七年級數(shù)學上冊專題3.17 實際問題與一元一次方程（一）（知識講解）-2022-2023學年七年級數(shù)學上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）

/專題3.17實際問題與一元一次方程（一）（知識講解）【學習目標】熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路．【要點梳理】【類型】一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．特別說明：“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；“設”就是設未知數(shù)，一般求什么就設什么為x，但有時也可以間接設未知數(shù)；“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．【類型】二、常見列方程解應用題的幾種類型【類型1】和、差、倍、分問題此問題中常用“多、少、大、小、幾分之幾”或“增加、減少、縮小”等等詞語體現(xiàn)等量關(guān)系。審題時要抓住關(guān)鍵詞,確定標準量與比校量,并注意每個詞的細微差別。【類型2】等積變形問題。此類問題的關(guān)鍵在“等積”上,是等量關(guān)系的所在,必須掌握常見幾何圖形的面積、體積公式?！暗确e變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?。常用等量關(guān)系為:①形狀面積變了,周長沒變;②原料體積=成品體積?！绢愋?】調(diào)配問題,從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系,常見是“和、差、倍、分”關(guān)系,要注意調(diào)配對象流動的方向和數(shù)量。這類問題要搞清人數(shù)的變化,常見題型有:①既有調(diào)入又有調(diào)出:②只有調(diào)入沒有調(diào)出,調(diào)入部分變化,其余不變;③只有調(diào)出沒有調(diào)入,調(diào)出部分變化,其余不變。【類型4】行程問題要掌握行程中的基本關(guān)系:路程=速度×時間。相遇問題:相向而行：等量關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及問題同向而行：等量關(guān)系：甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距的路程【類型5】工程問題基本數(shù)量關(guān)系:工作總量=工作效率×工作時間;合做的效率=各單獨做的效率的和。當工作總量未給出具體數(shù)量時,常設總工作量為“1”,分析時可采用列表或畫圖來幫助理解題意?！绢愋?】利潤問題標價＝成本(或進價)×(1＋利潤率)實際售價＝標價×打折率利潤＝售價－成本(或進價)＝成本×利潤率注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；當右邊為負時，就是虧損.打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售．【類型7】存貸款問題（1）利息=本金×利率×期數(shù)（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù))（3）實得利息=利息-利息稅（4）利息稅=利息×利息稅率（5）年利率＝月利率×12（6）月利率＝年利率×【類型8】數(shù)字問題已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a【類型9】方案問題選擇設計方案的一般步驟：（1）運用一元一次方程解應用題的方法求解兩種方案值相等的情況．（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論．【典型例題】【類型一】和、差、倍、分問題 1．粵港澳大灣區(qū)自動駕駛產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟積極推進自動駕駛出租車應用落地工作，無人化是自動駕駛的終極目標．某公交集團擬在今明兩年共投資9000萬元改裝260輛無人駕駛出租車投放市場．今年每輛無人駕駛出租車的改裝費用是50萬元，預計明年每輛無人駕駛出租車的改裝費用可下降．（1）求明年每輛無人駕駛出租車的預計改裝費用是多少萬元；（2）求明年改裝的無人駕駛出租車是多少輛．【答案】（1）明年每輛無人駕駛出租車的預計改裝費用是25萬元；（2）明年改裝的無人駕駛出租車是160輛．