小學等分數(shù)的理解困難的原因分析

小學等分數(shù)的理解困難的原因分析

分數(shù)是小學數(shù)學課的重點內(nèi)容。等分是關(guān)系知識體系中一個重要而困難的概念（pearn，檢測器，2003）。等值分數(shù)的一般形式為a/b=c/d(b,d≠0),它是學習分數(shù)加減運算、分數(shù)比較以及比例推理等知識的基礎(chǔ)。國外文獻中屢屢提到等值分數(shù)給學校教學造成了很大的障礙,許多學生甚至一些老師在等值分數(shù)的概念理解上都存在困難(Mitchell&Horne,2010;Nunes&Bryant,2008)。例如,國外一項調(diào)查發(fā)現(xiàn),有60%的四年級學生和51%的六年級學生認為10/12是5/6的2倍(Mcnamara&Shaughnessy,2010)。盡管這些六年級兒童已經(jīng)學習了分數(shù)的基本性質(zhì),即分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù),分數(shù)的大小保持不變,但他們遇到這種問題時,并不能靈活地運用已有知識進行判斷,說明并沒有真正掌握等值分數(shù)的概念。我國學生的數(shù)學成績盡管比國外同齡兒童要好,但同樣不能很好地理解這一概念。國內(nèi)研究者(劉春暉,辛自強,2010;蘇洪雨,2007)發(fā)現(xiàn),五年級以上的小學生對等值分數(shù)運算規(guī)則的掌握較為熟練,而對其概念的理解較為生疏?？梢?等值分數(shù)概念理解的問題值得研究。在過去三十多年里,國外學者在這方面的研究主要集中在等值分數(shù)的概念結(jié)構(gòu)、運算思維、語義分析等方面。本文擬梳理有關(guān)文獻,以明確取得的成果以及今后的研究方向。1通過系數(shù)分布的中心上的等價分數(shù),主要有以下幾種等值分數(shù)是表示具有相等值的分數(shù)(Chapin&Johnson,2006),例如1/2=2/4。分數(shù)的等值有兩重涵義:一是表示兩個量相等,比如一個餅的1/2和它的2/4一樣多;二是表示兩個量之間具有確定的比較關(guān)系,比如一份橙汁和兩份水混合與兩份橙汁和四份水混合后產(chǎn)生同樣的味道。在代數(shù)中,等值分數(shù)的分子除以分母后會得到同樣的小數(shù),我們可以通過將給定分數(shù)的分子和分母乘以(或除以)同一個不為0的數(shù)來得到它的等值分數(shù);在幾何中,等值分數(shù)表示數(shù)字線上相同的點,可以通過擴大或縮小分數(shù)單位來得到給定分數(shù)的等值分數(shù)。分數(shù)的分子分母之間是除或比的形式,研究者一般認為除法是特殊形式的乘法,因而采用“乘法關(guān)系”(multiplicativerelationship)一詞來指代分子分母之間的比較關(guān)系(Behr,Wachsmuth,Post,&Lesh,1984)。等值分數(shù)建立在分子和分母之間的乘法關(guān)系不變性的前提上。每個分數(shù)屬于一個等值集(equivalentclass),該等值集中包含無限個分數(shù)(Vamvakoussi&Vosniadou,2004),它是由一個唯一性的乘法等式y(tǒng)=mx所產(chǎn)生的,其中m為某一特定分數(shù)值,x=1/1,2/2,3/3,……,例如,分數(shù)1/2的等值集可以表示成{1/2,2/4,3/6,4/8,……}。Behr等人(Behr,Harel,Post,&Lesh,1992)通過等值分數(shù)的形式給出了有理數(shù)和分數(shù)的清晰準確的數(shù)學定義:有理數(shù)是由無限個等值集構(gòu)成的一個無窮大商域,這些等值集的元素就是分數(shù)。他們進一步指出等值分數(shù)可以作為測量兒童有理數(shù)概念的方法。等值是分數(shù)知識體系中的一個基礎(chǔ)性概念,對于促進分數(shù)知識的掌握非常重要(Kieren,1993;詹婉華,呂玉琴,2004)。