數(shù)列求和課件高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高三一輪復(fù)習(xí)5.4數(shù)列求和數(shù)列求和錯(cuò)位相減法裂項(xiàng)相消法分組轉(zhuǎn)化法并項(xiàng)求和法倒序相加法公式法一．公式法na1二．錯(cuò)位相減法適用條件:若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，

求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Sn.二．錯(cuò)位相減法基本步驟展開+

①乘公比+②錯(cuò)位相減①-②：得（1-q）+()

+()

+()

求和例1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝_______________．(n－1)2n＋1＋2二．錯(cuò)位相減法例2(2020·全國Ⅰ卷)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中

項(xiàng)．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和．[解析]

(1)設(shè){an}的公比為q，由題意得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.故{an}的公比為－2二．錯(cuò)位相減法三．裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差的形式累加消項(xiàng)將數(shù)列裂項(xiàng)后的各項(xiàng)相加將中間可以消去的項(xiàng)相互抵消，將剩余的有限項(xiàng)相加，得到數(shù)列的前n

項(xiàng)和基本步驟

消項(xiàng)規(guī)律：

消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，

后邊倒數(shù)第幾項(xiàng)．三．裂項(xiàng)相消法三．裂項(xiàng)相消法三．裂項(xiàng)相消法解析：(1)選

①：因?yàn)閍2，a3，a4－4成等差數(shù)列，所以2a3＝a2＋a4－4，所以8a1＝2a1＋8a1－4，解得a1＝2，所以an＝2n；選②：因?yàn)镾1，S2＋2，S3成等差數(shù)列，所以2(S2＋2)＝S1＋S3，即a2＋4＝a3，所以2a1＋4＝4a1，解得a1＝2，所以an＝2n.四．分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)能求和的數(shù)列，

再求解．分段型周期型四．分組轉(zhuǎn)化法變式訓(xùn)練：求{an}的前2n項(xiàng)和S2n[解析]

(1)因?yàn)閎n＝a2n，所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝a1＋1＋3＝a1＋4＝5.由題意得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＋2＝a2n＋1＋1，所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3，所以數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝an＋1－1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S20＝a1＋a2＋…＋a20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝[(a2－1)＋(a4－1)＋…＋(a20－1)]＋(a2＋a4＋…＋a20)＝2(a2＋a4＋…＋a20)－10，變式訓(xùn)練：[解析]

令cn＝a2n-1(n≥2),則c1＝a1＝1，由題意得a2n＋1＝a2n＋2，a2n＝a2n-1＋1，所以a2n＋1＝a2n-1＋3，即cn＋1＝cn＋3，所以數(shù)列{cn}是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以bn＝1＋(n－1)×3＝3n－2.

四．分組轉(zhuǎn)化法

S2n

五．并項(xiàng)求和法并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱

之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．五．并項(xiàng)求和法例1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝

＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．

解析：令k∈N*，由題意可得，當(dāng)n＝4k－3時(shí)，an＝a4k－3＝1；當(dāng)n＝4k－2時(shí)，an＝a4k－2＝6－8k；當(dāng)n＝4k－1時(shí)，an＝a4k－1＝1；當(dāng)n＝4k時(shí)，an＝a4k＝8k.所以a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以S4n＝8×n＝8n.