初中數(shù)學(xué)各種公式(包括指導(dǎo)應(yīng)用題)

中考數(shù)學(xué)各種常用公式與性質(zhì).乘法與因式分解①<a+b><a—b>=a2—b2；②<a±b>2=a2±2ab+b2；③<a+b><a2—ab+b2>=a?+b3；④<a—b><a2+ab+b2>=a3—b3；a2+b2=<a+b>2—2ab；<a—b>2=<a+b>2—4ab..冪的運算性質(zhì)①amXan=am+n；②am÷an=am-n；③<am>n=amn；④<ab>n=anbn；⑤<b>n=土；⑥a-n=_L,特別：<>-n=<>n；⑦ao=1<a≠0>.an.二次根式①<>2=a<a≥0>；②=Ia∣；③=x；④=<a>0,b≥0>..三角不等式Ial-∣b∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣〔定理〕；加強條件：llal-∣b∣∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣也成立,這個不等式也可稱為向量的三角不等式〔其中a,b分別為向量a和向量b〕∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;la-b∣≤∣a∣+∣b∣;∣a∣≤b<=>-b≤a≤b;la-b∣≥∣a∣-lbl;-∣a∣≤a≤∣a∣；.某些數(shù)列前n項之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n<n+1>∕2;1+3+5+7+9+11+13+15+…+<2n-1>=n2;2+4+6+8+10+12+14+…+<2n>=n<n+1>;I2+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n<n+1><2n+1>∕6;13+23+33+43+53+63+…n3=n2<n+l>2∕4；1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n<n+1>=n<n+1><n+2>∕3；.一元二次方程對于方程：ax2+bx+c=0:①求根公式是X=一b±':b2-4ac,其中^=b2—4ac叫做根的判別式.2a當(dāng)4>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)^=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)^V0時,方程沒有實數(shù)根.注意：當(dāng)△≥0時,方程有實數(shù)根.②假設(shè)方程有兩個實數(shù)才也I和x2,如此二次三項式ax2+bx+c可分解為a<x—X1><x—X2>.③以a和b為根的一■元二次方程是X2—<a+b>x+ab=0..一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b<k≠0>的圖象是一條直線<b是直線與y軸的交點的縱坐標(biāo),稱為截距>.①當(dāng)k>0時,y隨X的增大而增大<直線從左向右上升>;②當(dāng)kV0時,y隨x的增大而減小<直線從左向右下降>;③特別地：當(dāng)b=0時,y=kx<k≠0>又叫做正比例函數(shù)<y與X成正比例>,圖象必過原點.．反比例函數(shù)反比例函數(shù)y=<k≠0>的圖象叫做雙曲線.①當(dāng)k>0時,雙曲線在一、三象限〈在每一象限,從左向右降>；②當(dāng)kV0時,雙曲線在二、四象限〈在每一象限,從左向右上升?.． 二次函數(shù)〔1〕,定義：一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0),那么y叫做X的二次函數(shù).〔2〕.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①a的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)a>0時,開口向上；當(dāng)a<0時,開口向下；∣a∣相等,拋物線的開口大小、形狀一樣.②平行于》軸〔或重合〕的直線記作x=h.特別地,>軸記作直線x=0.〔3〕.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)V=ax2當(dāng)a>0時開口向上當(dāng)a<0時開口向下x=0〔V軸〕〔0,0〕V=ax2+kx=0〔V軸〕<0,k>V=a(x-h)2x=h<h,0>V=a(x-h)+kx=h<h,k>V=ax2+bx+cbx=———2ab4ac一b2<- , >2a 4a〔4〕.求拋物線的頂點、對稱軸的方法小.?a、工 ， (b①公式法：V=ax2+bx+c=ax+——I2a√24ac-b2 .τw卜曰/b4ac一b2、“工以6日上力+ ,，頂點是(-一, ),對稱軸是直線4a 2a 4abx=- 2a②配方法：運用配方的方法,將拋物線的解析式化為y=a(X-h)+k的形式,得到頂點為<h,k>,對稱軸是直線X=h.③運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形,對稱軸與拋物線的交點是頂點.x+x假設(shè)拋物線上兩點(X,V)、(x,v)〔與V值一樣〕，如此對稱軸方程可以表示為：X=。二12 2⑸.拋物線-ax2+bx+c中,a,b,C的作用①a決定開口方向與開口大小,這與y=ax2中的a完全一樣.