在分數(shù)教學中,等值分數(shù)對學習通分、約分、分數(shù)加減法和分數(shù)比較具有重要意義,也是后面學習比例關(guān)系、概率、函數(shù)的基礎(chǔ)。許多學科以及日常生活的問題解決都經(jīng)常用到等值分數(shù)的概念,例如地圖的比例尺、物理中的速度、化學中的物質(zhì)分解與化合、幾何中的相似問題、生活中的單位換算等。2孩子們對平等比率概念的理解2.1等價分數(shù)的概念兒童一般從小學五年級開始正式學習等值分數(shù),但在這之前已經(jīng)具有了它的非正式知識(Spinino,2002)。Wong(2010)采用“分數(shù)理解的評價問卷”(Wong,2009),對六所小學的649名三至六年級學生施測,運用因素分析的方法,得出兒童在理解等值分數(shù)概念時技能和知識的發(fā)展路徑,將其概括為四個水平。水平1:能夠識別簡單面積模型表示的1/2的量,例如認識長方形和圓形的一半;水平2:能夠識別簡單面積模型表示的分數(shù)值,例如將一個圓平分成8份,取其中的3份,表示分數(shù)3/8;水平3:(1)能夠通過分割一個面積模型來表示一個分數(shù)。例如,給兒童呈現(xiàn)一個長方形,讓兒童表示出2/8。(2)能夠使用等值形式來表示一個分數(shù),例如一個長方形平分成8份,讓兒童表示出3/4。(3)能夠識別圖形表示的等值分數(shù),例如一個正方形平分成16份取其中4份,與平分成4份取其中1份,表示同樣的值;水平4:能夠識別大于等于1的等值分數(shù)。例如,一個長方形四等分并全部涂黑,兒童能夠識別4/4,并給它命名不同的名稱。Cathcart等人(Cathcart,Pothier,Vance,&Bezuk,2006)提出,對等值分數(shù)的理解包括認識概念和運算程序之間的關(guān)聯(lián),以及將數(shù)學原理應用到不同的情境中。Wong(2010)總結(jié)了掌握等值分數(shù)概念的學生擁有一套綜合性的知識,并能夠明確表達下面的五個特征:(1)一個分數(shù)代表被某個參照單位所測量的量;(2)一個分數(shù)量能夠通過分割面積、集合或數(shù)字線模型來表示。(3)等值分數(shù)能夠通過重新分割、組塊的實物操作或圖片表達方式來構(gòu)建。(4)等值分數(shù)能使用符號來構(gòu)建。(5)一個分數(shù)值是某個等值集中的一員,在該等值集中所有的分數(shù)代表同樣的值。2.2網(wǎng)絡(luò)等關(guān)于等級的討論得到體現(xiàn)研究表明,不論國內(nèi)還是國外的兒童,在學習等值分數(shù)概念時都表現(xiàn)出明顯的困難(Mitchell&Horne,2010;Nunes&Bryant,2008;劉春暉,辛自強,2010;蘇洪雨,2007)。他們對概念的理解往往是機械性的,即只知道要將分子、分母同時乘以或除以同一個數(shù),卻不了解等值分數(shù)中隱含著分割、單位量轉(zhuǎn)換以及單位分數(shù)等概念(Columba,1989)。兒童在解決等值分數(shù)任務時主要表現(xiàn)出三種錯誤策略:整數(shù)偏向(wholenumberbias)、差值比較(gapthinking)、加法策略。整數(shù)偏向是指在分數(shù)比較任務中,只單獨比較分子、分母或是通過其他的整數(shù)策略進行比較(Ni,2005)。兒童經(jīng)常運用三種整數(shù)策略:(1)根據(jù)分母大小做比較,例如1/3<1/4,因為3<4;(2)根據(jù)分子大小做比較,例如4/13<9/13,因為4<9;(3)分別比較兩個分數(shù)的分子和分母,例如3/5<6/10,因為3<6,而且5<10(Pearn&Stephens,2004)。在判斷等值分數(shù)時,由于兒童把分數(shù)的分子和分母視為兩個單獨的自然數(shù),因而錯誤地認為2/4是1/2是兩倍(Mitchell&Horne,2010)。