1.3.2三角及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

一般地，對(duì)于nN*有二項(xiàng)定理:二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共有多少個(gè)？

下面我們來(lái)研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過(guò)楊輝三角觀察n為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？楊輝三角?九章算術(shù)?楊輝?詳解九章算法?中記載的表?xiàng)钶x三角1．“楊輝三角〞的來(lái)歷及規(guī)律楊輝三角展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)時(shí)，如下表所示：

11

121133114641151010511615201561楊輝三角點(diǎn)擊圖片可以演示“楊輝三角〞課件楊輝三角第5行

1551第0行

1楊輝三角第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

141第6行

161561第n-1行

11第n行11………………………………

1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134如圖，寫(xiě)出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？第8行18285670562881

從第三個(gè)數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個(gè)數(shù)的和;這就是著名的斐波那契數(shù)列類(lèi)似上面的表,早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的?詳解九章算法?一書(shū)里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個(gè)表稱為楊輝三角。在書(shū)中，還說(shuō)明了表里“一〞以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于?釋鎖?算書(shū)，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲〔約公元11世紀(jì)〕已經(jīng)用過(guò)它。這說(shuō)明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡〔1623-1662〕首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角。這就是說(shuō)，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當(dāng)時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

〔1〕對(duì)稱性與首末兩端“等距離〞的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對(duì)稱軸：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)〔2〕增減性與最大值由于：所以相對(duì)于的增減情況由決定．

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)〔2〕增減性與最大值由：二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半局部是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

可知，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)〔2〕增減性與最大值

因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值?！?〕各二項(xiàng)式系數(shù)的和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令，則：

這就是說(shuō)，的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于，上式還可以寫(xiě)成：這是組合總數(shù)公式．

一般地，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：〔1〕〔2〕〔3〕當(dāng)時(shí)，〔4〕

當(dāng)時(shí)，例題分析:

例1．證明：〔1〕(a+b)n的展開(kāi)式中,各二項(xiàng)式系數(shù)的和

啟示：在二項(xiàng)式定理中a,b可以取任意實(shí)數(shù)，因此我們可以通過(guò)對(duì)a,b賦予一些特定的值，是解決二項(xiàng)式有關(guān)問(wèn)題的一種重要方法——賦值法。令a=b=1，那么1答案2答案繼續(xù)思考1:〔2〕試證明在(a+b)n的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.即證：證明：在展開(kāi)式中令a=1，b=－1得總結(jié)：賦值法在二項(xiàng)式定理中，常對(duì)a,b賦予一些特定的值1，-1等來(lái)整體得到所求。例1、賦值法例2：賦值法②①總結(jié)：求奇次項(xiàng)系數(shù)之和與偶次項(xiàng)系數(shù)的和可以先賦值，然后解方程組整體求解.思考：1.當(dāng)n10時(shí)常用楊輝三角處理二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題;2.利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：對(duì)稱性、增減性和最大值;3.常用賦值法解決二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題.課外思考