2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題20立體幾何綜合大題必刷100題學(xué)生版

本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享專題20立體幾何綜合大題必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-30題1．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求直線到平面的距離.2．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，的中點(diǎn)分別為C，，正方形沿著折起形成三棱柱，三棱柱中，.（1）證明:當(dāng)時(shí)，求證：平面；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.3．如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2，側(cè)棱的長(zhǎng)為5.（1）求三棱柱的體積；（2）設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線與平面ABC所成角的正切值.4．如圖，在三棱錐中，底面ABC，點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面BDE；（2）求二面角的正弦值；（3）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng).5．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，半徑為2.（1）設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，求圓錐的體積；（2）設(shè)，OA、OB是底面半徑，且，M為線段AB的中點(diǎn)，如圖.求異面直線PM與OB所成的角的余弦值.6．如圖所示，已知四棱錐中，四邊形為正方形，三角形為正三角形，側(cè)面底面，M是棱的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．7．已知點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起，使二面角為直二面角，如圖所示.（1）若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.8．已知如圖1所示，等腰中，，，為中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折痕翻折至如圖2所示位置，使得，、分別為、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求四面體的體積．9．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BC=BB1=4，，且∠BCC1=60°.（1）求證：平面ABC1⊥平面BCC1B1：（2）設(shè)二面角C-AC1-B的大小為θ，求sinθ的值.10．如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，∠BAD=90°，已知，.（1）證明：；（2）若二面角的余弦值為，求四棱錐的體積.11．如圖，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點(diǎn)，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．（1）求證：平面CC1D1D⊥底面ABCD；（2）若平面BCC1B1與平面BED1所成的銳二面角的大小為，求線段ED1的長(zhǎng)度．12．如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，是斜邊的長(zhǎng)為的等腰直角三角形，，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求銳二面角的余弦值．13．如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面底面，，F(xiàn)在側(cè)棱上，且平面．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)D到平面的距離．14．在三棱錐B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長(zhǎng)AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求點(diǎn)D到平面ABC的距離．15．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.16．如下圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，．（1）求與所成角的余弦值；（2）求證：．17．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．18．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．如圖，（I）求證（II）設(shè)20．如圖，在四棱錐中，底面，，點(diǎn)在線段上，且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，，求四棱錐的體積.21．如圖，直三棱柱，，點(diǎn)M，N分別為和的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：∥平面;(Ⅱ)若二面角為直二面角，求的值．22．如圖，在三棱錐中,側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形,為中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面（Ⅱ）求二面角的余弦值.23．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面ABCD；(2)過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．24．如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．25．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E－BCD的體積．26．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（Ⅰ）在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）證明：平面PAB⊥平面PBD．27．如圖，在三棱臺(tái)ABC–DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.28．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且，.求證：（1）直線DE平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.29．如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線和平面所成的角的正弦值.30．如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明；（Ⅱ）證明平面；（Ⅲ）求二面角的大?。蝿?wù)二:中立模式(中檔)30-70題31．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AD，CD的中點(diǎn).（1）證明：BD⊥PF；（2）若AD=DB=2，求點(diǎn)C到平面PBD的距離；32．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AD，CD的中點(diǎn)．（1）證明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值；33．