理論力學(xué) 第7章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答

#據(jù)題意，mA=mB，初瞬時(shí)“120。，桿AB所受的力為FAB7-7質(zhì)量為m的小球以水平速度卩0射入靜水之中。如水對(duì)小球的阻力F與小球速度v的方向相反，且與速度的大小成正比，即F=-円，卩為阻尼系數(shù)。忽略水對(duì)小球的浮力，試分析小球在重力和阻力作用下的運(yùn)動(dòng)。解：取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，列出動(dòng)力學(xué)方程mr=F+mg，投影式為mx=x，my=y+mg初始條件：x=y=0，X=v,y=0.t=0t=0t=00t=0解上述初值問題，得小球在重力和阻力作用下的運(yùn)動(dòng)方程為mvx=——01一emgm2g，y=t一卩卩27-8滑塊M的質(zhì)量為m,在半徑為R的固定光滑圓環(huán)上滑動(dòng)。圓環(huán)位于鉛垂平面內(nèi)?；瑝KM上系有一彈性繩，它穿過圓環(huán)的點(diǎn)O固定于A。已知當(dāng)滑塊在點(diǎn)O時(shí)，繩的張力為零。彈性繩每伸長(zhǎng)1(cm)需力c(N)。開始時(shí)滑塊在圓環(huán)的頂端點(diǎn)B,處在不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)它受到微小擾動(dòng)時(shí)，沿圓環(huán)滑下，申為繩的OM部分與水平線的夾角，如圖所示。試求滑塊M的下滑速度v與申角的關(guān)系以及圓環(huán)的約束力。解：取滑塊M為研究對(duì)象，受力圖如圖示的動(dòng)力學(xué)方程，ma=—Fcoe—mgsii2e，tTv2m=一F+FsiiP—mgco2eRNT式中，a=2R?，F(xiàn)=2cRsinp.初始條件為tTp=，p=0.t=02t=0列出切線和法線方向a)(b)、、.dcp解此初值問題.關(guān)系利用e=e」，積分式(a)d申卜2mR(pdtp=卜(cR+mg)sii2ede，0冗2.丄i11(cR__e=±cosei———+g，\|RIm丿得滑塊m的下滑速度v與e角的關(guān)系v=2R(p=2cosp11(cR)|R—+gJ5丿，(與T方向相反).從（b）式解得圓環(huán)的約束力、o2sp-mgco2sp.F—2cRsinpo2sp-mgco2sp.N7-9作用有簡(jiǎn)諧激振力F，并帶有阻尼元件的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)如圖所示。設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m=350kg，彈簧的剛度為k=20kN/m，簡(jiǎn)諧激振力振幅的大小H=100N，激振頻率f=2.5Hz,阻尼元件的阻尼系數(shù)c=1600N?s/m，試求系統(tǒng)受迫振動(dòng)的振幅，受迫振動(dòng)相位滯后激振力相位角和受迫振動(dòng)的方程。11o解：選取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸垂直向下，i11o彈性恢復(fù)力F=-kxi,k粘性阻尼力F=-cxi,c簡(jiǎn)諧激振力F=Hsinwti質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的為mx+cx+2kx=Hsinwt化作標(biāo)準(zhǔn)形式x+2nx+w2化作標(biāo)準(zhǔn)形式x+2nx+w2x=hsinwtkHw2—，h—，w=2兀f，nmm其中n=￡2m振幅為b「V受迫振動(dòng)相位滯后激振力相位角9的正切為2nwta9=—

w2-w2n12—w2丸+4n2W2n代入數(shù)據(jù)，得b—1.90mm,9——0.50rad.受迫振動(dòng)的方程為x—1.90sin(15.71t-0.50)mm習(xí)題7-9題7-11題7-117-10質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在水平面的上空受斥力的作用而處于懸浮狀態(tài)，斥力的大小與質(zhì)點(diǎn)到這平面的距離成反比，比例系數(shù)為九求質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附°近作豎向微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。徳解：以質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，以斥力為零的水平面為坐標(biāo)原點(diǎn)，斥力為F—-，受力圖如圖示，運(yùn)動(dòng)微分方程為x質(zhì)點(diǎn)受力圖九mx—一一mg.x7-11在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，已知：重物A的質(zhì)量m=1kg，兩串聯(lián)彈簧的剛度系數(shù)分別為k1=12N/cm,k2=4N/cm，0=30。，斜面摩擦不計(jì)，在彈簧沒有變形時(shí)將重物A無初速地釋放，同時(shí)B端以g=1.5sin（10t）cm沿斜面運(yùn)動(dòng)。試求重物A的運(yùn)動(dòng)方程。解：取重物A為研究對(duì)象，串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)k滿足

