小學(xué)等分?jǐn)?shù)的理解困難的原因分析

小學(xué)等分?jǐn)?shù)的理解困難的原因分析

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)課的重點(diǎn)內(nèi)容。等分是關(guān)系知識(shí)體系中一個(gè)重要而困難的概念（pearn，檢測(cè)器，2003）。等值分?jǐn)?shù)的一般形式為a/b=c/d(b,d≠0),它是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算、分?jǐn)?shù)比較以及比例推理等知識(shí)的基礎(chǔ)。國(guó)外文獻(xiàn)中屢屢提到等值分?jǐn)?shù)給學(xué)校教學(xué)造成了很大的障礙,許多學(xué)生甚至一些老師在等值分?jǐn)?shù)的概念理解上都存在困難(Mitchell&Horne,2010;Nunes&Bryant,2008)。例如,國(guó)外一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),有60%的四年級(jí)學(xué)生和51%的六年級(jí)學(xué)生認(rèn)為10/12是5/6的2倍(Mcnamara&Shaughnessy,2010)。盡管這些六年級(jí)兒童已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),即分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù),分?jǐn)?shù)的大小保持不變,但他們遇到這種問題時(shí),并不能靈活地運(yùn)用已有知識(shí)進(jìn)行判斷,說(shuō)明并沒有真正掌握等值分?jǐn)?shù)的概念。我國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)盡管比國(guó)外同齡兒童要好,但同樣不能很好地理解這一概念。國(guó)內(nèi)研究者(劉春暉,辛自強(qiáng),2010;蘇洪雨,2007)發(fā)現(xiàn),五年級(jí)以上的小學(xué)生對(duì)等值分?jǐn)?shù)運(yùn)算規(guī)則的掌握較為熟練,而對(duì)其概念的理解較為生疏?？梢?等值分?jǐn)?shù)概念理解的問題值得研究。在過去三十多年里,國(guó)外學(xué)者在這方面的研究主要集中在等值分?jǐn)?shù)的概念結(jié)構(gòu)、運(yùn)算思維、語(yǔ)義分析等方面。本文擬梳理有關(guān)文獻(xiàn),以明確取得的成果以及今后的研究方向。1通過系數(shù)分布的中心上的等價(jià)分?jǐn)?shù),主要有以下幾種等值分?jǐn)?shù)是表示具有相等值的分?jǐn)?shù)(Chapin&Johnson,2006),例如1/2=2/4。分?jǐn)?shù)的等值有兩重涵義:一是表示兩個(gè)量相等,比如一個(gè)餅的1/2和它的2/4一樣多;二是表示兩個(gè)量之間具有確定的比較關(guān)系,比如一份橙汁和兩份水混合與兩份橙汁和四份水混合后產(chǎn)生同樣的味道。在代數(shù)中,等值分?jǐn)?shù)的分子除以分母后會(huì)得到同樣的小數(shù),我們可以通過將給定分?jǐn)?shù)的分子和分母乘以(或除以)同一個(gè)不為0的數(shù)來(lái)得到它的等值分?jǐn)?shù);在幾何中,等值分?jǐn)?shù)表示數(shù)字線上相同的點(diǎn),可以通過擴(kuò)大或縮小分?jǐn)?shù)單位來(lái)得到給定分?jǐn)?shù)的等值分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)的分子分母之間是除或比的形式,研究者一般認(rèn)為除法是特殊形式的乘法,因而采用“乘法關(guān)系”(multiplicativerelationship)一詞來(lái)指代分子分母之間的比較關(guān)系(Behr,Wachsmuth,Post,&Lesh,1984)。等值分?jǐn)?shù)建立在分子和分母之間的乘法關(guān)系不變性的前提上。每個(gè)分?jǐn)?shù)屬于一個(gè)等值集(equivalentclass),該等值集中包含無(wú)限個(gè)分?jǐn)?shù)(Vamvakoussi&Vosniadou,2004),它是由一個(gè)唯一性的乘法等式y(tǒng)=mx所產(chǎn)生的,其中m為某一特定分?jǐn)?shù)值,x=1/1,2/2,3/3,……,例如,分?jǐn)?shù)1/2的等值集可以表示成{1/2,2/4,3/6,4/8,……}。