ch08擴散過程與隨機分析初步

“擴散過程與隨機分析初步隨機過程論新工科建設(shè)之路第八章01擴散過程及其生成元1.古典擴散模型與例子1.古典擴散模型與例子命題8.11.古典擴散模型與例子命題8.11.古典擴散模型與例子命題8.11.古典擴散模型與例子命題8.11.古典擴散模型與例子類似于Brown運動的相應(yīng)計算方法，我們?nèi)菀姿愠鲆陨先齻€過程的擴散系數(shù)均為1，漂移系數(shù)均為0(對x>0)，即它們有相同的形式生成元。然而，它們有不同的無窮小生成元不同處就在于定義域不一樣。1.古典擴散模型與例子2.擴散過程應(yīng)該指出，不同的書中對擴散過程給出了不同的定義，雖然它們大體上相同，但彼此卻并不等價:我們這里采用的是一種最常見且簡單的說法(還有一種較為普遍的定義是:連續(xù)軌道的強馬氏過程)。2.擴散過程擴散過程理論在物理、化學、生物、工程、經(jīng)濟等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。例如，分子運動、帶噪聲的通信系統(tǒng)、有干擾的神經(jīng)生理活動、生物膜中的滲透過程、進化過程中的基因更替、期貨與期權(quán)定價等一系列研究中，擴散過程都能提供一個很好的近似模型。此外，擴散過程理論也與微分方程的研究有密切的聯(lián)系。許多擴散過程的泛函，例如擊中分布、平均吸收時間、占位時間分布、不變測度等都是一些微分方程的邊值或初值問題的解，擴散理論不僅可以提供一些系數(shù)與邊界要求較寬的微分方程解的存在性、唯一性條件，而且直觀的概率意義也可以為微分方程的問題的合理提法提供啟迪。在微分方程的計算方面，MonteCaro方法就是用計算機模擬擴散過程，并以大量現(xiàn)實(軌道)的算術(shù)平均來近似過程的統(tǒng)計平均去求方程的解。3.擴散過程的純分析構(gòu)造方法對給定的A和b，有許多不同的途徑去構(gòu)造它們相應(yīng)的擴散過程，它們各有自己的局限性與優(yōu)點。例如，純分析構(gòu)造方法對系數(shù)光滑性要求較高，而且又要用到微分方程的冗長而又沉重的基本解定理，但是它的結(jié)果具體，并可導(dǎo)出前進、后退方程。在本章的后半部分我們將介紹純概率構(gòu)造方法——利用隨機微分方程的方法。本節(jié)中我們先介紹純分析構(gòu)造方法，應(yīng)用冗長而沉重的偏微分方程的基本解定理，由于它已大大超出本書的范圍，我們只引用而不做任何論證。定理8.13.擴散過程的純分析構(gòu)造方法定理8.13.擴散過程的純分析構(gòu)造方法定理8.13.擴散過程的純分析構(gòu)造方法定理8.1遺憾的是定理8.1要求的條件太強，它排斥了許多有趣的情況，甚至線性擴散也不完全滿足它的條件，這是偏微分方程方法的不足之處。為了補足這一方面，需要嘗試構(gòu)造擴散過程還有半群方法及隨機微分方程方法等。4.向前與向后方程在一些條件下，一個擴散過程的轉(zhuǎn)移密度應(yīng)滿足方程并且是方程的基本解。我們稱式(85)為Komogorov向后方程。下面的定理82給出Kolmogorov向前方程(或稱Fokker-Plank方程)成立的條件。4.向前與向后方程定理8.24.向前與向后方程定理8.24.向前與向后方程定理8.24.向前與向后方程定理8.24.向前與向后方程定理8.25.狄氏問題的概率表示定理8.35.狄氏問題的概率表示定理8.35.狄氏問題的概率表示定理8.35.狄氏問題的概率表示定理8.35.狄氏問題的概率表示定理8.3是方程的解(如果此解存在并且滿足二階連續(xù)可微到邊界)。此處的討論是以微分方程狄氏問題解的存在性與直到邊界的二階連續(xù)可導(dǎo)性為前提的這似乎使人感到用概率方法研究狄氏問題的效果并不好。事實上，利用概率方法也可以獨立地得到結(jié)論:當L的系數(shù)滿足一定的光滑性要求時，由條件期望定義的函數(shù)是式(810)的Sobolev解，再由Sobole嵌入定理進而說明它也是強解。6.邊界性質(zhì)定義8.1圖8-1給出了這個定義的直觀含義。事實上，若存在一個以x為頂點的錐全不在D中，則x必為正則點。6.邊界性質(zhì)命題8.2命題8.36.邊界性質(zhì)命題8.36.邊界性質(zhì)命題8.36.邊界性質(zhì)命題8.46.邊界性質(zhì)命題8.46.邊界性質(zhì)命題8.46.邊界性質(zhì)命題8.402隨機積分與微分(Ito積分)1.Ito積分的定義1.Ito積分的定義命題8.41.Ito積分的定義命題8.41.Ito積分的定義命題8.41.Ito積分的定義命題8.51.Ito積分的定義命題8.51.Ito積分的定義命題8.51.Ito積分的定義命題8.51.Ito積分的定義命題8.51.Ito積分的定義命題8.61.Ito積分的定義命題8.62.Ito公式類似于實函數(shù)微積分中的復(fù)合函數(shù)微分公式，對隨機微分也有相應(yīng)的公式一-Ito公式這里我們將復(fù)合函數(shù)微分公式寫為積分形式。2.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.52.Ito公式定理8.503隨機微分(積分)方程的解與擴散過程1.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.61.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.6證明1°我們用類似常微分方程中的逐次逼近法來證明式(8.17)的解的存在性。令1.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.61.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.61.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.6根據(jù)式(819)，容易用歸納法證明于是可見由Borel-Cantelli引理，以下極限幾乎處處存在且有限。1.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.61.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.61.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.61.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.61.Ito隨機微分方程的強解的存在唯一性定理8.62.由Ito方程構(gòu)造擴散過程定理8.7在定理86中所得的解是一個強馬氏過程。2.由Ito方程構(gòu)造擴散過程定理8.72.由Ito方程構(gòu)造擴散過程定理8.72.由Ito方程構(gòu)造擴散過程定理8.82.由Ito方程構(gòu)造擴散過程定理8.82.由Ito方程構(gòu)造擴散過程定理8.82.由Ito方程構(gòu)造擴散過程定理8.804與擴散過程相聯(lián)系的賴與Girsanov公式1.指數(shù)鞅命題8.72.Brown運動平移的測度(Girsanov公式)定理8.92.Brown運動平移的測度(Girsanov公式)定理8.92.Brown運動平移的測度(Girsanov公式)定理8.92.Brown運動平移的測度(Girsanov公式)定理8.92.Brown運動平移的測度(Girsanov公式)定理8.92.Brown運動平移的測度(Girsanov公式)定理8.92.Brown運動平移的測度(Girsanov公式)定理8.93.擴散過程的勒方法簡單介紹在用隨機微分方程研究從偏微分方程角度表達的擴散現(xiàn)象的擴散過程中，作為隨機驅(qū)動力的Brow運動只起到了參數(shù)的