函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開

§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開教學(xué)目的與要求：掌握函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式并認(rèn)識(shí)余項(xiàng)在確定函數(shù)能否展為冪級(jí)數(shù)時(shí)的重要性.教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式及余項(xiàng)在確定函數(shù)能否展為冪級(jí)數(shù)時(shí)的重要性.教學(xué)內(nèi)容：一泰勒級(jí)數(shù)在第六章§3的泰勒定理中曾指出，若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在直至階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則，（1）這里為拉格朗日型余項(xiàng)，（2）其中在與之間，稱（1）為在的泰勒公式。如果在（1）中抹去余項(xiàng)，那么在附近可用（1）式右邊的多項(xiàng)式來近似代替，如果函數(shù)在處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時(shí)稱形式為（3）的級(jí)數(shù)為函數(shù)在的泰勒級(jí)數(shù)。對于級(jí)數(shù)（3）是否能在附近確切的表達(dá)，或說在的泰勒級(jí)數(shù)在附近的和函數(shù)是否就是，這就是本節(jié)所要討論的問題。先看一個(gè)例子。例1由于函數(shù)在處任何階導(dǎo)數(shù)都等于0，即，，所以在的泰勒級(jí)數(shù)為。顯然它在上收斂，且其和函數(shù)。由此看到，對一切都有。這個(gè)例子說明，具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，其泰勒級(jí)數(shù)并不是都能收斂于函數(shù)本身。下面定理指出：具備什么條件的函數(shù)，它的泰勒級(jí)數(shù)才能收斂于本身。定理14.11設(shè)在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么在區(qū)間內(nèi)等于它的泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)的充分條件是：對一切滿足不等式的，有，這里是在的泰勒公式余項(xiàng)。如果能在的某鄰域上等于其泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)在的這一鄰域內(nèi)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)，并稱等式 （4）的右邊為在處的泰勒展開式，或稱冪級(jí)數(shù)展開式。由級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)可推得：若為冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)，則就是在上的泰勒展開式，這是冪級(jí)數(shù)展開的唯一性問題。在實(shí)際應(yīng)用上，主要討論函數(shù)在處的展開式，這時(shí)（3）式可以寫作，稱為麥克勞林級(jí)數(shù)。從定理14.11知道，余項(xiàng)對確定函數(shù)能否展開為冪級(jí)數(shù)是極為重要的，下面重新寫出當(dāng)時(shí)的積分型余項(xiàng)、拉格朗日型余項(xiàng)和柯西余項(xiàng)，它們分別是，，在0與之間，，。二初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式例2求次多項(xiàng)式函數(shù)的展開式。解：由于總有。因而，即多項(xiàng)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式就是它本身。例3求函數(shù)的展開式。解：由于，，（）。所以的拉格朗日余項(xiàng)為（）。顯見。它對任何實(shí)數(shù)，都有。因而。由定理14.11得到，。例4函數(shù)。由于，?，F(xiàn)在考察正弦函數(shù)的拉格朗日余項(xiàng)，由于（），所以在內(nèi)能展開為麥克勞林級(jí)數(shù)。同樣可證（或逐項(xiàng)求導(dǎo)），在內(nèi)有。例5函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)是。從而，所以的麥克勞林級(jí)數(shù)是，（5）用比式判別法容易求得級(jí)數(shù)（5）的收斂半徑，且當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散，故級(jí)數(shù)（5）的收斂域是?，F(xiàn)在討論在這收斂區(qū)間上它的余項(xiàng)的極限情形。當(dāng)時(shí)的情形，拉格朗日余項(xiàng)，有（）。對于的情形，拉格朗日余項(xiàng)不易估計(jì)，改用柯西余項(xiàng)進(jìn)行考察。有，。因?yàn)椋视?。即，所以（）。這就證得在上等于其麥克勞林級(jí)數(shù)（5）。將（5）式中換成后就得到函數(shù)在處的泰勒展開式：。它的收斂域?yàn)?。?討論二項(xiàng)式函數(shù)的展開式。當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，由二次項(xiàng)定理直接展開，就得到的展開式，這已在前面例2中討論過。下面討論不等于正整數(shù)時(shí)的情形，這時(shí)，，，。于是的麥克勞林級(jí)數(shù)是。（6）運(yùn)用比式判別法，可得（6）的收斂半徑?，F(xiàn)在（－1,1）內(nèi)考察它的柯西余項(xiàng)，。由比式判別法，級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，故有。又由于有，且，從而有。再當(dāng)時(shí)，有。于是當(dāng)時(shí)是與無關(guān)的有界量；當(dāng)時(shí)，也有同樣結(jié)論。綜上所述，當(dāng)時(shí)，。所以在（－1,1）上，。（7）對于收斂區(qū)間端點(diǎn)的情形，它與的取值有關(guān)，其結(jié)果如下：當(dāng)時(shí)，收斂域?yàn)椋ǎ?,1）；當(dāng)時(shí)，收斂域?yàn)?；?dāng)時(shí)，收斂域?yàn)?。?dāng)（7）式中時(shí)就得到，（－1,1）。（8）當(dāng)時(shí)得到，。（9）一般地說，只有少數(shù)比較簡單的函數(shù)，其冪級(jí)數(shù)展開式能直接從定義出發(fā)，并根據(jù)定理14.11求得。更多的情況是從已知的展開式出發(fā)，通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法，間接地求得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。例7以與分別代入（8）與（9）式，可得，（－1,1），（10），（－1,1）。（11）對于（10）、（11）分別逐項(xiàng)求積可得函數(shù)與的展開式：，[-1,1]，，[-1,1]。由此可見，熟悉某些初等函數(shù)的展開式，對于一些函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開是極為方便的。特別是例3至例7的結(jié)果，對于用間接方法求冪級(jí)數(shù)展開式特別有用。作為本節(jié)的結(jié)束，最后舉例說明怎樣用冪級(jí)數(shù)形式表示某些非初等函數(shù)。在本章開頭就已經(jīng)提到冪級(jí)數(shù)的這種特