【分析】（1）根據(jù)今年每輛無人駕駛出租車的改裝費用是50萬元，預計明年每輛無人駕駛出租車的改裝費用可下降，列出式子即可求出答案；（2）根據(jù)“某公交集團擬在今明兩年共投資9000萬元改裝260輛無人駕駛出租車投放市場”列出方程，求解即可．解：（1）依題意得：（萬元）（2）設明年改裝的無人駕駛出租車是x輛，則今年改裝的無人駕駛出租車是（260-x）輛,依題意得：解得：答：（1）明年每輛無人駕駛出租車的預計改裝費用是25萬元；（2）明年改裝的無人駕駛出租車是160輛．【點撥】本題考查了一元一次方程的實際應用問題，解題的關(guān)鍵是找到數(shù)量關(guān)系，列出方程．舉一反三：【變式1】在五一期間，小明、小亮等同學隨家長一同到某公園游玩，下面是購買門票時，小明與他爸爸的對話(如圖)，試根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：(1)小明他們一共去了幾個成人，幾個學生？(2)請你幫助小明算一算，用哪種方式購票更省錢？并說明理由．【答案】（1）小明他們一共去了8個成人，4個學生；（2）購團體票更省錢．【分析】（1）設去了x個成人，則去了（12?x）個學生，根據(jù)爸爸說的話，可確定相等關(guān)系為：成人的票價＋學生的票價＝350元，據(jù)此列方程求解；（2）計算團體票所需費用，和350元比較即可求解．解：(1)設成人人數(shù)為x人，則學生人數(shù)為(12－x)人．根據(jù)題意，得35x＋(12－x)＝350．解得x＝8．則12－x＝12－8＝4．答：小明他們一共去了8個成人，4個學生．(2)如果買團體票，按16人計算，共需費用為35×0.6×16＝336(元)．因為336＜350，所以購團體票更省錢．答：購團體票更省錢．【點撥】考查利用方程模型解決實際問題，關(guān)鍵在于設求知數(shù)，列方程．此類題目貼近生活，有利于培養(yǎng)學生應用數(shù)學解決生活中實際問題的能力．【變式2】有一個老太太提著一個籃子去賣雞蛋，第一個人買走了她的雞蛋的一半又半個；第二個人買走了剩下的一半又半個；第三人買走了前兩個人剩下的一半又半個，正好賣完全部雞蛋，問老太太一共賣了多少個雞蛋．【答案】老太太一共賣了7個雞蛋.解：設老太太一共賣了x個雞蛋，那么第一個人買走了x+=（x+1）個；第二個人買走了[x-（x+1）]+=（x+1）個；第三個人買走了[x-（x+1）-（x+1）]+=（x+1）個；由三個人將雞蛋買光而得方程（x+1）+（x+1）+（x+1）=x,解這個方程即可求出老太太一共賣了多少個雞蛋．試題解析：設老太太一共賣了x個雞蛋，那么得方程：（x+1）+（x+1）+（x+1）=x,解得：x=7.答：老太太一共賣了7個雞蛋.【點撥】本題主要考查一元一次方程的應用,解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．【類型二】等積變形問題2．兩個圓柱體容器如圖所示，它們的直徑分別為和，高分別為和．我們先在第二個容器中倒?jié)M水，然后將其倒入第一個容器中．問：倒完以后，第一個容器中的水面離容器口有多少厘米？小剛是這樣做的：設倒完以后，第一個容器中的水面離容器口有．列方程．解得．你能對他的結(jié)果作出合理的解釋嗎？【答案】“”表示第一個容器中的水溢出，如果第一個容器的高度增加，恰好能盛下．【分析】利用圓柱體積計算公式表示水的體積，根據(jù)水的體積不變即可得到一元一次方程，由此求解即可．解：第二個容器中水的體積為；第一個容器中水的體積為，水的體積不變，，解得：，“”表示第一個容器中的水溢出，如果第一個容器的高度增加，恰好能盛下．【點撥】本題主要考查了一元一次方程的應用，解決問題的關(guān)鍵是找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關(guān)鍵的未知量為，然后用含的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程．舉一反三：【變式1】墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如圖實線所示（單位：）．小穎將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個長方形，如圖虛線所示．小穎所釘長方形的長、寬各為多少厘米？【答案】長為，寬為．【分析】設長方形的長為，由梯形與長方形的周長相等列方程可得，再解方程可得答案.解：設長方形的長為，根據(jù)題意，得．解得：所以長方形的長為，寬為．【點撥】本題考查的是一元一次方程的應用，圖形的周長問題，理解題意，確定兩個圖形的周長相等列方程是解題的關(guān)鍵.【變式2】有一個盛水的圓柱體玻璃容器，它的底面直徑為12cm（容器厚度忽略不計），容器內(nèi)水的高度為10cm．（1）如圖1，容器內(nèi)水的體積為______（結(jié)果保留）．