2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽高級(jí)中學(xué)重點(diǎn)班高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第第頁2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽高級(jí)中學(xué)重點(diǎn)班高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（含解析）2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽高級(jí)中學(xué)重點(diǎn)班高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)集合，，則()

A.B.C.D.

2.已知，則“”是“”的條件．()

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

3.已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.C.D.

4.保護(hù)環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財(cái)富，也是經(jīng)濟(jì)財(cái)富，關(guān)系社會(huì)發(fā)展的潛力和后勁某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量單位：毫米升與過濾時(shí)間單位：小時(shí)之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量該工廠某次過濾廢氣時(shí)，若前個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的參考數(shù)據(jù)：．()

A.B.C.D.

5.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為()

A.B.C.D.

6.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為()

A.B.

C.D.

7.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則()

A.B.C.D.

8.已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論是()

A.若，，則

B.命題的否定是：，

C.若且，則

D.若，，則實(shí)數(shù)

10.已知甲罐中在四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)，，，；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為，，，，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取個(gè)小球，記事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于”，則()

A.事件發(fā)生的概率為B.事件發(fā)生的概率為

C.事件發(fā)生的概率為D.從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為的小球的概率為

11.已知函數(shù)，令，則()

A.或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)

B.若有個(gè)零點(diǎn)，則或

C.的值域是

D.若有個(gè)零點(diǎn)，，，且，則的取值范圍為

12.已知函數(shù)，，則()

A.函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)

B.為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

C.若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為

D.若，則的最大值為

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.現(xiàn)從名男志愿者和名女志愿者中，選派人分別去甲、乙兩地?fù)?dān)任服務(wù)工作，若被選派的人中至少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有______種．用數(shù)字作答

14.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為______．

15.已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為______．

16.若對(duì)于恒成立．當(dāng)時(shí)，的最小值為______；當(dāng)時(shí)，的最小值是______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

設(shè)，其中，，，，．

若，寫出二項(xiàng)展開式第四項(xiàng)；

若，求出的值．

18.本小題分

設(shè)全集，，．

當(dāng)時(shí)，求，；

若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

19.本小題分

已知函數(shù)為常數(shù)且方程有兩個(gè)實(shí)根為，．

求函數(shù)的解析式；

設(shè)，解關(guān)于的不等式：．

20.本小題分

某公司是一家專做產(chǎn)品的國(guó)內(nèi)外銷售的企業(yè)，每一批產(chǎn)品上市銷售天全部售完，該公司對(duì)第一批產(chǎn)品上市后的國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)的銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖、圖、圖所示，其中圖中的折線表示的是國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖中的拋物線表示國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖中的折線表示的是每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)相同

分別寫出國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量，國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量與第一批產(chǎn)品的上市時(shí)間的關(guān)系式；

每一批產(chǎn)品上市后，問哪一天這家公司的日銷售利潤(rùn)最大？最大是多少？

21.本小題分

網(wǎng)上購(gòu)物就是通過互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過電子訂購(gòu)單發(fā)出購(gòu)物請(qǐng)求，廠商通過郵購(gòu)的方式發(fā)貨或通過快遞公司送貨上門，貨到后通過銀行轉(zhuǎn)賬、微信或支付寶支付等方式在線匯款根據(jù)年中國(guó)消費(fèi)者信息研究，超過的消費(fèi)者更加頻繁地使用網(wǎng)上購(gòu)物，使得網(wǎng)上購(gòu)物和送貨上門的需求量激增，越來越多的消費(fèi)者也首次通過第三方、品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺(tái)進(jìn)行購(gòu)物某天貓專營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了年月日至日這天到該專營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)和時(shí)間第，天間的數(shù)據(jù)，列表如表：

由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系？若可用，估計(jì)月日到該專營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)；若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合，計(jì)算時(shí)精確到．

參考數(shù)據(jù)：．

附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程的斜率：，．

運(yùn)用分層抽樣的方法從第天和第天到該專營(yíng)店購(gòu)物的人中隨機(jī)抽取人，再?gòu)倪@人中任取人進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，求這人取自不同天的概率；

該專營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：

方案一，購(gòu)物金額每滿元可減元；

方案二，一次性購(gòu)物金額超過元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打折，中獎(jiǎng)兩次打折，中獎(jiǎng)三次打折．

