2023-2024學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽高級中學(xué)重點班高三（上）段考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設(shè)集合，，則()

A.B.C.D.

2.已知，則“”是“”的條件．()

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

3.已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()

A.B.C.D.

4.保護環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財富，也是經(jīng)濟財富，關(guān)系社會發(fā)展的潛力和后勁某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量單位：毫米升與過濾時間單位：小時之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量該工廠某次過濾廢氣時，若前個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾小時，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的參考數(shù)據(jù)：．()

A.B.C.D.

5.已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為()

A.B.C.D.

6.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為()

A.B.

C.D.

7.若函數(shù)有兩個極值點，，且，則()

A.B.C.D.

8.已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論是()

A.若，，則

B.命題的否定是：，

C.若且，則

D.若，，則實數(shù)

10.已知甲罐中在四個相同的小球，標(biāo)號，，，；乙罐中有五個相同的小球，標(biāo)號為，，，，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取個小球，記事件“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于”，事件“抽取的兩個小球標(biāo)號之積大于”，則()

A.事件發(fā)生的概率為B.事件發(fā)生的概率為

C.事件發(fā)生的概率為D.從甲罐中抽到標(biāo)號為的小球的概率為

11.已知函數(shù)，令，則()

A.或時，有個零點

B.若有個零點，則或

C.的值域是

D.若有個零點，，，且，則的取值范圍為

12.已知函數(shù)，，則()

A.函數(shù)在上存在唯一極值點

B.為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是

C.若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為

D.若，則的最大值為

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.現(xiàn)從名男志愿者和名女志愿者中，選派人分別去甲、乙兩地?fù)?dān)任服務(wù)工作，若被選派的人中至少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有______種．用數(shù)字作答

14.在的展開式中，項的系數(shù)為______．

15.已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則的值為______．

16.若對于恒成立．當(dāng)時，的最小值為______；當(dāng)時，的最小值是______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

設(shè)，其中，，，，．

若，寫出二項展開式第四項；

若，求出的值．

18.本小題分

設(shè)全集，，．

當(dāng)時，求，；

若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．

19.本小題分

已知函數(shù)為常數(shù)且方程有兩個實根為，．

求函數(shù)的解析式；

設(shè)，解關(guān)于的不等式：．

20.本小題分

某公司是一家專做產(chǎn)品的國內(nèi)外銷售的企業(yè)，每一批產(chǎn)品上市銷售天全部售完，該公司對第一批產(chǎn)品上市后的國內(nèi)外市場的銷售情況進行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖、圖、圖所示，其中圖中的折線表示的是國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖中的拋物線表示國外市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖中的折線表示的是每件產(chǎn)品的銷售利潤與上市時間的關(guān)系國內(nèi)外市場相同

分別寫出國內(nèi)市場的日銷售量，國外市場的日銷售量與第一批產(chǎn)品的上市時間的關(guān)系式；

每一批產(chǎn)品上市后，問哪一天這家公司的日銷售利潤最大？最大是多少？

21.本小題分

網(wǎng)上購物就是通過互聯(lián)網(wǎng)檢索商品信息，并通過電子訂購單發(fā)出購物請求，廠商通過郵購的方式發(fā)貨或通過快遞公司送貨上門，貨到后通過銀行轉(zhuǎn)賬、微信或支付寶支付等方式在線匯款根據(jù)年中國消費者信息研究，超過的消費者更加頻繁地使用網(wǎng)上購物，使得網(wǎng)上購物和送貨上門的需求量激增，越來越多的消費者也首次通過第三方、品牌官方網(wǎng)站和微信社群等平臺進行購物某天貓專營店統(tǒng)計了年月日至日這天到該專營店購物的人數(shù)和時間第，天間的數(shù)據(jù)，列表如表：

由表中給出的數(shù)據(jù)是否可用線性回歸模型擬合人數(shù)與時間之間的關(guān)系？若可用，估計月日到該專營店購物的人數(shù)人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)；若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合，計算時精確到．

參考數(shù)據(jù)：．

附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程的斜率：，．

運用分層抽樣的方法從第天和第天到該專營店購物的人中隨機抽取人，再從這人中任取人進行獎勵，求這人取自不同天的概率；

該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案：

方案一，購物金額每滿元可減元；

方案二，一次性購物金額超過元可抽獎三次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打折，中獎兩次打折，中獎三次打折．