（2）如圖2，把一根底面直徑為6cm，高為12cm的實心玻璃棒插入水中（玻璃棒完全淹沒于水中），求水面上升的高度是多少？（3）如圖3，若把一根底面直徑為6cm，足夠長的實心玻璃棒插入水中，求水面上升的高度是多少？【答案】（1）；（2）3cm；（3）cm【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)圓柱體體積公式計算，即可得到答案；（2）根據(jù)題意，玻璃棒完全淹沒于水中，即水面上升部分的體積就等于玻璃棒的體積；設水面上升的高度為xcm，通過列方程并求解，即可得到答案；（3）根據(jù)題意，水面上升部分的體積等于玻璃棒淹沒部分的體積，設水面上升高度為xcm，通過列方程并求解，即可得到答案．解：（1）容器內(nèi)水的體積為故答案為：；（2）設水面上升的高度為xcm根據(jù)題意得：解得：∴水面上升高度為3cm；（3）設水面上升高度為xcm，水面上升部分的體積為，玻璃棒淹沒部分的體積為，得：，解得：∴水面上升高度為cm．【點撥】本題考查了有理數(shù)運算、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握含乘方的有理數(shù)混合運算、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．【類型三】調(diào)配問題3、我市是蔬菜水果生產(chǎn)大縣．去年秋季，我市某果樹基地安排26名工人將采摘的水果包裝成果籃，每個工人每小時可包裝200個蘋果或者300個梨，每個果籃中放3個蘋果和2個梨，為了使包裝的水果剛好完整配成果籃，應該安排多少名工人包裝蘋果，多少名工人包裝梨？(1)若設安排名工人包裝蘋果，名工人包裝梨，請求出，的值；(2)若每個果籃可賣25元，每名工人每天工作8個小時，問該果樹基地一天可以賣得多少錢？【答案】(1)(2)元【分析】（1）設安排名工人包裝蘋果，名工人包裝梨，然后根據(jù)果樹基地安排26名工人將采摘的水果包裝成果籃，每個工人每小時可包裝200個蘋果或者300個梨，每個果籃中放3個蘋果和2個梨，為了使包裝的水果剛好完整配成果籃列出方程組求解即可；（2）根據(jù)（1）所求進行求解即可．（1）解：設安排名工人包裝蘋果，名工人包裝梨，可列方程組為解得，答：的值分別為：18，8．（2）解：（元）．答：該果樹基地一天可以賣得元．【點撥】本題主要考查了二元一次方程組的應用，有理數(shù)乘除法的實際應用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】某車間每天能制作甲種零件400只，或者制作乙種零件200只，1只甲種零件需要和3只乙種零件配成一套．現(xiàn)要在49天內(nèi)制作最多的成套產(chǎn)品，則甲乙兩種零件各應制作多少天．【答案】甲種零件應制作7天，乙種零件應制作42天．【分析】可設甲種零件應制作x天，則乙種零件應制作（49﹣x）天，本題的等量關(guān)系為：3×甲種零件數(shù)=乙零件數(shù)．由此可得出方程求解．解：甲種零件應制作天，則乙種零件制作天．解這個方程，得．答：甲種零件應制作7天，乙種零件應制作42天．【點撥】考查了一元一次方程的應用，解題關(guān)鍵是弄清題意，找出合適的等量關(guān)系列出方程．【變式2】七年級1班共有學生45人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少3人．某節(jié)課上，老師組織同學們做圓柱形筆筒，每名學生每節(jié)課能做筒身30個或筒底90個．(1)七年級1班有男生、女生各多少人？(2)原計劃女生負責做筒身，男生做筒底，要求每個筒身匹配2個筒底，那么每節(jié)課做出的筒身和筒底配套嗎？如果不配套，男生要支援女生幾人，才能使筒身和筒底配套？【答案】(1)男生21人，女生24人(2)不配套；男生要支援女生3人【分析】（1）根據(jù)男生人數(shù)+女生人數(shù)＝總?cè)藬?shù)，可以列出相應的方程，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，可以計算出原計劃制作的筒身和筒底數(shù)，然后看一下數(shù)量是否是二倍的關(guān)系即可判斷原計劃生產(chǎn)的是否配套；然后根據(jù)判斷設男生要支援女生a人，再列方程，解答即可．(1)解：設女生有x人，則男生有（x﹣3）人，由題意可得：x+（x﹣3）＝45，解得x＝24，∴x﹣3＝21，答：七年級1班有男生21人，女生24人．(2)解：女生可以做筒身：24×30＝720（個），男生可以做筒底：21×90＝1890（個），∵720×2＜1890，∴原計劃每節(jié)課做出的筒身和筒底不配套；設男生要支援女生a人，才能使筒身和筒底配套，根據(jù)題意得：（24+a）×30×2＝（21﹣a）×90，解得a＝3，答：男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套．