江蘇省淮安市淮陰區(qū)淮陰中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題出給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。C不共線，則“ABACBC”是“ABAC”（）A．充分不必要條件C．充分必要條件B．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件(i1)24i1z2．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．—1B．—3C．1D．2x1ax5的展開式中項的3．若aR，則“”是“a3系數(shù)為90”的（）x3A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．馬林當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、費●梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作，了紀(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2P﹣1.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的素數(shù)的個數(shù)是（）人們?yōu)椋ㄆ渲惺撬財?shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù)梅森pA．3B．4C．5D．6D．11i1iz，則的虛部是（）z5．已知復(fù)數(shù)C．1iA．iB．e|x|sin2x的部分圖象大致是（）A．B．C．D．式子表示即為：在ABC中，角A,B,C所7．我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代214abc222邊分別為a,b,c，則ABC的面積S對的(ab)2.根據(jù)此公式，若2acosBb3ccosA0，且a2bc2，則ABC的面積為（）22A．B．C．6D．23222aa4a7a3n2a4n，則aaaaaa（）8．已知數(shù)滿足n1列23n233421225A．8355D．2B．C．449．一個組合體的三視圖如圖所示（圖體積是（）中網(wǎng)格小正方形的邊長為1），則該幾何體的1B．21C．22D．242f(x)eb的一條切線為ya(x1)，則ab的最小值為（）10．已知函數(shù)x1112A．2eB．4eC．D．ee11．已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則的值為()A．B．C．D．”“ab12．設(shè)平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且則是”的mabbm“（）A．充分不必要條件C．充要條件B．必要不充分條件D．即不充分不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出以下式子：①tan25°+tan35°3tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；1tan15③1tan15其中，結(jié)果為3的式子的14．已知三棱錐PABC的四個頂點都在球O的球面上，的表面積為4的球面上有兩點，，球心為為，則四面體的外接球的序號是_____.PABC5,PBAC15,PCAB25，則球O__________.15．已知半徑為O，若球面上的動點C滿足二面角的大小半徑為_________.PF20,1______________．16．已知點是P拋物線x4y上動點，F(xiàn)是拋物線的焦點，點A的坐標(biāo)為，則的最小值為PA三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)|x1||2x1|（1）解不等式f(x)x2；fxgx成立，（2）若函數(shù)g(x)|x2019||x2021a|，若對于任意的xR，都存在xR，使得1212求實數(shù)a的取值范圍.18．（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示．30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100組別頻數(shù)2515020025022510050（1）已知此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N,210，近似為這1000人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），請利用正態(tài)分布的知識求P36Z79.5；（2）在（1）的條下件，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案.（?。┑梅植坏陀诘目梢垣@贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；（ⅱ）每次贈送的隨機話費和相應(yīng)的概率如下表.贈送的隨機話費/元20403414概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記X為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．X0.6827，P2X20.9545，附：21014.5，若XN,P，則2P3X30.9973.19．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求證：平面⊥平面BDEF；ADE（Ⅱ）若二面角的大小為60°，求CF與平面ABCD所成角的正弦值．CBFDPABCD的位置，得到四棱錐，如圖（2），點為線段的中點，MPCEDC150,將且BM平面PCD.（1）求證：平面平面ABCD；1（2）若直線PCAB與所成角的正切值為，求直線BM與平面所成角的正弦值.PDB221．（12分）我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣，費時費力.