②b和ay=ax2+bx+c的對稱軸是直線.bbX=-——,故：①b=0時,對稱軸為y軸；②一>0〔即a、b同號〕時,對稱軸在y軸左側(cè)；2a ab③b<0〔即a、b異號〕時,對稱軸在y軸右側(cè).a③C的大小決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點的位置.當(dāng)X=0時,y=C,，拋物線y=ax2+bx+c與y軸有且只有一個交點〔0,C〕：①c=0,拋物線經(jīng)過原點；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)半軸.by軸右側(cè),如此—<0.a〔6〕.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式①一般式：y=ax2+bx+c.圖像上三點或三對X、y的值,通常選擇一般式.②頂點式：y=a(X-h)+h圖像的頂點或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點式.③交點式：圖像與X軸的交點坐標(biāo)X、X,通常選用交點式：y=a(X-x)Q-x).12 1 2〔7〕.直線與拋物線的交點①y軸與拋物線y=ax2+bx+c得交點為<0,C>.②拋物線與x軸的交點.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)X、X,是對應(yīng)一元二次方程12ax2+bx+c=0x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：a有兩個交點o<Δ>0>O拋物線與x軸相交；b有一個交點〔頂點在x軸上〕O<Δ=0>O拋物線與x軸相切；C沒有交點O<Δ<0>O拋物線與X軸相離.③平行于X軸的直線與拋物線的交點同②一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時,兩交點的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為人,如此橫坐標(biāo)是ax2+bx+c=k的兩個實數(shù)根.④一次函數(shù)y=kx+n(k≠0)的圖像l與二次函數(shù)y=ax2+bx+cQ≠0)的圖像G的交點,由方程y=kx+n組 的解的數(shù)目來確定：y=ax2+bx+ca方程組有兩組不同的解時。l與G有兩個交點；b方程組只有一組解時Ol與G只有一個交點；c方程組無解時Ol與G沒有交點⑤拋物線與x軸兩交點之間的距離假設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與X軸兩交點為A(X,0)B(X,0),1 2如此AB=IX-xI10. 統(tǒng)計初步I2〔1〕概念：①所要考察的對象的全體叫做總體,其中每一個考察對象叫做個體.從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本,樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量.②在一組數(shù)據(jù)中,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)<有時不止一個>,叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,把處在最中間的一個數(shù)＜或兩個數(shù)的平均數(shù)＞叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．〔2〕公式：設(shè)有n個數(shù)X1,X'2,...,Xn,那么:①平均數(shù)為：X=xι+x2+……+Xnn②極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化圍，用這種方法得到的差稱為極差,即：極差=最大值-最小值；③方差：數(shù)據(jù)X、X121如此S2=一

nX的方差為S2,

n-2 -2 -2XXlXX XX1- -∣- 2—十十〃一④標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根.數(shù)據(jù)X、X , X的標(biāo)準(zhǔn)差S,12 n如此S=+Xn一組數(shù)據(jù)的方差越大,這組數(shù)據(jù)的波動越大,越不穩(wěn)定.X211． 頻率與概率〔1〕頻率頻率=頻數(shù),各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù),各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方圖中各個小總數(shù)長方形的面積為各組頻率.〔2〕概率①如果用P表示一個事件A發(fā)生的概率,如此0≤P〔A〕≤LP〔必然事件〕=1；P〔不可能事件〕=0；②在具體情境中了解概率的意義,運用列舉法〔包括列表、畫樹狀圖〕計算簡單事件發(fā)生的概率.③大量的重復(fù)實驗時頻率可視為事件發(fā)生概率的估計值；12．銳角三角形①設(shè)∠A是4ABC的任一銳角,如此/A的正弦：sinA=,∠A的余弦：CoSA=,∠A的正切：tanA=.并Asi∏2A+cos2A=1.0VsinAV1,0VcosA<1,ta∏A>0.∠A越大,/A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小.②余角公式：si∏<90°-A>=cosA,cos<90°-A>=si∏A.③特殊角的三角函數(shù)值：si∏30°=cos60°=,si∏45°=cos45°=,si∏60°=cos30°=,ta∏30°=,ta∏45°=1,ta∏60°=.④斜坡的坡度：，=鉛垂高度