【點撥】本題主要考查了一元一次方程的應用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵．【類型四】行程問題4、A，B兩地相距300千米，甲車從A地駛向B地，行駛80千米后，乙車從B地出發(fā)駛向A地，乙車行駛5小時到達A地，并原地休息．甲、乙兩車勻速行駛，甲車速度是乙車速度的倍．(1)甲車的行駛速度是________千米/時，乙車的行駛速度是________千米/時；(2)求乙車出發(fā)后幾小時兩車相遇；（列方程解答此問）(3)若甲車到達B地休息一段時間后按原路原速返回，且比乙車晚2小時到達A地．甲車從A地出發(fā)到返回A地過程中，甲車出發(fā)________小時，兩車相距40千米；甲車在B地休息________小時．【答案】(1)80，60；(2)小時；(3)；0.5．【分析】（1）根據(jù)速度等于路程除以時間即可求出乙車的行駛速度，從而得到甲車的行駛速度；（2）設乙車出發(fā)后x小時兩車相遇，根據(jù)題意列出方程求解即可；（3）設甲車出發(fā)y小時后，甲乙兩車相距40千米，分兩車在相遇前相距40千米和兩車在相遇后相距40千米討論列方程求解即可得甲車出發(fā)后相距乙車40千米的時間，再求出甲車所用在途時間，即可求得甲車在B地休息的時間．（1）解：乙車的行駛速度：（千米/小時）甲車的行駛速度：（千米/小時），故答案為：80，60；（2）解：設乙車出發(fā)后x小時兩車相遇，解得答：乙車出發(fā)后小時兩車相遇；（3）解：設甲車出發(fā)y小時后，甲乙兩車相距40千米，當兩車在相遇前相距40千米時：80y+60(y-1)=300-40，解得y=，當兩車在相遇后相距40千米∶80y+60(y-1)=300+40，解得y=，∵乙車出發(fā)后，甲車所用在途時間：（小時），甲車所用時間為5小時，甲車比乙車晚2小時到達A地．∴甲車在B地休息時間為：5+2-6.5=0.5（小時）故答案為：；0.5．【點撥】本題考查了一元一次方程解行程問題，掌握解一元一次方程的方法以及路程、速度與時間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】星期六小王去球館打球，去時發(fā)現(xiàn)家中的鐘沒電了，于是換上電池，把鐘暫時調(diào)整到8時整．到球館時球館的鐘剛好是8時整．打球到11時整時他以原速度回家發(fā)現(xiàn)家中的鐘剛好是12時整．小王根據(jù)這些時間關(guān)系再次調(diào)整了時間．如果小王在路上的速度是60米/分鐘，請問從家到球館的路程是多少？小王到家的準確時間是幾點？【答案】從家到球館的路程是1800米；小王到家的準確時間11時30分．【分析】根據(jù)家中的時間可以得知總時間為4小時，它等于球館的鐘表時間，即打球的時間加上路上總共用時．解：設家到球館的路程為x米．小王在路上的速度是60米/分鐘即為3600米/時解得：．（時）小王到家的準確時間：11時+0.5時=11時30分【點撥】本題考查了時間、路程速度與時間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系．【變式2】莊河市出租車的收費標準是：起步價10元，即行駛距離不超過3公里都需支付10元；超過3公里，每增加1公里收費為2元．(1)行駛5公里需支付多少元？(2)某同學從家乘出租車到學校共花費18元，則該同學的家到學校的距離是多少？【答案】(1)行駛5公里需要14元(2)該同學的家到學校的距離為7公里【分析】（1）起步價加里程費即可解答；（2）根據(jù)題意列出方程18=10+2（x-3），解此方程即可．（1）解：（元）答：行駛5公里需14元.（2）解：設該同學的家到學校的距離為x公里，由題意得：18=10+2（x-3）解得x=7答：該同學的家到學校的距離為7公里.【點撥】本題考查一元一次方程的實際應用，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【類型五】工程問題5、某廠接到一所中學的冬季校服定做任務，計劃用、兩臺大型設備進行加工，如果單獨用型設備，需要45天做完；如果單獨用型設備，需要30天做完；為了同學們能及時領(lǐng)到冬季校服，工廠決定由兩臺設備同時趕制．(1)填空：型設備的工作效率是_________，型設備的工作效率是_________；(2)若兩臺設備同時加工10天后，型設備出了故障，暫時不能工作，如果由型設備單獨完成剩下的任務，則還需要多少天？【答案】(1)，(2)20天【分析】（1）利用工作效率工作總量工作時間，可得出，兩臺設備的工作效率；（2）先設還需要天完成，利用型設備完成的工作量型設備完成的工作