社保改革后將簡化手續(xù)，深得流動就業(yè)人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人，得到其辦理手續(xù)所需時間（天）與人數(shù)的頻數(shù)分布表：0,22,44,66,88,1010,12時間人數(shù)15（1）若300名辦理社保的人員中流動人員210人，非流動人員90人，若辦理時間超過人，請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時間”有關(guān)60907545154天的人員里非流動人員有60與是否流動人員.列聯(lián)表如下流動人員非流動人員總計時間不超過4天辦理社保手續(xù)所需6090時間超過4天總計210300（2）為了改進(jìn)工作作風(fēng)，提高效率，從抽取的300人中辦理時間為流動人員中利用分層抽樣，抽取名流動8,1212人員召開座談會，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時間為的人數(shù)為，求出分布列及期望值.10,12n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)K附：2PKk0.100.050.0106.6350.0057.87920k2.7063.8410AD//BC,ABC，PE面10分）在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，222．（ABCD,AD3AE,ABBC2AE2,PC3.（1）在線段PD上是否存在點CF//F，使面PAB，說明理由；（2）求二面角EPCD的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運算，結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點A，，C不共線，則BABACBCABACBC0ABACACABACAB0AC2AB2“22ABAC”；故“ABACBC”是“ABAC”的充分必要條件.故選：C.【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】對復(fù)數(shù)z進(jìn)行化簡計算，得到答案.【詳解】42i1iz(i1)442i213ii11i2所以z的虛部為3故選B項.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的計算，虛部的概念，屬于簡單題.3、B【解析】5求得x1ax的二項展開式的通項為Ckax,令k2時,可得x3項的系數(shù)為90,即C2a2=90,求得a,即可得出kk155結(jié)果.【詳解】55若a3則x1ax=x13x二項展開式的通項為Ck3xk+1,令k13,即k2,則x3項的系數(shù)為k5C232=90,充分性成立;當(dāng)x1ax5的展開式中x3項的系數(shù)為90,則有C2a2=90,從而a3,必要性不成立.55故選:B.【點睛】、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考的能力和計算能力,難度較易.本題考查二項式定理生的分析問題4、C【解析】模擬程序的運行即可求出答案．【詳解】解：模擬程序的運行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時，不滿足條件p≤7，退出循環(huán)，結(jié)束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5，故選：C．【點睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】化簡復(fù)數(shù)，分子分母同時乘以1i，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)z，再求出，由此得到虛部.z【詳解】z1ii，zi，所以的虛部為1.z1i故選：C【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】判斷函數(shù)的性質(zhì)，和特殊值的正負(fù)，以及值域，逐一排除選項.【詳解】fxfx，函數(shù)是奇函數(shù)，排除D，x,fx0，排除，時，x0,fx0時，，B220,11，11x0,時，sin2x0,1e,e當(dāng)x28828x0,fx0,1，排除A，時，2C符合條件，故選C.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題型，一般根據(jù)選項判斷函數(shù)的奇偶性，零點，特殊值的正負(fù)，以及單調(diào)性，極值點等排除選項.7、A【解析】根據(jù)acosBb3ccosA0，利用正弦定理邊化為角得sinAcosBcosAsinB3sinCcosA0，整理為sinC13cosA0，根據(jù)，得cosA1sinC0，再由余弦定理得bc3，又a2bc2，代入公式223求解21cba222Sbc.()242【詳解】由acosBb3ccosA0得sinAcosBcosAsinB3sinCcosA0，即sinAB3sinCcosA0sinC13cosA0，，即1因為sinC0，所以cosA，32bccosA2由余弦定理a2bcbc2，所以bc3，223131222421cba222由ABC的面積公式S(bc)2得42故選：A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8、C【解析】a的通項公式，可計算出，然后利用裂項法可求出nn3n2a3n2an利用的前項和求出數(shù)列naaaaaa的值.23342122【詳解】a4a7a3n2a4n.123n當(dāng)n1時，；a41當(dāng)n2時，由a4a7a3n2a4n，123na4a7a3n5a4n1可得，123n143n2a43n2，兩式相減，可得，故ann4a4a因為也適合上式，所以.3n21n161611aa依題意，n1n2，3n13n433n13n4aaaaaa115.161111111611故233477101013346446164342122故選：C.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.Sann9、C【解析】根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個三棱柱，從而解得幾何體的體積.