差值比較有兩種表現(xiàn),一是通過比較每個分數(shù)的分子和分母之差,確定兩個分數(shù)的比較結(jié)果,例如有學生認為3/5比5/8大,因為3和5相差2,5和8相差3;二是將每個分數(shù)與整體1相比,以此確定比較結(jié)果,例如認為2/3>3/5,因為與單位1相比,2/3還差1份,3/5差2份。Clarke和Roche(2009)發(fā)現(xiàn),當比較5/6和7/8的大小時,29%的六年級兒童認為兩個分數(shù)是等值的,因為它們都還差一份就湊成一個整體1,而Mitchell和Horne(2010)的研究中有半數(shù)的六年級兒童犯了同樣的錯誤。加法策略是兒童在最初接觸等值分數(shù)時,經(jīng)常表現(xiàn)出的一種錯誤策略。由于先前接受大量的加法思維訓練,兒童習慣于這種思維方式,對于等值分數(shù)也常常采用加法性解釋(Behr,Lesh,Post,&Silver,1983)。例如認為3/4=7/8,因為3+4=7,4+4=8。等值分數(shù)有符號題、圖表題和文字題三種類型(Lesh,Cramer,Doerr,Post,&Zawojewski,2003)。對于符號題,兒童只要記住相應的運算法則,就可以熟練解決此類問題;對于圖表題和文字題,則需要根據(jù)題目情境確定四個量之間的關(guān)系,以建立恰當?shù)牡戎捣謹?shù)式,解決這類問題以對概念的理解為基礎(chǔ)。兒童在后兩類任務上經(jīng)常出錯,主要表現(xiàn)為不能正確識別等值分數(shù)問題,濫用等值分數(shù)來解決非等值分數(shù)問題,或不能厘清題目中數(shù)量對應關(guān)系而建立錯誤的等值分數(shù)式(VanDooren,DeBock,Vleugels,&Verschaffel,2011)。3等價分數(shù)的運算思維對于等值分數(shù)概念難以理解的原因,學者們從不同的角度進行研究,歸納起來,主要有兩個因素:一是個體思維發(fā)展水平的制約,未獲得等值分數(shù)的運算思維(operativethinking)是兒童不能理解其概念的根本原因(Kamii&Clark,1995;Sophian,2007);二是等值分數(shù)的語義多樣性,缺乏對等值分數(shù)的不同語義的認識也是不能掌握其概念的重要原因(Ni,2001)。下面分別對這兩個原因進行具體闡述。3.1動態(tài)運算思維新皮亞杰學派的代表人物Kamii等人(Kamii&Clark,1995)立足于皮亞杰的認知發(fā)展理論(Piaget&Inhelder,1975),提出等值分數(shù)的運算思維包括兩個相關(guān)方面:乘法思維(multiplicativethinking)和守恒觀念(conservationconcept)。這是獲得等值分數(shù)概念的必要前提。3.1.1建立等價分數(shù)式的思維乘法思維指表征某種情境的數(shù)量之間存在恒定的乘法關(guān)系,它是理解等值分數(shù)概念的關(guān)鍵成分(Smith,Solomon,&Carey,2005)。等值分數(shù)內(nèi)部關(guān)系的本質(zhì)是乘法關(guān)系,只有具有乘法思維,才能識別并表征這種關(guān)系。兒童從入學起,最先接受的是加法思維的教學訓練,而乘法思維與加法思維有顯著的不同。我們可以通過等級結(jié)構(gòu)圖來描述。從圖1(a)中可以看到,重復的加法,例如3+3+3+3是依次進行的,包含的是同一個水平上的思維;而乘法思維,例如4×3,包含兩個等級水平上的思維,需要同時考慮“一個3,兩個3,三個3,四個3”,而不是相繼的考慮“3+3=6,6+3=9,9+3=12”,同樣對于等值分數(shù)中包含的乘法思維,我們也可以用等級結(jié)構(gòu)圖來表示,以1/4=3/12為例,如圖1(b)。在建立等值分數(shù)式時,首先需要確認變量間是否是乘法關(guān)系。但在實際解題中,很多學生只是背過等值分數(shù)的形式和運算程序,遇到表面結(jié)構(gòu)類似的題目就生搬硬套。