中并未介紹,《數(shù)理精蘊(yùn)》也只有類似方法。較為難得的是書中尚有作者自己的理解與領(lǐng)悟。如書中三角形解法弦、切、割、矢均有用到,而測(cè)高、測(cè)遠(yuǎn)、測(cè)深、測(cè)斜坡等測(cè)量法更與《平三角舉要》大不相同,不但題目設(shè)計(jì)有異,方法差別也很大,是該書較為精彩的部分?！栋司€互求法》無疑是抄自《割圓八線互求法》,兩書均在《平三角舉要》之后成書,不可能經(jīng)徐光啟校閱?！陡顖A八線互求法》、《八線互求法》兩書僅在日本有藏,國內(nèi)從未得見。向井富編《商舶載來書目》(文化元年,1804年)中有享保12年(1727年)《割圓八線互求法》、《割圓勾股八線之表》、《割圓八線之表》一同舶載來日的記載,據(jù)此可以推斷《割圓八線互求法》成書應(yīng)在1727年之前?！陡顖A八線互求法》的作者應(yīng)該是與梅文鼎同時(shí)代或稍晚的中算家,研讀過梅氏早年間的三角學(xué)著作《三角法》或《平三角舉要》,由于資料有限,這一問題還需進(jìn)一步研究?！栋司€互求法》作偽者的身份很難判斷。中國國家圖書館現(xiàn)存一本托名徐光啟的偽書——《定法平方算術(shù)》,作偽者將《數(shù)理精蘊(yùn)》卷11中的“平方”和“帶縱平方”兩節(jié)摘錄出來欺騙世人。新發(fā)現(xiàn)的《八線互求法》又是一本托名徐光啟的偽書。我們判斷作偽的可能性有二:一是故意而為,1726年,日本德川吉宗(TokugawaYoshimune,1684—1751年)大量購進(jìn)中國漢譯西方科技典籍,有人將《割圓八線互求法》改頭換面,并寫上“徐光啟校閱”的字樣,制造、販賣偽書,牟財(cái)射利。二是無心之作,日本人購書回國后,沒有仔細(xì)分辨書籍的年代,將《割圓八線互求法》誤認(rèn)為是《崇禎歷書》中的一本算學(xué)書,抄為《八線互求法》,并寫上“《崇禎類書》”、“徐光啟校閱”等字樣,以至誤導(dǎo)后人。盡