111=+kkk12解得k=3N/cm,FFmge建立與B固結(jié)的動(dòng)坐標(biāo)系B-x'y'，坐標(biāo)原點(diǎn)選在A的相對(duì)經(jīng)平衡位置。牽連慣性力為F=-mi=0.15msin（10t）N，e列出相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程mX=mgsin30。+0.15msin(10t)-k6+x'),st"X'=0.15sin^0t)-300',通解為()()x'=Asin(0^'31)+Bcos(0p31)+7.5x10-4sinGot)根據(jù)初始條件：x'=0,x'|t=01A8x1滑塊受力圖m|=0，解得重物A的相對(duì)運(yùn)t=0動(dòng)方程x'=0.43sin(17.3A8x1滑塊受力圖m|=0，解得重物A的相對(duì)運(yùn)t=0動(dòng)方程7-12傾角為0的楔塊A的質(zhì)量為mA，靜止地置于光滑的水平面上，物塊B的質(zhì)量為mB，放在楔塊A的光滑斜面上，B如圖所示。當(dāng)無初速地釋放物塊B后，求楔塊A與物塊B之間相互作用力的大小。解：1）取楔塊A為研究對(duì)象，列出水平方向的動(dòng)力學(xué)方程ma=F'si?AeN2）取物塊B為研究對(duì)象，物塊B作合成運(yùn)動(dòng)，以楔塊A為動(dòng)系。列出動(dòng)力學(xué)方程)m(aco8—a)=Fsii9，BreNmasin8=mg-Fco8s，BrBN聯(lián)立上面三式，并注意到F；=Fn，解得msii292m+msin2m+聯(lián)立上面三式，并注意到F；=Fn，解得msii292m+msin2AB楔塊A與物塊B之間相互作用力的大小為mmgco8sF=AB.Nm+msin28AB7-13質(zhì)量為m的小環(huán)M套在彎成y=fx）形狀的光滑金屬絲上，金屬絲通過坐標(biāo)原點(diǎn)并繞豎直軸Oy以等角速度①轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。如果要使小環(huán)在金屬絲的任何位置都能處于相對(duì)平衡狀態(tài)，試求金屬絲的形狀以及平衡時(shí)金屬絲對(duì)小環(huán)的作用力。解：以小環(huán)M為對(duì)象，光滑金屬絲為動(dòng)系，設(shè)j為沿動(dòng)系坐標(biāo)軸的單位向量，則

相對(duì)速度：V=x+yj，牽連加速度：a二—xw2i,re因相對(duì)平衡時(shí)v=0，所以科氏加速度a=0.,rc牽連慣性力：F=—ma，科氏慣性力：F=0.eec列出相對(duì)平衡方程F—mgj+F=0,eN向切線，即速度方向投影，F(xiàn)—mgj+F)?v=0,eNr導(dǎo)出gy-w2xx二o,積分上式得金屬絲的形狀為1y=—w2x22從而F=—F+mgj=mw2xi+mgj,Ne平衡時(shí)金屬絲對(duì)小環(huán)的作用力大小為F=me2x仏+g2.N7-14質(zhì)量為2x106kg的列車以54km/h的速度由南向北行駛。試求列車行駛到北緯40。時(shí)，列車對(duì)鐵軌的側(cè)壓力。解：列車對(duì)鐵軌的側(cè)壓力等于科氏慣性力.以列車為研究對(duì)象，地球?yàn)閯?dòng)參考系，建立圖示動(dòng)坐標(biāo)系m—x'y'z，沿動(dòng)系坐標(biāo)軸的單位基矢量為i,j,k，則列車相對(duì)速度和地球轉(zhuǎn)動(dòng)的