如圖，在四棱錐E-ABCD中，ABCE，AECD，，AB=3，CD=4，AD=2BC=10.（1）證明：∠AED是銳角；（2）若AE=10，求二面角A-BE-C的余弦值.34．如圖，在直四棱柱中，（1）若為的中點(diǎn)，試在上找一點(diǎn)，使平面；（2）若四邊形是正方形，且與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.35．如圖1，已知為等邊三角形，四邊形為平行四邊形，，把沿向上折起，使點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)P位置，如圖2所示；且平面平面．（1）證明：；（2）在（1）的條件下求二面角的余弦值．36．如圖所示，在四棱錐中，平面，，四邊形為梯形，，，，，，，點(diǎn)在上，滿足.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面所成角的余弦值.37．在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)，在平面內(nèi)作于點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.38．在正方體中，點(diǎn)、分別在、上，且，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．39．如圖，在多面體中，均垂直于平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的余弦值.40．某商品的包裝紙如圖1，其中菱形的邊長(zhǎng)為3，且，，，將包裝紙各三角形沿菱形的邊進(jìn)行翻折后，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N匯聚為一點(diǎn)P，恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹．（1）證明底面；（2）設(shè)點(diǎn)T為BC上的點(diǎn)，且二面角的正弦值為，試求PC與平面PAT所成角的正弦值．41．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，側(cè)面底面，且PA=AB，.（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.42．1.如圖，正方形所在平面與等邊所在平面成的銳二面角為，設(shè)平面與平面相交于直線．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．43．如圖，在四棱錐中，，，平面平面ABCD，點(diǎn)E在AD上，且，.（1）求證：.（2）設(shè)平面平面，求二面角的余弦值.44．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，M，N分別為，的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．45．如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓上，，圓的直徑，圓柱的高.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的余弦值大小.46．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，點(diǎn)P為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段A1B上的一動(dòng)點(diǎn).（1）求證:當(dāng)點(diǎn)Q為線段A1B的中點(diǎn)時(shí)，PQ⊥平面A1BC；（2）設(shè)=λ，試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)λ，使得平面A1PQ與平面B1PQ的夾角的余弦值為？若存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)λ；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.47．如圖，在三棱錐中，底面，，，．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，過(guò)點(diǎn)作于，求直線與平面所成角的大?。?8．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.（1）求證：直線平面；（2）設(shè)點(diǎn)在線段上，且二面角的余弦值為，求點(diǎn)到底面的距離.49．如圖，在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)2的等邊三角形，，點(diǎn)F在線段BC上，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：//平面；(Ⅱ)若二面角的平面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.50．如圖，直四棱柱的底面是菱形，側(cè)面是正方形，，經(jīng)過(guò)對(duì)角線的平面和側(cè)棱相交于點(diǎn)，且．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．51．直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)的上底面面積為，下底面面積為，側(cè)面積為，且二面角為，，分別在線段，上．（Ⅰ）若，分別為，中點(diǎn)，求與所成角的余弦值；（Ⅱ）若為上的動(dòng)點(diǎn)、為的中點(diǎn)，求與平面所成最大角的正切值，并求此時(shí)二面角的余弦值．52．正多面體也稱柏拉圖立體，被喻為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）．?dāng)?shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)都是a（如圖），把它們拼接起來(lái)，使它們一個(gè)表面重合，得到一個(gè)新多面體．（1）求新多面體的體積；（2）求二面角的余弦值；（3）求新多面體為幾面體？并證明．53．中國(guó)是風(fēng)箏的故鄉(xiāng)，南方稱“鷂”，北方稱“鳶”，如圖，某種風(fēng)箏的骨架模型是四棱錐，其中于，，，平面．（1）求證：；（2）試驗(yàn)表明，當(dāng)時(shí)，風(fēng)箏表現(xiàn)最好，求此時(shí)直線與平面所成角的正弦值．54．在陜西漢中勉縣的漢江河與定軍山武侯坪一帶，經(jīng)常出土有銅、鐵扎馬釘?shù)缺魑奈?扎馬釘（如題21圖（1））是三國(guó)時(shí)蜀漢的著名政治家、軍事家諸葛亮所發(fā)明的一種對(duì)付騎兵的武器，狀若荊刺，故學(xué)名蒺藜，有銅、鐵兩種.扎馬釘有四個(gè)鋒利的尖爪，隨手一擲，三尖撐地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始終如此，使觸者不能避其鋒而被刺傷.即總有一個(gè)尖垂直向上，三尖對(duì)稱支承于地.簡(jiǎn)化扎馬釘?shù)慕Y(jié)構(gòu)，如圖（2），記組成該“釘”的四條等長(zhǎng)的線段公共點(diǎn)為，釘尖為（）．（Ⅰ）判斷四面體的形狀特征；（Ⅱ）若某個(gè)出土的扎馬釘因年代久遠(yuǎn)，有一尖爪受損，其長(zhǎng)度僅剩其他尖爪長(zhǎng)度的（即），如圖（3），將，，置于地面，求與面所成角的正弦值.55．正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個(gè)頂點(diǎn)所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長(zhǎng)都是（如圖），把它們拼接起來(lái)，使它們一個(gè)表面重合，得到一個(gè)新多面體.（1）求新多面體的體積；（2）求正八面體中二面角的余弦值；（3）判斷新多面體為幾面體？（只需給出答案，無(wú)需證明）56．