水平寬度設(shè)坡角為￡,如此i=tanα=.13．正〔余〕弦定理〔1〕正弦定理a∕si∏A=b/SinB=C/si∏C=2R;注：其中R表示三角形的外接圓半徑.正弦定理的變形公式：<1>a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；<2>sinA:sinB:sinC=a:b:C〔2〕余弦定理b2=a2+c2-2accosB;a2=b2+c2-2bccosA;c2=a2+b2-2abcosC;注：NC所對的邊為c,NB所對的邊為b,NA所對的邊為a.三角函數(shù)公式(1)兩角和公式sin<A+B>=sinAcosB+cosAsinBsin<A-B>=sinAcosB-sinBcosAcos<A+B>=cosAcosB-sinAsinBcos<A-B>=cosAcosB+sinAsinBtan<A+B>=<tanA+tanB>∕<1-tanAtanB>tan<A-B>=<tanA-tanB>∕<1+tanAtanB>ctg<A+B>=<ctgActgB-1>∕<ctgB+ctgA>ctg<A-B>=<ctgActgB+1>/<ctgB-ctgA>(2)倍角公式tan2A=2tanA/<1-tan2A>ctg2A=<ctg2A-1>/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a(3)半角公式sin<A∕2>=√<<1-cosA>/2>sin<A/2>=-d<<1-cosA>/2>cos<A∕2>=√<<1+cosA>∕2>cos<A∕2>=-√<<1+cosA>∕2>tan<A∕2>=√<<1-cosA>/<<1+cosA>>tan<A/2>=-d<<1-cosA>/<<1+cosA>>ctg<A∕2>=√<<1+cosA>∕<<1-cosA>>ctg<A/2>=-√<<1+cosA>∕<<1-cosA>>(4)和差化積sinA+sinB=2sin<<A+B>/2>cos<<A-B>/2cosA+cosB=2cos<<A+B>/2>sin<<A-B>/2>tanA+tanB=sin<A+B>/cosAcosBtanA-tanB=sin<A-B>/cosAcosBctgA+ctgBsin<A+B>/SinASinB-ctgA+ctgBsin<A+B>/SinASinB(5)積化和差2sinAcosB=sin<A+B>+sin<A-B>2cosAsinB=sin<A+B>-sin<A-B>2cosAcosB=cos<A+B>-sin<A-B>-2sinAsinB=cos<A+B>-cos<A-B>.平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)知識〔1〕對稱性：假設(shè)直角坐標(biāo)系一點P〔a,b〕，如此P關(guān)于X軸對稱的點為P1〔a,—b〕，P關(guān)于y軸對稱的點為P2〔一α,b〕，關(guān)于原點對稱的點為P3〔一a,~b〕.〔2〕坐標(biāo)平移：假設(shè)直角坐標(biāo)系一點P〔a,b〕向左平移h個單位,坐標(biāo)變?yōu)镻〔a~h,b〕，向右平移h個單位,坐標(biāo)變?yōu)镻〔a+h,b〕；向上平移h個單位,坐標(biāo)變?yōu)镻〔a,b+h〕，向下平移h個單位,坐標(biāo)變?yōu)镻〔a,b—h〕.如：點A〔2,—1〕向上平移2個單位,再向右平移5個單位,如此坐標(biāo)變?yōu)锳〔7,1〕..多邊形角和公式多邊形角和公式：n邊形的角和等于<n—2>180°〔n≥3,n是正整數(shù)〕，外角和等于360°.平行線段成比例定理〔1〕平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.如圖：a//b//c,直線11與12分別與直線a、b、c相交與點A、B、C和D、E、F,如此有ABDEABBCEF'ACDEBCDF，ACEFDF〔2〕推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或兩邊的延長線〕,所得的對應(yīng)線段成比例.如圖：△ABC中,DE〃BC,DE與AB、AC相交與點D、E,如此有：AD_AEADAE_DEDB_ECDb—EC'AB—AC—BC'AB—AC．直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理：如圖：Rt△ABC中,/ACB=90o,CD⊥AB于D,如此有：〔1〕CD2=AD?BD〔2〕AC2=AD?AB〔3〕BC2=BD?AB．圓的有關(guān)性質(zhì)〔1〕垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質(zhì)中的任意兩個性質(zhì)：①經(jīng)過圓心；②垂直弦;③平分弦；④平分弦所對的劣??；⑤平分弦所對的優(yōu)弧,那么這條直線就具有另外三個性質(zhì).注：具備①,③時,弦不能是直徑.〔2〕兩條平行弦所夾的弧相等.〔3〕圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).〔4〕一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.〔5〕圓周角等于它所對的弧的度數(shù)的一半.〔6〕同弧或等弧所對的圓周角相等.