某顧客計(jì)劃在此專營(yíng)店購(gòu)買元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠．

22.本小題分

已知函數(shù)．

若在處有極值，求實(shí)數(shù)的值；

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，．

，或．

則．

故選：．

先求出集合，再求集合關(guān)于全集的補(bǔ)集，再跟集合取交集即可．

本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：”，

是的充要條件．

故選：．

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，充要條件的定義判定即可．

本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，充要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：因?yàn)?，所以為減函數(shù)．又由函數(shù)在上為減函數(shù)，

可得函數(shù)在上大于零，且，故有，解得．

故選：．

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．

本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．

4.【答案】

【解析】解：因?yàn)榍皞€(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉，

所以，即，所以，

再繼續(xù)過濾小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為，

所以廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的．

故選：．

根據(jù)題意可得，解得，從而求得關(guān)于殘留數(shù)量與過濾時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，再將代入即可求得答案．

本題考查了指數(shù)的基本運(yùn)算，也考查了函數(shù)在生活中的實(shí)際運(yùn)用，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，

所以，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)．

故選：．

由已知利用乘法，結(jié)合基本不等式即可求解．

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題．

判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的特殊值判斷點(diǎn)的位置，推出選項(xiàng)即可．

【解答】

解：函數(shù)，

則，

所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C和，

當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，

所以函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為選項(xiàng)B中的圖象，

故選B．

7.【答案】

【解析】解：由函數(shù)，可得，

因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以，是方程的兩個(gè)正根，

即的兩個(gè)正根為，．

所以，即，

所以，

，

所以，可得，因?yàn)椋裕?/p>

故選：．

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的兩個(gè)極值，推出的范圍，利用函數(shù)的極值的和，轉(zhuǎn)化求解即可．

本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．

8.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋傻煤瘮?shù)為偶函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，則，可得，

構(gòu)建，則，

令，解得；令，解得；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

可得，

即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?，且?/p>

所以，即．

故選：．

根據(jù)題意求得函數(shù)為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性分析判斷．

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對(duì)于，，，

，，，正確，

，命題的否定是：，，正確，

，且，，，錯(cuò)誤，

，，，

，

，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，

，即實(shí)數(shù)，錯(cuò)誤．

故選：．

利用不等式的性質(zhì)判斷，利用含有量詞的命題的否定判斷，利用基本不等式求最值判斷．

本題主要考查不等式的性質(zhì)，含有量詞的命題的否定，基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：甲罐中在四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)，，，；乙罐中有五個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為，，，，．

現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取個(gè)小球，記事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積大于”，

對(duì)于，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取個(gè)小球，基本事件總數(shù)，

事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個(gè)，

，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于，事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個(gè)，

，故B正確；

對(duì)于，事件包含的基本事件有，，，，，，，，共個(gè)，

．

對(duì)于，從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為的小球的概率為，故D錯(cuò)誤．

故選：．

對(duì)于，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取個(gè)小球，基本事件總數(shù)，利用列舉法求出事件包含的基本事件有個(gè)，從而；對(duì)于，利用列舉法求出事件包含的基本事件有個(gè)，從而；對(duì)于，利用列舉法求出事件包含的基本事件有個(gè)，從而對(duì)于，從甲罐中抽到標(biāo)號(hào)為的小球的概率為．

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：由函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象如圖所示，

由，得，

可知函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于，要使得函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

結(jié)合圖象，可得或，故B正確；

對(duì)于，由函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的值域?yàn)椋蔆正確；

對(duì)于，由有個(gè)零點(diǎn)，，，且，

可得，

由，即，得，可得，

又由，解得，

的取值范圍為，故D正確．

故選：．

畫出函數(shù)的圖象，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合選項(xiàng)和函數(shù)的圖象，逐項(xiàng)判定，即可求解．

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：易知，

令，

可得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

則，

故函數(shù)在單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在上無極值點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：易知，

令，

可得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

此時(shí)，

即，

又時(shí)，，

作出函數(shù)的圖象，

若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)有兩個(gè)實(shí)根，

即函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)B知在上恒成立，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，

