數(shù)學人教A版必修4課堂導學案2.2.1向量加法運算及其幾何意義

課堂導學三點剖析1.向量加法運算的意義【例1】如右圖所示，已知三個向量a、b、c，試用三角形法則和平行四邊形法則作a+b+c.思路分析：本題主要利用三角形法則和平行四邊形法則求幾個向量的和向量，只要按三角形法則和平行四邊形法則作出即可.解：用三角形法則作a+b+c:作=a,以A為始點作=b,再以B為始點，作=c，則=+=a+b+c（如下圖（1）所示）用平行四邊形法則作a+b+c:作=a，=b，=c，以，為鄰邊作平行四邊形OADB，則=a+b.再以，為鄰邊作平行四邊形ODEC，則=+=a+b+c（如下圖（2）所示）溫馨提示要求作三個向量的和，首先作兩個向量的和，因為這兩個向量的和仍為一個向量，然后再求這個向量與另一個向量的和，方法是多次使用三角形法則和平行四邊形法則.【例2】長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸.如下圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度（保留兩個有效數(shù)字）；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到度）.思路分析：本題用向量知識解決物理問題.由于速度是矢量，可以用向量表示速度，然后用向量加法運算合成速度即可.但要注意解決實際問題中的向量問題不僅要求出大小，而且要求出方向.解：（1）如右圖所示.表示船速，表示水速，以AD、AB為鄰邊作ABCD，則表示船實際航行的速度.（2）在Rt△ABC中，||=2，||=5，∴||=≈5.4.∵tan∠,由計算器得∠CAB≈70°.答:船實際航行速度的大小約為5.4km/h,方向與水的流速間的夾角約為70°.2.對向量加法的理解【例3】已知向量a、b，比較|a+b|與|a|+|b|的大小.思路分析：因為向量包含長度和方向，所以在比較長度的大小時，要注意其方向.解：（1）當a、b至少有一個為零向量時，有|a+b|=|a|+|b|.（2）①當a、b為非零向量，且a、b不共線時有|a+b|＜|a|+|b|.②當a、b為非零向量，且a、b同向共線時有|a+b|=|a|+|b|.③當a、b為非零向量，且a、b異向共線時有|a+b|＜|a|+|b|.溫馨提示（1）解決此類問題可利用三角形法則作出圖形輔助解答.（2）在向量的加法定義中要注意兩個向量共線的情況.3.對向量加法定義及運算法則再理解【例4】下列命題中：①若非零向量a與b的方向相同或相反，那么a+b的方向必和a、b之一的方向相同.②△ABC中，必有++=0.③若++=0，則A、B、C為一個三角形的三個頂點.④若a、b均為非零向量，則|a+b|與|a|+|b|相等.其中真命題個數(shù)為______________.思路分析：①假命題，a+b=0時命題不成立.②假命題，向量之和仍為向量.③假命題，A、B、C共線時也可以有++=0.④假命題，只有a、b同向時才成立.答案：0個溫馨提示向量之和仍為向量，注意0與0區(qū)別；注意兩個共線向量求和情況.各個擊破類題演練1如下圖（1）（2）（3）所示，試作出向量a與b的和.解：如下圖（1）（2）（3）所示，首先作=a，然后作=b，則=a+b.變式提升1如右圖在正六邊形ABCDEF中，=a,=b，求、、.解：連結FC交AD于點O，連結OB，由平面幾何知識得四邊形ABOF、四邊形ABCO都是平行四邊形.根據(jù)向量的平行四邊形法則知：=+，=+，∴=++=a+b+a.由正六邊形知識得=2=2（a+b）.又根據(jù)三角形法則知：=+，且==a,∴=2(a+b)a.類題演練2某人在靜水中游泳,速度為千米/時,他在水流速度為4千米/時的河中游泳.如果他垂直游向河對岸,那么他實際沿什么方向前進?實際前進的速度為多少?解：如右圖所示,水速速度v1=4km/h.游泳速度v2=km/h.設合速度v與v1所成角為θ,tanθ=,∴θ=60°.|v|==8(km/h)所以如果他垂直游向對岸，那么他的實際方向是與水流方向成60°角，實際前進的速度為8km/h.變式提升2某人在靜水中游泳,速度為千米/時,他在水流速度為4千米/時的河中游泳.他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度為多少？解：如右圖所示cos∠v2Ov=;∴∠v2Ov≈35.26°.∠v2Ov=90°+35.26°=125.26°.沿與水流方向成125.6°的方向前進.實際前進的速度為|v|==(km/h).類題演練3在四邊形ABCD中，=+,則()一定為矩形一定為菱形一定為正方形一定為平行四邊形答案：D變式提升3已知=a，=b，=c，則a+b+c=0成立時A、B、C能否構成三角形？反之成立嗎？解：a+b+c=0時，A、B、C三點不一定能構成三角形.因為可能A、B、C三點共線.而A、B、C是三角形的三個頂點，由向量加法的三角形法則必有a+b+c=0.類題演練4向量a、b皆為非零向量，下列說法不正確的是()A.向量a與b反向，且|a|＞|b|，則向量a+b與a的方向相同B.向量a與b反向，且|a|＜|b|，則向量a+b與a的方向相同C.向量a與b同向，則向量a+b與a的方向相同D.向量a與b同向，則