研究者曾讓師范生解兩道題目(VanDooren,DeBock,Hessels,Janssens,&Verschaffel,2005)。第一道是“跑圈”問題:Sue和Julie在跑道上跑得同樣快。Sue先出發(fā)的,當她跑了9圈,Julie跑了3圈。當Julie跑完15圈,Sue跑了多少圈?結(jié)果有三分之二的學生錯誤地建立等值分數(shù)式:9/3=x/15,x=45。他們沒有意識到兩人跑的圈數(shù)之間是加法關(guān)系。另一道是貨幣兌換問題:3美元能兌換成2英鎊,那么21美元能兌換成多少英鎊?所有的學生都能運用等值分數(shù)的算法正確解決這個問題,因為貨幣兌換關(guān)系是乘法關(guān)系。但是沒有學生能夠解釋清楚這兩個問題的本質(zhì)差異。一些研究發(fā)現(xiàn),學前期甚至更小的兒童已經(jīng)具有了直覺性的乘法思維(Brannon,2002;McCrink&Wynn,2007;Xu&Spelke,2000),但小學低年級的數(shù)學教學過多訓練和使用了加法思維,這在一定程度上阻礙了兒童乘法思維的自然發(fā)展。很多兒童在初學等值分數(shù)時,依然習慣性地運用加法思維來解題,從而導致出錯。Steffe(1994)總結(jié)已有研究結(jié)論,得出兒童需要多年的正式學習才能完全掌握乘法思維。3.1.2量的堅守kraft理解等值分數(shù)的另一個必要條件是獲得守恒的概念。所謂守恒,是指物體某方面的特征(如重量或體積),不因其另一方面的特征(如形狀)改變而改變。按照性質(zhì)的不同,我們把守恒分為兩類:量的守恒和關(guān)系守恒。前者包括整體守恒、面積守恒等,是指在變化前后,物體的量保持不變;后者指在變化前后,事物間的比例關(guān)系保持不變。不同守恒觀念的發(fā)展具有不平衡性。量的守恒是在具體運算階段(7~11歲)獲得的,而比例守恒要到抽象運算階段(11歲以后)才能達到(Goswami,2004)。量的守恒包括不同難度的等值分數(shù)問題。同構(gòu)的圖形任務較為簡單,Singer-Freeman和Goswami(2001)發(fā)現(xiàn),兩個相同的匹薩按同樣的方式分割,其中一個平分成4份,另一個平分成8份,則兒童很容易知覺到2/8的匹薩與1/4的匹薩一樣大。而非同構(gòu)的圖形任務較難,例如將兩個相同的長方形按不同的方式分割,一個沿對稱軸等分為兩個小長方形,另一個沿對角線等分為兩個小三角形,要求兒童判斷小長方形和小三角形的相對大小,雖然從外形上,小三角形可能看起來比小長方形更大,但守恒觀念使我們意識到它們都是原先整體的一半,因而一樣大;而未獲得守恒觀念的兒童比較的是脫離原先整體的單個長方形和三角形,往往會得到“三角形更大”的錯誤結(jié)論(Kamii&Clark,1995)。比例守恒是指兩個量之間的比例關(guān)系保持不變,比如概率、濃度、比例尺問題,通常不能借助知覺來解決,因而對概念理解的要求更高。Boyer等人發(fā)現(xiàn),年齡較小的兒童進行等值判斷時,只關(guān)注比例的一個維度,而不能同時考慮兩個維度(Boyer,Levine,&Huttenlocher,2008)。他們采用橙汁任務,考查對象是學前班至小學四年級兒童。結(jié)果發(fā)現(xiàn),三年級以下兒童大多只關(guān)注橙汁的絕對量,到小學三年級以上,大多數(shù)兒童才能夠同時考慮橙汁和水兩個部分來做出正確選擇。3.2等分的重要性3.2.1等價分數(shù)的概念語義(semanticmeanings)是指使用自然語言解釋數(shù)學概念在某種使用情境下的特殊含義(Biehler,2005)。學者們一致同意,造成分數(shù)復雜性的主要原因之一是分數(shù)的多重語義內(nèi)涵(Brousseau,Brousseau,&Warfield,2004;Kieren,1993)。Kieren(1976)通過對小學數(shù)學教材分析、教學觀察和學生作業(yè)分析,提出分數(shù)概念中包含著五種具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的子意義:部分-整體關(guān)系、比、商、測量和算子。