某顧客計劃在此專營店購買元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠．

22.本小題分

已知函數(shù)．

若在處有極值，求實數(shù)的值；

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，．

，或．

則．

故選：．

先求出集合，再求集合關(guān)于全集的補集，再跟集合取交集即可．

本題主要考查集合的交集、補集運算，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：”，

是的充要條件．

故選：．

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，充要條件的定義判定即可．

本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，充要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：因為，所以為減函數(shù)．又由函數(shù)在上為減函數(shù)，

可得函數(shù)在上大于零，且，故有，解得．

故選：．

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．

本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．

4.【答案】

【解析】解：因為前個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，

所以，即，所以，

再繼續(xù)過濾小時，廢氣中污染物的殘留量約為，

所以廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的．

故選：．

根據(jù)題意可得，解得，從而求得關(guān)于殘留數(shù)量與過濾時間的函數(shù)關(guān)系式，再將代入即可求得答案．

本題考查了指數(shù)的基本運算，也考查了函數(shù)在生活中的實際運用，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：因為正實數(shù)，滿足，

所以，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號．

故選：．

由已知利用乘法，結(jié)合基本不等式即可求解．

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題．

判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的特殊值判斷點的位置，推出選項即可．

【解答】

解：函數(shù)，

則，

所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項C和，

當(dāng)時，，排除選項A，

所以函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為選項B中的圖象，

故選B．

7.【答案】

【解析】解：由函數(shù)，可得，

因為函數(shù)存在兩個極值點，，所以，是方程的兩個正根，

即的兩個正根為，．

所以，即，

所以，

，

所以，可得，因為，所以．

故選：．

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的兩個極值，推出的范圍，利用函數(shù)的極值的和，轉(zhuǎn)化求解即可．

本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．

8.【答案】

【解析】解：因為，可得函數(shù)為偶函數(shù)，

當(dāng)時，則，可得，

構(gòu)建，則，

令，解得；令，解得；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

可得，

即在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，

又因為，且，

所以，即．

故選：．

根據(jù)題意求得函數(shù)為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性分析判斷．

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于，，，

，，，正確，

，命題的否定是：，，正確，

，且，，，錯誤，

，，，

，

，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，

，即實數(shù)，錯誤．

故選：．

利用不等式的性質(zhì)判斷，利用含有量詞的命題的否定判斷，利用基本不等式求最值判斷．

本題主要考查不等式的性質(zhì)，含有量詞的命題的否定，基本不等式的運用，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：甲罐中在四個相同的小球，標(biāo)號，，，；乙罐中有五個相同的小球，標(biāo)號為，，，，．

現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取個小球，記事件“抽取的兩個小球標(biāo)號之和大于”，事件“抽取的兩個小球標(biāo)號之積大于”，

對于，從甲罐、乙罐中分別隨機抽取個小球，基本事件總數(shù)，

事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個，

，故A錯誤；

對于，事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個，

，故B正確；

對于，事件包含的基本事件有，，，，，，，，共個，

．

對于，從甲罐中抽到標(biāo)號為的小球的概率為，故D錯誤．

故選：．

對于，從甲罐、乙罐中分別隨機抽取個小球，基本事件總數(shù)，利用列舉法求出事件包含的基本事件有個，從而；對于，利用列舉法求出事件包含的基本事件有個，從而；對于，利用列舉法求出事件包含的基本事件有個，從而對于，從甲罐中抽到標(biāo)號為的小球的概率為．

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：由函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象如圖所示，

由，得，

可知函數(shù)的零點，即函數(shù)與的交點橫坐標(biāo)，

對于，當(dāng)時，函數(shù)沒有零點，故A錯誤；

對于，要使得函數(shù)有個零點，即函數(shù)與有兩個不同的交點，

結(jié)合圖象，可得或，故B正確；

對于，由函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的值域為，故C正確；

對于，由有個零點，，，且，

可得，

由，即，得，可得，

又由，解得，

的取值范圍為，故D正確．

故選：．

畫出函數(shù)的圖象，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點橫坐標(biāo)，結(jié)合選項和函數(shù)的圖象，逐項判定，即可求解．

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)零點的判定，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對于選項A：易知，