【詳解】由幾何體的三視圖可得，幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個底面半徑為挖去一個底面腰長為的等腰直角三角形、高為1的圓、高為2的圓柱中2的棱2柱，故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，12??1?2?2?222，即V22故選C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題、組合幾何體的體積問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)求導(dǎo)得到f'(x)ex，根據(jù)切線方程得到balna，故aba2lna，設(shè)上1gea0，故xlna，fxab.00故aba(lna1)，故balna，aba2lna.設(shè)gxx2lnx，g'x2xlnxxx2lnx1g'x0，解得1，取.xe21121e2,10,ege.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故gx22emin故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的切線問題，利用導(dǎo)數(shù)求最值，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.11、A【解析】令，構(gòu)造，要使函數(shù)有三個不同的零點（其中），則方程需要有兩個不同的根，則，解得或，結(jié)合的圖象，并分，兩個情況分類討論，可求出的值.【詳解】令，構(gòu)造，求導(dǎo)得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，，時，，，有三個不同的零點（其中），需要有兩個不同的根（其中），則，解得或，且，，故，若，即，故不符合題意，舍去.故選A.又直線a在平面α內(nèi)，所以a⊥b，但直線不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.考點：充分條件、必要條件.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③【解析】由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進(jìn)行化簡即可求解.【詳解】3，1tan25tan35tan25°+tan35°3tan25°tan35°；31tan25tan353tan25°tan35°，3，②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），＝2sin60°3；1tan15tan45tan151tan151tan45tan45tan（45°+15°）＝tan60°3；③故答案為：①②③【點睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于中檔試題.14、30【解析】30，2如圖所示，將三棱錐PABC補成長方體，球O為長方體的外接球，長、寬、高分別為a,b,c，計算得到R得到答案.【詳解】如圖所示，將三棱錐PABC補成長方體，球O為長方體的外接球，長、寬、高分別為a,b,c，ab25,22則30，2a2c215,，所以a2b2c230b2c220,R，所以球的半徑O230.30則球O的表面積為S4R242故答案為：30.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，將三棱錐PABC補成長方體是解題的【解析】設(shè)所在截面圓的圓心為，中點為，連接，的平面角，可求出及，然后可判斷出四面體外接球的球心在，結(jié)合，可求出四【詳解】，由cos60o＝，得，由勾股定理，得：，O到A、B、C三的1在，，解得．【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題．216、2【解析】則由拋物線的定義可得PMPF，過點作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，PPFPMPAPAPFsinPAM，PAM為銳角.故當(dāng)PA和拋物線相切時，的值最小.PA則PF的最小值.PA再利用直線的斜率公式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點的坐標(biāo)，從而求得【詳解】意可得，拋物線x4y的焦點，準(zhǔn)線方程為y1，解：由題2F0,1則由拋物線的定義可得PMPF，過點作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，PPFPMPAPAsinPAM，PAM為銳角.則PF故當(dāng)PAM最小時，的值最小.PAP2a,a1yx，由y1x，2設(shè)切點2的導(dǎo)數(shù)為41則PA的斜率為22aaa1，2a求得a1，可得P2,1，PM2，PA22，PM2.sinPAMPA22故答案為：.2【點睛】本題考查拋物線的定義，性質(zhì)的簡單應(yīng)用，直線的斜率公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。0,12（）12a7217、（1）【解析】fx表示為f(x)x2的解集.（1）將分段函數(shù)的形式，由此求得不等式gx的取值范圍，根據(jù)fx分段函數(shù)fx的取值范圍，解析式，求得結(jié)合題（2）利用絕對值三角不等式，求得3意列不等式|a2|，解不等式求得a的取值范圍.2【詳解】3x,x1（1）f(x)x2,1x1，23x,x1211xx1x1由f(x)x2得或或；223xx2x2x23xx2解得0x1.故所求解集為0,1.（2）g(x)|x2019||x2021a||(x2019)(x2021a)||a2|，即g(x)a2,.3x,x1由（f(x)x2,1x11）知，23x,x12f(x),.133f(x)f所以，即222min31a7∴|a2|，∴.222【點睛】本小題考查了絕對值不等式，絕對值三角不等式|a||b||ab||a||b|和函數(shù)最值問題，考查運算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想.18、（1）0.8186；（2）見解析.