此時(shí)不等式恒成立，

等價(jià)于恒成立，

所以，

不妨設(shè)，

可得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時(shí)，

即，

則實(shí)數(shù)的最小值為，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：若，

此時(shí)，

即，

因?yàn)椋?/p>

所以，，，

由選項(xiàng)A知在上單調(diào)遞增，

所以，

此時(shí)，

不妨設(shè)，

可得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時(shí)，

可得，

則的最大值是，故選項(xiàng)D正確．

故選：．

由題意，利用導(dǎo)數(shù)推出在單調(diào)遞增，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)A；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，繼而可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)在單調(diào)遞增，將不等式化為恒成立，右邊構(gòu)造函數(shù)求出最大值，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)C；結(jié)合以及指對(duì)同構(gòu)得，將化為，再求導(dǎo)可求出最大值，可判斷選項(xiàng)D．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．

13.【答案】

【解析】解：從名男志愿者和名女志愿者中，選派人，

選法共有種，

都是女志愿者的選法有種，

被選派的人中至少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有：種，

故答案為：．

求出總數(shù)以及不符合的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求解結(jié)論．

本題考查排列組合的應(yīng)用，本題運(yùn)用排除法，可以避免討論，簡(jiǎn)化計(jì)算．

14.【答案】

【解析】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，

令得，，

項(xiàng)的系數(shù)為．

故答案為：．

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解．

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：由，得，

依題意，，又，

聯(lián)立消去得：，而，解得，

的值為．

故答案為：．

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程并求解作答．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

16.【答案】

【解析】解：對(duì)于恒成立，

等價(jià)于對(duì)于恒成立，

令，則，

令，解得，

令，解得，

故在遞增，在遞減，

故，

因?yàn)閷?duì)于恒成立，

只需在恒成立即可，

時(shí)，，故的最小值是，

時(shí)，令，解得，

取最小值時(shí)，直線在軸的截距最大，

令，解得：，故，

即的最小值是．

故答案為：；．

令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，求出的最小值即可，時(shí)，令，解得：，取最小值時(shí)，直線在軸的截距最大，求出的最小值即可．

本題主要考查函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．

17.【答案】解：時(shí)，二項(xiàng)式展開式第四項(xiàng)為．

，

令，，

令，，

所以，

【解析】由二項(xiàng)式展開式公式即可求得第四項(xiàng)；

分別令，，計(jì)算即可得結(jié)論．

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：令可得，解得，

所以，或

當(dāng)時(shí)，，

所以，

或．

由“”是“”的充分不必要條件可得，集合是集合的真子集，

又，，

所以，解得，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．

【解析】解不等式可得集合，將代入解出集合，根據(jù)集合基本運(yùn)算即可求得結(jié)果；

根據(jù)題意可得集合是集合的真子集，根據(jù)集合間的基本關(guān)系即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．

本題考查充分不必要條件的定義，集合運(yùn)算、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：將，代入，

可得：，解得，

則，

因?yàn)?，則，即符合題意，

所以．

由可得：，整理得，

則，

令，解得或或，

且，可得或，

所以不等式的解集為．

【解析】根據(jù)題意把方程的根，分別代入方程，解方程組可得答案；

根據(jù)，把代入不等式化簡(jiǎn)可得，根據(jù)與的大小關(guān)系，可得不等式的解集．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求解方法，一元二次不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

20.【答案】解：由圖象得函數(shù)的解析式分別為：

．

設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為，

則，

從而這家公司的日銷售利潤(rùn)的解析式為：

．

當(dāng)時(shí)，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)

當(dāng)時(shí)，，

時(shí)

當(dāng)

綜上所述

第一批產(chǎn)品上市后，這家公司的日銷售利潤(rùn)在第天最大，最大值為萬元．

【解析】觀察函數(shù)的圖象知：圖是一條折線，其解析式寫成分段函數(shù)的形式；圖是拋物線，其解析式是二次函數(shù)的形式；由圖象得函數(shù)的解析式即可；

先由題意得出這家公司的日銷售利潤(rùn)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式求出此函數(shù)的最大值，從而得到第一批產(chǎn)品上市后，這家公司的日銷售利潤(rùn)在第幾天最大，最大值為多少萬元．

本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．

21.【答案】解：由表中的數(shù)據(jù)可得，，

，，，

故，

所以變量與具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，

故可