〔7〕在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等.〔8〕90°的圓周角所對的弦是直徑,反之,直徑所對的圓周角是90°,直徑是最長的弦.、〔9〕圓接四邊形的對角互補.．三角形的心與外心〔1〕三角形的切圓的圓心叫做三角形的心．三角形的心就是三角角平分線的交點.〔2〕三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三邊中垂線的交點．常見結(jié)論：①Rt△ABC的三條邊分別為：1、b、〔C為斜邊〕,如此它的切圓的半徑r=a+b-C-2^^S=-Ir②AABC的周長為l,面積為S,其切圓的半徑為「,如此 2．弦切角定理與其推論〔1〕弦切角：頂點在圓上,并且一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角.如圖：∠PAC為弦切角.〔2〕弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半.如果AC是。O的弦,PA是。O的切線A為切點,如此/PAC=-AC=-AAOC

22推論：弦切角等于所夾弧所對的圓周角〔作用證明角相等〕如果AC是。O的弦,PA是。O的切線A為切點,如此/PAC=AABC.相交弦定理、割線定理和切割線定理〔1〕相交弦定理：圓的兩條弦相交,被交點分成的兩條線段長的積相等.如圖①,即：PA?PB=PC?PD〔2〕割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線,這點到每條割線與圓交點的兩條線段長的積相等.如圖②,即：PA?PB=PC?PD〔3〕切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.如圖③,即：PC2=PA-PB①.面積公式②③①S?=×＜邊長＞2.②S平行四邊形=底×高.③S菱形=底X高=×＜對角線的積＞,④S =1（上底+下底）X高=中位線X高梯形2S=πR2.圓l =2πR.圓周長⑦弧長L=.⑧S扇形n兀r2 1 二—lr360 2⑨S =底面周長X高=2πr0,圓柱側(cè)S=S+S=2πrh+2πr全面積 側(cè)底⑩S =×底面周長、母線=兀仍,圓錐側(cè)S人積=S側(cè)+S:=πrb+πr2初中數(shù)學(xué)各種應(yīng)用題公式平均數(shù)問題公式〔一個數(shù)十另一個數(shù)〕÷2反向行程問題公式路程÷＜大速+小速〕同向行程問題公式路程÷＜大速一小速〕行船問題公式同上列車過橋問題公式〔車長+橋長〕÷車速工程問題公式1÷速度和盈虧問題公式〔盈+虧〕÷兩次的相差數(shù)利率問題公式總利潤÷本錢×100%盈虧＜盈+虧＞÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)＜大盈一小盈＞÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)＜大虧一小虧＞÷兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)相遇相遇路程=速度和×相遇時間相遇時間=相遇路程÷速度和速度和=相遇路程÷相遇時間追與追與距離=速度差×追與時間追與時間=追與距離÷速度差速度差=追與距離÷追與時間流水順流速度=靜水速度+水流速度逆流速度=靜水速度一水流速度靜水速度=＜順流速度+逆流速度＞÷2水流速度=＜順流速度一逆流速度＞÷2濃度溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%=濃度溶液的重量×濃度=溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量÷濃度=溶液的重量利潤與折扣利潤=售出價一本錢利潤率=利潤÷本錢×100%=＜售出價÷本錢—1＞×100%漲跌金額=本金×漲跌百分比折扣=實際售價÷原售價×100%＜折扣＜1＞利息=本金×利率×?xí)r間稅后利息=本金×利率×?xí)r間×＜1—20%＞植樹問題1非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形：⑴如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么：株數(shù)=段數(shù)+1=全長÷株距一1全長=株距×＜株數(shù)一1＞株距=全長÷＜株數(shù)一1＞⑵如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么:株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距全長=株距×株數(shù)株距=全長÷株數(shù)⑶如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么：株數(shù)=段數(shù)一1=全長÷株距一1全長=株距×＜株數(shù)+1＞株距=全長÷＜株數(shù)+1＞2封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下株數(shù)=段數(shù)=全長÷株距全長=株距×株數(shù)株距=全長÷株數(shù)1每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)21倍數(shù)×倍數(shù)=幾倍數(shù)幾倍數(shù)÷1倍數(shù)=倍數(shù)幾倍數(shù)÷倍數(shù)=1倍數(shù)3速度×?xí)r間=路程路程÷速度=時間路程÷時間=速度4單價×數(shù)量=總價