令，

可得，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

則，

故函數(shù)在單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在上無極值點，故選項A錯誤；

對于選項B：易知，

令，

可得，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

此時，

即，

又時，，

作出函數(shù)的圖象，

若函數(shù)有兩個零點，

此時有兩個實根，

即函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，

此時，故選項B正確；

對于選項C：由選項B知在上恒成立，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，

此時不等式恒成立，

等價于恒成立，

所以，

不妨設(shè)，

可得，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時，

即，

則實數(shù)的最小值為，故選項C正確；

對于選項D：若，

此時，

即，

因為，

所以，，，

由選項A知在上單調(diào)遞增，

所以，

此時，

不妨設(shè)，

可得，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

此時，

可得，

則的最大值是，故選項D正確．

故選：．

由題意，利用導(dǎo)數(shù)推出在單調(diào)遞增，進而可判斷選項A；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象與直線有兩個交點，繼而可判斷選項B；根據(jù)在單調(diào)遞增，將不等式化為恒成立，右邊構(gòu)造函數(shù)求出最大值，進而可判斷選項C；結(jié)合以及指對同構(gòu)得，將化為，再求導(dǎo)可求出最大值，可判斷選項D．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想和運算能力．

13.【答案】

【解析】解：從名男志愿者和名女志愿者中，選派人，

選法共有種，

都是女志愿者的選法有種，

被選派的人中至少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有：種，

故答案為：．

求出總數(shù)以及不符合的個數(shù)，進而求解結(jié)論．

本題考查排列組合的應(yīng)用，本題運用排除法，可以避免討論，簡化計算．

14.【答案】

【解析】解：二項式的展開式的通項為，

令得，，

項的系數(shù)為．

故答案為：．

根據(jù)二項展開式的通項公式求解．

本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：由，得，

依題意，，又，

聯(lián)立消去得：，而，解得，

的值為．

故答案為：．

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程并求解作答．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查運算求解能力，是中檔題．

16.【答案】

【解析】解：對于恒成立，

等價于對于恒成立，

令，則，

令，解得，

令，解得，

故在遞增，在遞減，

故，

因為對于恒成立，

只需在恒成立即可，

時，，故的最小值是，

時，令，解得，

取最小值時，直線在軸的截距最大，

令，解得：，故，

即的最小值是．

故答案為：；．

令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，求出的最小值即可，時，令，解得：，取最小值時，直線在軸的截距最大，求出的最小值即可．

本題主要考查函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．

17.【答案】解：時，二項式展開式第四項為．

，

令，，

令，，

所以，

【解析】由二項式展開式公式即可求得第四項；

分別令，，計算即可得結(jié)論．

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：令可得，解得，

所以，或

當(dāng)時，，

所以，

或．

由“”是“”的充分不必要條件可得，集合是集合的真子集，

又，，

所以，解得，

故實數(shù)的取值范圍為．

【解析】解不等式可得集合，將代入解出集合，根據(jù)集合基本運算即可求得結(jié)果；

根據(jù)題意可得集合是集合的真子集，根據(jù)集合間的基本關(guān)系即可求得實數(shù)的取值范圍．

本題考查充分不必要條件的定義，集合運算、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：將，代入，

可得：，解得，

則，

因為，則，即符合題意，

所以．

由可得：，整理得，

則，

令，解得或或，

且，可得或，

所以不等式的解集為．

【解析】根據(jù)題意把方程的根，分別代入方程，解方程組可得答案；

根據(jù)，把代入不等式化簡可得，根據(jù)與的大小關(guān)系，可得不等式的解集．

本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求解方法，一元二次不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

20.【答案】解：由圖象得函數(shù)的解析式分別為：

．

設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤為，

則，

從而這家公司的日銷售利潤的解析式為：

．

當(dāng)時，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時

當(dāng)時，，

時

當(dāng)

綜上所述

第一批產(chǎn)品上市后，這家公司的日銷售利潤在第天最大，最大值為萬元．

【解析】觀察函數(shù)的圖象知：圖是一條折線，其解析式寫成分段函數(shù)的形式；圖是拋物線，其解析式是二次函數(shù)的形式；由圖象得函數(shù)的解析式即可；

先由題意得出這家公司的日銷售利潤的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式求出此函數(shù)的最大值，從而得到第一批產(chǎn)品上市后，這家公司的日銷售利潤在第幾天最大，最大值為多少萬元．

本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．

21.【答案】解：由表中的數(shù)據(jù)可得，，

，，，

故，

所以變量與具有很強的線性相關(guān)性，

故可