如圖，已知在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，為棱上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，，，．（1）證明：；（2）是否存在點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．57．如圖，在三棱柱中點(diǎn)，在棱上，點(diǎn)F在棱CC1上，且點(diǎn)均不是棱的端點(diǎn)，平面且四邊形與四邊形的面積相等.（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.58．如圖，在三棱臺(tái)中，側(cè)棱平面點(diǎn)在棱上，且（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角的余弦值為，求的值.59．在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，點(diǎn)M在棱上，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，且滿足.（1）證明：AM⊥平面；（2）若M是的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.60．在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，，.（1）證明：平面；（2）如圖，取的中點(diǎn)為，在線段上取一點(diǎn)使得，求二面角的大小.61．如圖，在底面是菱形的四棱柱中，，，點(diǎn)在上．（1）求證：平面；（2）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．62．已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線、交于點(diǎn)，，，底面，設(shè)點(diǎn)滿足．（1）若三棱錐體積是，求的值；（2）若直線與平面所成角的正弦值是，求的值．63．光學(xué)器件在制作的過(guò)程中往往需要進(jìn)行切割，現(xiàn)生產(chǎn)一種光學(xué)器件，有一道工序?yàn)閷⒃牧锨懈顬閮蓚€(gè)部分，然后在截面上涂抹一種光觸媒化學(xué)試劑，加入納米纖維導(dǎo)管后粘合.在如圖所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，現(xiàn)經(jīng)過(guò)AB作與底面ABC所成角為θ的截面，且截面與B'C'，A'C'分別交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）試求截面面積S隨θ變化的函數(shù)關(guān)系式S（θ）；（2）當(dāng)E和F分別為和的中點(diǎn)時(shí)，需要在線段AF上尋找一個(gè)點(diǎn)Q，用納米纖維導(dǎo)管連接EQ，使得EQ與AB'所在直線的夾角最小，試求出纖維導(dǎo)管EQ的長(zhǎng)．64．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，且E，M分別為BC，PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：平面AEF⊥平面PAD．（2）若AB＝PA，在線段PC上是否存在一點(diǎn)F，使得二面角F﹣AE﹣M的正弦值為？若存在，試確定F的位置；若不存在，說(shuō)明理由．65．如圖，三棱柱中，，，．（1）求證：為等腰三角形；（2）若，，點(diǎn)在線段上，設(shè)，若二面角的余弦值為，求的值．66．如圖，四棱錐中，底面為菱形，，，平面，．（1）點(diǎn)E在線段PC上，，點(diǎn)F在線段PD上，，求證：平面；（2）設(shè)M是直線AC上一點(diǎn)，求CM的長(zhǎng)，使得MP與平面PCD所成角為．67．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且．（1）求直線與直線所成角的余弦值；（2）當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，求此時(shí)的值．68．如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，且，，，M為的中點(diǎn)，平面平面，直線與平面所成角的正切值為.（1）求四棱錐的體積；（2）在棱上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.69．已知四棱錐中，底面是平行四邊形，，分別是的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.70．如圖，矩形中，，將其沿翻折，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且二面角為直二面角.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)是的中點(diǎn)，二面角的平面角的大小為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.任務(wù)三:邪惡模式(困難)70-100題71．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為中點(diǎn)，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．72．請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答.①；②；③點(diǎn)在平面的射影在直線上.如圖，平面五邊形中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，將沿翻折成四棱錐，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別是的中點(diǎn)，且___________.（1）求證：；（2）當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.73．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點(diǎn)重合為點(diǎn)所圍成的曲頂多面體（下底面開(kāi)口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來(lái)刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)的曲率的余弦值．74．2022年北京冬奧會(huì)標(biāo)志性場(chǎng)館——國(guó)家速滑館的設(shè)計(jì)理念來(lái)源于一個(gè)冰和速度結(jié)合的創(chuàng)意，沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運(yùn)動(dòng)員高速滑動(dòng)時(shí)留下的一圈圈風(fēng)馳電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲帶”又象征北京2022年冬奧會(huì).其中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，這種造型富有動(dòng)感，體現(xiàn)了冰上運(yùn)動(dòng)的速度和激情這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間幾何體，其設(shè)計(jì)參數(shù)包括曲率、撓率、面積體積等對(duì)幾何圖形的面積、體積計(jì)算方法的研究在中國(guó)數(shù)學(xué)史上有過(guò)輝煌的成就，如《九章算術(shù)》中記錄了數(shù)學(xué)家劉徽提出利用牟合方蓋的體積來(lái)推導(dǎo)球的體積公式，但由于不能計(jì)算牟合方蓋的體積并沒(méi)有得出球的體積計(jì)算公式直到200年以后數(shù)學(xué)家祖沖之、祖眶父子在《綴術(shù)》提出祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，才利用牟合方蓋的體積推導(dǎo)出球的體積公式原理的意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推導(dǎo)半徑為的球的體積公式時(shí)，可以構(gòu)造如圖②所示的幾何體，幾何體的底面半徑和高都為，其底面和半球體的底面同在平面內(nèi).設(shè)與平面平行且距離為的平面截兩個(gè)幾何體得到兩個(gè)截面，請(qǐng)?jiān)趫D②中用陰影畫出與圖①中陰影截面面積相等的圖形并給出證明；

