《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》考試題(含答案)

#/10的樣本，E(X)的矩估計量為￡,15,16,18,14,16,17,16為樣本觀測值，則E(X)的矩估計值為1610、在假設(shè)檢驗中，往往發(fā)生兩類錯誤，第一類錯誤是指H0成立的條件下拒絕H0的錯誤，第二類錯誤是指瓦成立的條件下拒絕的錯誤顯著水平a是指控制第一類錯誤的概率小于a.a二、(6分)已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)=花0其它求：(1)常數(shù)a，(2)p(-1<X<?、③(3)X的分布函數(shù)F(X)。解:⑴由卜f(x)dx=1,得a=-2'—8兀⑵p(—1<X<嘗3)=J3f(x)dx=J30兀1+X2-1dX=I2'x<0?！猘rctanx〔22'0<x<+8X三、(6分)設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率密度分別為：f(x)=〔2’X00<x<2,,其它fY°)=|0',0<'其它，且隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立。(1)求(X,Y)的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)(2)計算概率值p{Y>X2}o解:(1)X,Y相互獨(dú)立，可見(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=f(x)?f(y),XYxy,0<x<2,0<y<120,其它2f(x,y)=2)P(Y>X2)=JJf(x,Y)dxdy=J1dxJ1xydy3'0x2y>x2=11'6四、(8分)從總體X?N(u,b2)中抽取容量為25的一個樣本，樣本均值和樣本方差分別是X二80,S2二9,t(24)二1.71,x2(24)二13.85,x2(24)二36.42分0.050.950.05別求u、c2的置信度為0.95的單側(cè)置信下限。解:(1)n=25,置信水平1—a=0.95,a=0.05,t(24)二1.71,0.05X二80,S2二9由此u的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限3為:80—x1.71=78.9744'J25(2)n=25,置信水平1—a=0.95,a=0.05,x2(24)二36.420.05S2=9由此c2的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為:24X9二5.93X2(24)0.054'五、(8分)設(shè)總體X服從N(u,c2),c2已知,u未知。X,,X是X的一個樣本,1n求u的極大似然估計量，并證明它為u的無偏估計。解:樣本X,...,X的似然函數(shù)為:1n(x—u)2]2'iL(xx,u)(x—u)2]2'i1nk=1而lnL(x,...,x,u)=而lnL(x,...,x,u)=1n一n/21n(2兀)-1憶(x2ik=1—u)2]1'令:d(lnL(x,...,x,u))n令:d(lnL(x,...,x,u))n1n=duk=1—u)=0,1'解得:u=1工xu的最大似然估量u=1工X2'ninik=1k=12'E(u)=E(丄工X)=u,它為u的無偏估計量.n2'k=1六、(8分)一工廠生產(chǎn)化學(xué)制品的日產(chǎn)量(以噸計)近似服從正態(tài)分布,當(dāng)設(shè)備正常時一天產(chǎn)800噸,現(xiàn)測得最近5天的產(chǎn)量分別為:785,805,790,790，802，問是否可以認(rèn)為日產(chǎn)量顯著不為800噸。(取a=0.05)，此題中t(4)=2.7764。0.025解：按題意日產(chǎn)量X?N(u,c2),u,c2未知，現(xiàn)取a=0.05檢驗假設(shè):H:H:u二800,0H:u豐8001'1用t檢驗，現(xiàn)有n二5,a二0.05,t(4)二2.7764，拒絕域為:0.025X-800X-800>2.7767,1'算得：X=794.4,s=8.6169,t=X_800=-1.4527,2's/弱t值不在拒絕域，故接受H,認(rèn)為日產(chǎn)量沒有顯著變化.10七、(8分)設(shè)溫度計制造廠商的溫度計讀數(shù)近似服從正態(tài)分布N(uQ2)Q2,u未知，現(xiàn)他聲稱他的溫度計讀數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為不超過0.5,現(xiàn)檢驗了一組16只溫度計,得標(biāo)準(zhǔn)0。7度，試檢驗制造商的言是否正確(取a=0.05)，此題中x2(15)=24.996。0.05解：按題意溫度計讀數(shù)X?N(uQ2),uQ2未知，現(xiàn)取a=0.05檢驗假設(shè)：H<0.5,H:c>0.51'01用x2檢驗，現(xiàn)有n=5，a=0.05,t(4)=2.7764，拒絕域為:0.025x2=(n-Ds2>x2(15)=24.9961'0.520.05算得：x2(n算得：x2(n-1)s20.5215x0.720.52=29.4>24.9962'在拒絕域，故拒絕H，認(rèn)為溫度計讀數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為顯著超過0.5.01八、(6分)某工廠要求供貨商提供的元件一級品率為90%以上,現(xiàn)有一供應(yīng)商有一大批元件,經(jīng)隨機(jī)抽取100件,經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)有84件為一級品,試以5%的顯著性水平下,檢驗這個供應(yīng)商提供的元件的一級品率是否達(dá)到該廠方的的要求。(已知Z=1.645，提示用中心極限定理)0.05解：總體X服從p為參數(shù)的0-1分布，H:p>p=0.9,H:p<p=0.92'0010X，…,X為總體X的樣本，在H成立條件下，選擇統(tǒng)計量11000Z=.X—p0