Behr等人(Behr,Harel,Post,&Lesh,1992)通過等值分?jǐn)?shù)的形式給出了有理數(shù)和分?jǐn)?shù)的清晰準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)定義:有理數(shù)是由無(wú)限個(gè)等值集構(gòu)成的一個(gè)無(wú)窮大商域,這些等值集的元素就是分?jǐn)?shù)。他們進(jìn)一步指出等值分?jǐn)?shù)可以作為測(cè)量?jī)和欣頂?shù)概念的方法。等值是分?jǐn)?shù)知識(shí)體系中的一個(gè)基礎(chǔ)性概念,對(duì)于促進(jìn)分?jǐn)?shù)知識(shí)的掌握非常重要(Kieren,1993;詹婉華,呂玉琴,2004)。在分?jǐn)?shù)教學(xué)中,等值分?jǐn)?shù)對(duì)學(xué)習(xí)通分、約分、分?jǐn)?shù)加減法和分?jǐn)?shù)比較具有重要意義,也是后面學(xué)習(xí)比例關(guān)系、概率、函數(shù)的基礎(chǔ)。許多學(xué)科以及日常生活的問題解決都經(jīng)常用到等值分?jǐn)?shù)的概念,例如地圖的比例尺、物理中的速度、化學(xué)中的物質(zhì)分解與化合、幾何中的相似問題、生活中的單位換算等。2孩子們對(duì)平等比率概念的理解2.1等價(jià)分?jǐn)?shù)的概念兒童一般從小學(xué)五年級(jí)開始正式學(xué)習(xí)等值分?jǐn)?shù),但在這之前已經(jīng)具有了它的非正式知識(shí)(Spinino,2002)。Wong(2010)采用“分?jǐn)?shù)理解的評(píng)價(jià)問卷”(Wong,2009),對(duì)六所小學(xué)的649名三至六年級(jí)學(xué)生施測(cè),運(yùn)用因素分析的方法,得出兒童在理解等值分?jǐn)?shù)概念時(shí)技能和知識(shí)的發(fā)展路徑,將其概括為四個(gè)水平。水平1:能夠識(shí)別簡(jiǎn)單面積模型表示的1/2的量,例如認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和圓形的一半;水平2:能夠識(shí)別簡(jiǎn)單面積模型表示的分?jǐn)?shù)值,例如將一個(gè)圓平分成8份,取其中的3份,表示分?jǐn)?shù)3/8;水平3:(1)能夠通過分割一個(gè)面積模型來(lái)表示一個(gè)分?jǐn)?shù)。例如,給兒童呈現(xiàn)一個(gè)長(zhǎng)方形,讓兒童表示出2/8。(2)能夠使用等值形式來(lái)表示一個(gè)分?jǐn)?shù),例如一個(gè)長(zhǎng)方形平分成8份,讓兒童表示出3/4。(3)能夠識(shí)別圖形表示的等值分?jǐn)?shù),例如一個(gè)正方形平分成16份取其中4份,與平分成4份取其中1份,表示同樣的值;水平4:能夠識(shí)別大于等于1的等值分?jǐn)?shù)。例如,一個(gè)長(zhǎng)方形四等分并全部涂黑,兒童能夠識(shí)別4/4,并給它命名不同的名稱。Cathcart等人(Cathcart,Pothier,Vance,&Bezuk,2006)提出,對(duì)等值分?jǐn)?shù)的理解包括認(rèn)識(shí)概念和運(yùn)算程序之間的關(guān)聯(lián),以及將數(shù)學(xué)原理應(yīng)用到不同的情境中。Wong(2010)總結(jié)了掌握等值分?jǐn)?shù)概念的學(xué)生擁有一套綜合性的知識(shí),并能夠明確表達(dá)下面的五個(gè)特征:(1)一個(gè)分?jǐn)?shù)代表被某個(gè)參照單位所測(cè)量的量;(2)一個(gè)分?jǐn)?shù)量能夠通過分割面積、集合或數(shù)字線模型來(lái)表示。(3)等值分?jǐn)?shù)能夠通過重新分割、組塊的實(shí)物操作或圖片表達(dá)方式來(lái)構(gòu)建。(4)等值分?jǐn)?shù)能使用符號(hào)來(lái)構(gòu)建。(5)一個(gè)分?jǐn)?shù)值是某個(gè)等值集中的一員,在該等值集中所有的分?jǐn)?shù)代表同樣的值。2.2網(wǎng)絡(luò)等關(guān)于等級(jí)的討論得到體現(xiàn)研究表明,不論國(guó)內(nèi)還是國(guó)外的兒童,在學(xué)習(xí)等值分?jǐn)?shù)概念時(shí)都表現(xiàn)出明顯的困難(Mitchell&Horne,2010;Nunes&Bryant,2008;劉春暉,辛自強(qiáng),2010;蘇洪雨,2007)。