這已經(jīng)得到學者們的廣泛認可(Behr,Harel,Post,&Lesh,1992)。在分數(shù)的不同子意義下,等值具有特定的涵義,并對應著不同的表征模型。在部分-整體關(guān)系中,等值指在選取相同基準量的情境下,雖然分的份數(shù)不同,但兩個分數(shù)所代表的量是相等的,常采用面積和集合來表示,其中分數(shù)單位的大小和多少之間具有補償關(guān)系。在測量意義中,等值指選取不同的分數(shù)單位,但測得的值相等,常采用數(shù)字線來表示。在比意義中,等值指兩個量之間具有恒定的比關(guān)系。在商的意義下,等值指兩個除法運算的結(jié)果相等。在算子意義中,等值表示兩個量之間具有確定的轉(zhuǎn)換關(guān)系。Post等人(Post,Wachsmuth,Lesh,&Behr,1985)指出,兒童獲得等值分數(shù)概念的重要標志之一是能夠在一個表征模型內(nèi)部進行彈性轉(zhuǎn)換,以及在不同的表征模型間進行彈性轉(zhuǎn)換。Wong和Evans(2007)也提出,兒童必須認識到不同語義之間的一致性和差異性,并在這些語義之間建立聯(lián)系,才能夠正確理解和運用等值分數(shù)的概念。在教學中,如果過于強調(diào)某一種語義,可能會妨礙兒童對其他語義的理解。Mcnamara和Shaughnessy(2010)對比過兩種教學方式。Chu老師習慣用面積或集合來表示分數(shù),并通過演示分蛋糕來進行等值分數(shù)教學,在她的課堂上,大部分五年級學生能夠通過乘以或除以n/n的方式得到等值分數(shù),但具體到應用題情境中,不少學生卻仍然認為一個匹薩的4/16比它的2/8大,說明他們的頭腦中并沒有把等值分數(shù)看作是同一個值。而Dunn老師在教學時增加了數(shù)字線模型,讓學生能夠直觀的認識到等值分數(shù)在數(shù)字線上位于相同的位置,表示同樣的值。相比而言,Dunn老師教的學生成績更好,對等值分數(shù)意義的理解也更充分。3.2.2基于不同的背景意義Vergnaud(2009)的概念域理論(conceptfieldtheory)與Kieren的觀點相類似。Vergnaud認為,每一類數(shù)學問題的解決,往往都需要一系列緊密相關(guān)的數(shù)學概念和程序。這樣一組關(guān)聯(lián)了多種概念和程序的問題情景就稱為一個概念域。數(shù)學概念從各種各樣的情境中獲得它們的意義,這些情境的分析和處理需要多種不同但又相互聯(lián)系的概念、運算程序和符號表征。具體到等值分數(shù)的概念,兒童不僅要學習其定義,更要基于不同的背景意義來理解這一概念。面積、集合和數(shù)字線是分數(shù)教學中常用的材料,它們強調(diào)了分數(shù)意義的特定方面。面積或集合模型突出了分數(shù)的部分-整體關(guān)系,面積表示連續(xù)量,而集合表示離散量。在面積表達中個體更容易識別兩個分數(shù)的等值,因為可以借助知覺線索來做出判斷;在集合情境下識別等值分數(shù)需要理解兩個比的等值,因為必須忽略事物數(shù)量的增減而知覺這種等值關(guān)系(English&Halford,1995)。數(shù)字線強調(diào)了分數(shù)的測量意義,識別該背景下的等值分數(shù)需要認識有理數(shù)的密度和順序(Pearn&Stephens,2007)。比和算子意義下的等值分數(shù)問題主要是應用題,在解此類題時,需要首先明確已知量、未知量、以及事物之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,再建立合適的等值分數(shù)式。Ni(2001)以五、六年級的小學生為被試,考查語義如何制約等值分數(shù)概念的理解,測驗材料是表示部分-整體意義的面積和集合圖形以及表示測量意義的數(shù)字線圖形。