【解析】再利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系將36、79.5表示為362，（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，利用公式計算出平均數(shù)的值，79.5，利用題中所給數(shù)據(jù)，以及正態(tài)分布的概率密度曲線的對稱性，求出對應(yīng)的概率；1高于平均數(shù)和低于平均數(shù)的概率各為，再結(jié)合得20元、40元的概率，分析得出話費的可能數(shù)據(jù)2（2）根據(jù)題意，都有哪些，再利用公式求得對應(yīng)的概率，進(jìn)而得出分布列，之后利用離散型隨機變量的分布列求出其數(shù)學(xué)期望.【詳解】35254515055200652507522585100955065，1000（1）由題意可得36652965214.52易知21014.5，，79.56514.5，P36Z79.5P2ZP2ZPZXPX22P0.95450.68270.8186；22（2）根據(jù)題意，可得出隨機變量X的可能取值有20、40、60、80元，PX20，PX4011133131332482424432，X13323138P16321753401360380.322所以，隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為EX2083216【點睛】本題考查概率的計算，涉及到平均數(shù)的求法、正態(tài)分布概率的計算以及離散型隨機變量分布列及其數(shù)學(xué)期望，在解題時要弄清楚隨機變量所滿足的分布列類型，結(jié)合相應(yīng)公式計算對應(yīng)事件的概率，考查計算能力，屬于中等題.331）見解析（2）1119、（【解析】分析：(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面⊥平面；ADEBDEF(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求與平面ABCD所成角的正弦值；也可以應(yīng)用常規(guī)法，作出線面角，CF放在三角形當(dāng)中來求解.△+詳解：（Ⅰ）在中，∠＝30°，由AO2＝ABBD2－2AB·BDcos30°，ABDABD2解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.，根據(jù)⊥平面，平面，∴⊥.DEABCDADABCDADDE＝，所以⊥平面，又平面，BDDEDADBDEFADABCD∴平面⊥平面，ADEBDEF（）Ⅱ方法一：如圖，由已知可得ADB90，ABD30，則BDC30，則三角形BCD為銳角為30°的等.腰三角形CDCB1,則CG12.過點C做CH//DA，交DB、AB于點G，H，則點G為點F在面ABCD上的投影.連接FG，則GCI=60°.的平面角，則--CG12，，則.231G為BD中點，BD3，GIBF，GI在直角梯形BDEF中，，23BFGI，則DE1BGGF16.8設(shè)DEx，則，SGFxBGF22tanFCGFGGC6，則sinFCG433CFABCD33，即與平面所成角的正弦值為．1111（Ⅱ）方法二：可知DADBDE、、兩兩垂直，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.D設(shè)DE＝h，則D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).，.設(shè)平面的法向量為m＝(x，，yz)，BCF0.5x3y0mBC02則所以取x=，所(1-－)，以＝，，mmBF03yhz02取平面BDEF的法向量為n＝(1，，0)，0由cosm，nmmnncos606，則DE6，，解得h8822，設(shè)與平面所成角為，,則CFCFABCD又862233.則sin=881133故直線與平面所成角的正弦值為CFABCD11點睛：該題考查的是立體幾何的有關(guān)問題，涉及到的知識點有面面垂直的判定，線面角的正弦值，在求解的過程中，需要把握面面垂直的判定定理的內(nèi)容，要明白垂直關(guān)系直角的轉(zhuǎn)化，在求線面角的有關(guān)量的時候，有兩種方法，可以應(yīng)用常規(guī)法，也可以應(yīng)用向量法.271）見解析（2）720、（【解析】試題分析:（1）根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直,再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立;（2）通過已知條件求,求出平面PDB的法向量,建系如圖所示,根據(jù)線面角公式代入坐標(biāo)求得結(jié)果:（1）證明：取PD的中點N，連接，則出各邊長度.1MN//CD,MNCD，2AN,MN試題解析又AB//CD,AB1CD，所以MN//AB,MNAB，則四邊形為平行四邊形，所以ABMNAN//BM，2又BM平面PCD，∴AN平面，PCD∴ANPD,ANCD.由EDEA即PDPA∴PDA600，PDPAD及N為的中點，可得為等邊三角形，0，∴CDAD，又EDC1500，∴CDA90∴CD平面PAD,CD平面，ABCD∴平面PAD平面ABCD.（2）解：AB//CD，∴PCD為直線PC與AB所成的角，PD1CD2由（1）可得PDC900，∴tanPCD，∴CD2PD，設(shè)PD1，則CD2,PAADAB1，取AD的中點O，連接PO，過O作AB的平行線，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則D1,0,0,B,1,0,C1,2,0,P0,0,13，2222∴M1,1,3，441333所以DB1,1,0,PB,1,,BM,0,，2244xy0n·DB0設(shè)nx,y,z{{，即為平面PBD的法向量，則，1xy3z02n·PB02取x3，則n3,3,3為平面PBD的一個法向量，3213227，7cosn,BMn·BMnBM∵則直線BM與平面PDB所成角的正弦值為27.7點睛:判定直線和平面垂直的方法:①定義法．②利用判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．平面與平面垂直的判定方法:①定義法．②利用判定定理：一個