2023屆高考數(shù)學二輪專題重難點專題22線面角大題專練B卷

專題22線面角大題專練B卷1.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，且，為的中點，是棱的中點，，底面．

證明：平面在線段不含端點上是否存在一點，使得直線和平面所成角的正弦值為若存在，求出此時的長若不存在，說明理由．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，，平面平面，點為棱的中點．

Ⅰ在棱上是否存在一點，使得平面，并說明理由；

Ⅱ當二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角．

如圖，在三棱錐中，平面平面，，，若為的中點．

證明：平面；

求異面直線和所成角；

設(shè)線段上有一點，當與平面所成角的正弦值為時，求的長．4.如圖，是的直徑，是圓周上不同于、的任意一點，垂直所在的平面，四邊形為平行四邊形．

求證：平面平面．若，，，求直線與平面所成角的正弦值．5.如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，側(cè)面，是等邊三角形，，，是線段的中點．求證：．求與平面所成角的正弦值．在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為中點．

Ⅰ求證：；

Ⅱ求直線與平面所成角的正弦值．7.如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為的正方形，點在底面上的射影為底面的中心，點在棱上，且的面積為．若點是的中點，證明：平面平面在棱上是否存在一點，使得直線與平面所成的角的正弦值為若存在，求出點的位置若不存在，說明理由．8.如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，，，．

Ⅰ當時，證明：；

Ⅱ當平面平面時，求與平面所成角的正弦值．

答案和解析1.【答案】解：取的中點為，

連接，因為為的中點，所以，

又因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，

所以，

又因為平面，平面，所以平面．

由題意得：，，

所以四邊形為矩形，

又平面，

如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，，，

設(shè)平面的法向量為，，

則，即，不妨設(shè)，可得，

設(shè)，，

，，

有，解得舍或，

可得，

所以．

2.【答案】解：Ⅰ在棱上存在點，使得平面，點為棱的中點．

理由如下：取的中點，連接、，

由題意，且，

且，

故AE且．

所以，四邊形為平行四邊形．

所以，，

又平面，平面，

所以，平面；

Ⅱ由題意知為正三角形，所以，亦即，

又，所以，

且平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

故以為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，

設(shè)，則由題意知，，，，

，，

設(shè)平面的法向量為，

則由

令，則，，則，

易知平面的法向量，

二面角的余弦值為，

，

解得．

由于平面，所以在平面內(nèi)的射影為，

所以為直線與平面所成的角，

由題意知在中，，

從而，

所以直線與平面所成的角為．

3.【答案】解：證明：，，

，

平面平面，平面平面，平面，

平面．

解：，為的中點，

，又平面，、、兩兩垂直，

如圖，分別以，，為軸，軸，軸的非負半軸，建立空間直角坐標系，

，，，，

，，

，

異面直線和所成角為．

設(shè)為平面的法向量，

，，

，即，

設(shè)，，

，

設(shè)與平面所成角為，

，

，

，，舍，，

的長為．

4.【答案】解：因為是的直徑，所以，

因為垂直所在的平面．

所以平面，

因為四邊形為平行四邊形，

所以，所以平面，

所以．

因為，，平面，

所以平面，

因為．

所以平面．

因為平面，

所以平面平面．

由得平面，．

以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

易知，則，

，，

，，，

設(shè)平面的法向量為．

由，，

得，

不妨令，則，，所以．

記直線與平面所成的角為，

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為．

5.【答案】解：因為側(cè)面，平面，所以．

又因為是等邊三角形，是線段的中點，所以．

因為、為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，

而平面，所以．

；

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則，，，

所以，，

設(shè)為平面的法向量．

由，得令，可得．

設(shè)與平面所成的角為，

則，．

所以與平面所成角的正弦值為．

6.【答案】Ⅰ證明：因為平面，，平面，所以，，

又，如圖，建立以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸的空間直角坐標系．

由已知，，，．

所以，，，，，

又為中點，所以．

所以，，

所以，

所以．

Ⅱ解：設(shè)平面的法向量為，

則，，

即，

令，得，．

，

，

故直線與平面所成角的正弦值為．

7.【答案】解：證明：點在底面上的射影為點，平面，四邊形是邊長為的正方形，，，，即：，，又，點是的中點，，同理可得：，又，且，平面，平面，又平面，平面平面．如圖，連接，易知，，兩兩互相垂直，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，假設(shè)存在點使得直線與平面所成的角的正弦值為，點在棱上，不妨設(shè)，，又，，，設(shè)平面的法向量為，則，，令，則，，又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，，，即，解得：或不合題意，舍去，存在點符合題意，點為棱上靠近端點的三等分點．

8.【答案】Ⅰ證明：取的中點，連接，，過作于，

，，，

四邊形是矩形，，，

又，，故CD，

，，

又，，又，，平面

平面，又平面，

．

Ⅱ解：過作于，

，為的中點，

平面平面，平面平