結(jié)果表明,被試在面積項目上表現(xiàn)最好,在集合項目上表現(xiàn)較差,在數(shù)字線項目上表現(xiàn)最差。五年級學生在這兩個語義領(lǐng)域上的表現(xiàn)都較差;六年級學生在部分-整體意義項目上的表現(xiàn)比五年級顯著要好,但在測量意義的項目上沒有提高。Ni認為學生在測驗中的表現(xiàn)模式反映了兒童從一個語義領(lǐng)域到另一個語義領(lǐng)域相繼的建立等值分數(shù)概念,從運算與實物具有明顯聯(lián)系的語義領(lǐng)域發(fā)展到聯(lián)系不明顯的語義領(lǐng)域。隨著兒童接觸到越來越不同的內(nèi)容和表征方式,他們的等值概念脫離特殊化,變得越來越抽象和正式。4返回和期待4.1在教學中繼續(xù)教基于上述分析,可以得知等值分數(shù)概念具有復雜的內(nèi)涵,對兒童的理解造成一定的困難。對于其難以理解的原因,研究者進行多年的探討,得出兩個主要的影響因素:個體的運算思維水平和等值分數(shù)的語義多樣性。在這兩個方面,學者們已經(jīng)取得了一定的系統(tǒng)化結(jié)果,需要從更為具體的層面推進下一步的研究。第一,需進一步探討從先天性乘法思維到正式概念之間的明確路徑。關(guān)于乘法思維的發(fā)展,大量研究表明學前兒童甚至嬰兒就具有了直覺性乘法思維。這些研究中既有在連續(xù)量條件下觀測到兒童對比例關(guān)系的敏感(Jeong,Levine,&Huttenlocher,2007;Spinillo&Bryant,1991),也有在離散量條件下發(fā)現(xiàn)兒童具有數(shù)量縮放能力(Barth,Baron,Spelke,&Carey,2009;McCrink&Wynn,2007)。一些研究者認為,對物理量乘法轉(zhuǎn)換的先天直覺能夠支持后面的分數(shù)學習(Steffe,1994;Moss&Case,1999),但兒童在實際學習中仍然存在較大困難,這說明物理量的直覺推理到有理數(shù)的正式推理之間存在明顯的概念差距。有研究者認為,小學數(shù)學課程是先進行加法教學,使得兒童在小學初期接受了過多的加法思維訓練,而沒有獲得發(fā)展乘法思維的機會,阻礙后面乘法思維的學習(McCrink&Spelke,2010),但在這方面尚未開展嚴格的實驗研究。對此,我們可以通過不同教法的對比實驗,來探討等值分數(shù)教學的更有效途徑。具體來說,可以嘗試開展等值分數(shù)的早期教學。學校一般是在五年級才進行等值分數(shù)教學,但一年級兒童已經(jīng)具有了乘法思維的萌芽和簡單的守恒觀念,因而可以從小學低年級入手,在個體的非正式知識基礎(chǔ)上逐步推進對正式概念的學習。這與維果斯基的最近發(fā)展區(qū)觀點是一致的,即了解到學生的實際發(fā)展水平和潛在發(fā)展水平,并據(jù)此尋找其最近發(fā)展區(qū),把握“教學最佳期”以引導學生向著潛在的、最高的水平發(fā)展(Vygotsky,1978)。將非正式知識和教學結(jié)合起來,這將是小學數(shù)學課程的一個核心和有挑戰(zhàn)性的部分。目前,國外已經(jīng)開展了這方面的教學實踐。美國公共廣播電視網(wǎng)(PBS)和IEXCEL學習網(wǎng)都為幼兒園到初中各年級的孩子提供了內(nèi)容豐富的學習平臺,在等值分數(shù)主題上,一年級通過圖形來獲得簡單分數(shù)的非正式知識,二年級識別1/2、1/3、1/4的圖形等值形式,三年級認識分數(shù)數(shù)字線和學習分數(shù)的符號形式,四年級學習等值分數(shù)的符號形式。第二,在今后的研究中,有必要對不同語義背景下的結(jié)論進行區(qū)分,即分別在部分-整體、測量、比、商、算子的語義背景下探討兒童的概念發(fā)展水平。以往研究者在考查兒童的等值分數(shù)概念發(fā)展時,由于采用不同意義的實驗材料,往往得到不一致的結(jié)論。有的研究者采用部分-整體意義的面積圖形,發(fā)現(xiàn)幼兒就能夠做出正確判斷(S