（Ⅱ）現(xiàn)將橢圓所圍成的橢圓面分別繞其長(zhǎng)軸、短軸旋轉(zhuǎn)一周后得兩個(gè)不同的橢球，（如圖），類比（Ⅰ）中的方法，探究橢球的體積公式，并寫出橢球，的體積之比.75．如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正方形材料，截去如圖所示的陰影部分后，可焊接成一個(gè)正四棱錐的封閉容器.設(shè).（1）用表示此容器的體積；（2）當(dāng)此容器的體積最大時(shí)，求的值.76．如圖，在四面體中，，平面與平面垂直且.（1）若，證明：；（2）若，當(dāng)與面積之和最大時(shí)，求二面角的余弦值.77．某人設(shè)計(jì)了一個(gè)工作臺(tái)，如圖所示，工作臺(tái)的下半部分是個(gè)正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面邊長(zhǎng)為4，高為1，工作臺(tái)的上半部分是一個(gè)底面半徑為的圓柱體的四分之一．（1）當(dāng)圓弧E2F2（包括端點(diǎn)）上的點(diǎn)P與B1的最短距離為5時(shí)，證明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．當(dāng)點(diǎn)P在圓弧E2E2（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范圍．78．平面凸六邊形的邊長(zhǎng)相等,其中為矩形,．將,分別沿,折至,,且均在同側(cè)與平面垂直,連接,如圖所示,E,G分別是,的中點(diǎn)．（1）求證：多面體為直三棱柱；（2）求二面角平面角的余弦值．79．如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面，分別是的中點(diǎn).（1）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明；（2）設(shè)（1）中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿足.記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證：.80．已知，圖中直棱柱的底面是菱形，其中.又點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)，且滿足：，.（1）求證：四點(diǎn)共面，并證明∥平面.（2）是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為？如果存在，求出的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.81．如圖1，與是處在同-個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)全等的直角三角形，，，連接是邊上一點(diǎn)，過(guò)作，交于點(diǎn)，沿將向上翻折，得到如圖2所示的六面體（1）求證：（2）設(shè)若平面底面，若平面與平面所成角的余弦值為，求的值；（3）若平面底面，求六面體的體積的最大值.82．設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，，，且平面平面.（1）確定的位置（需要說(shuō)明理由），并證明：平面平面.（2）與側(cè)面平行的平面與棱，，分別交于，，，求四面體的體積的最大值.83．如圖，在三棱柱中，平面，是的中點(diǎn)，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值.84．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為在母線上，且．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)線段上動(dòng)點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．85．如圖，三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)面底面，且側(cè)面為菱形，.（1）求二面角所成角的正弦值.（2）分別是棱，的中點(diǎn)，又.求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面截三棱柱的截面的周長(zhǎng).86．如圖，在三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）記二面角的大小為，時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．87．如圖，在四棱錐中，，分別是，的中點(diǎn)，，，，，，，，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．88．設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．（1）如圖1，已知長(zhǎng)方體A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，，點(diǎn)P為底面A1B1C1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則求四棱錐P﹣ABCD在點(diǎn)P處的離散曲率的最小值；（2）圖2為對(duì)某個(gè)女孩面部識(shí)別過(guò)程中的三角剖分結(jié)果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點(diǎn)，然后用短小的直線段連接相鄰三個(gè)采樣點(diǎn)形成三角形網(wǎng)格．區(qū)域α和區(qū)域β中點(diǎn)的離散曲率的平均值更大的是哪個(gè)區(qū)域？（確定“區(qū)域α”還是“區(qū)域β”）89．如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，．（1）證明：；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)二面角的大?。?0．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．（1）求四棱錐的總曲率；（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．91．已知四棱錐的底面是平行四邊形，平面與直線，，分別交于點(diǎn)，，且，點(diǎn)在直線上，為的中點(diǎn)，且直線平面.（1）設(shè)，，，試用基底表示向量；（2）證明，四面體中至少存在一個(gè)頂點(diǎn)從其出發(fā)的三條棱能夠組成一個(gè)三角形；（3）證明，對(duì)所有滿足條件的平面，點(diǎn)都落在某一條長(zhǎng)為的線段上.92．如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.93．如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐和構(gòu)成，兩個(gè)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過(guò)連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點(diǎn)與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長(zhǎng)為y．（1）設(shè)∠O1AO=(rad