他們對(duì)概念的理解往往是機(jī)械性的,即只知道要將分子、分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)數(shù),卻不了解等值分?jǐn)?shù)中隱含著分割、單位量轉(zhuǎn)換以及單位分?jǐn)?shù)等概念(Columba,1989)。兒童在解決等值分?jǐn)?shù)任務(wù)時(shí)主要表現(xiàn)出三種錯(cuò)誤策略:整數(shù)偏向(wholenumberbias)、差值比較(gapthinking)、加法策略。整數(shù)偏向是指在分?jǐn)?shù)比較任務(wù)中,只單獨(dú)比較分子、分母或是通過其他的整數(shù)策略進(jìn)行比較(Ni,2005)。兒童經(jīng)常運(yùn)用三種整數(shù)策略:(1)根據(jù)分母大小做比較,例如1/3<1/4,因?yàn)?<4;(2)根據(jù)分子大小做比較,例如4/13<9/13,因?yàn)?<9;(3)分別比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母,例如3/5<6/10,因?yàn)?<6,而且5<10(Pearn&Stephens,2004)。在判斷等值分?jǐn)?shù)時(shí),由于兒童把分?jǐn)?shù)的分子和分母視為兩個(gè)單獨(dú)的自然數(shù),因而錯(cuò)誤地認(rèn)為2/4是1/2是兩倍(Mitchell&Horne,2010)。差值比較有兩種表現(xiàn),一是通過比較每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母之差,確定兩個(gè)分?jǐn)?shù)的比較結(jié)果,例如有學(xué)生認(rèn)為3/5比5/8大,因?yàn)?和5相差2,5和8相差3;二是將每個(gè)分?jǐn)?shù)與整體1相比,以此確定比較結(jié)果,例如認(rèn)為2/3>3/5,因?yàn)榕c單位1相比,2/3還差1份,3/5差2份。Clarke和Roche(2009)發(fā)現(xiàn),當(dāng)比較5/6和7/8的大小時(shí),29%的六年級(jí)兒童認(rèn)為兩個(gè)分?jǐn)?shù)是等值的,因?yàn)樗鼈兌歼€差一份就湊成一個(gè)整體1,而Mitchell和Horne(2010)的研究中有半數(shù)的六年級(jí)兒童犯了同樣的錯(cuò)誤。加法策略是兒童在最初接觸等值分?jǐn)?shù)時(shí),經(jīng)常表現(xiàn)出的一種錯(cuò)誤策略。由于先前接受大量的加法思維訓(xùn)練,兒童習(xí)慣于這種思維方式,對(duì)于等值分?jǐn)?shù)也常常采用加法性解釋(Behr,Lesh,Post,&Silver,1983)。例如認(rèn)為3/4=7/8,因?yàn)?+4=7,4+4=8。等值分?jǐn)?shù)有符號(hào)題、圖表題和文字題三種類型(Lesh,Cramer,Doerr,Post,&Zawojewski,2003)。對(duì)于符號(hào)題,兒童只要記住相應(yīng)的運(yùn)算法則,就可以熟練解決此類問題;對(duì)于圖表題和文字題,則需要根據(jù)題目情境確定四個(gè)量之間的關(guān)系,以建立恰當(dāng)?shù)牡戎捣謹(jǐn)?shù)式,解決這類問題以對(duì)概念的理解為基礎(chǔ)。兒童在后兩類任務(wù)上經(jīng)常出錯(cuò),主要表現(xiàn)為不能正確識(shí)別等值分?jǐn)?shù)問題,濫用等值分?jǐn)?shù)來(lái)解決非等值分?jǐn)?shù)問題,或不能厘清題目中數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系而建立錯(cuò)誤的等值分?jǐn)?shù)式(VanDooren,DeBock,Vleugels,&Verschaffel,2011)。3等價(jià)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算思維對(duì)于等值分?jǐn)?shù)概念難以理解的原因,學(xué)者們從不同的角度進(jìn)行研究,歸納起來(lái),主要有兩個(gè)因素:一是個(gè)體思維發(fā)展水平的制約,未獲得等值分?jǐn)?shù)的運(yùn)算思維(operativethinking)是兒童不能理解其概念的根本原因(Kamii&Clark,1995;Sophian,2007);二是等值分?jǐn)?shù)的語(yǔ)義多樣性,缺乏對(duì)等值分?jǐn)?shù)的不同語(yǔ)義的認(rèn)識(shí)也是不能掌握其概念的重要原因(Ni,2001)。下面分別對(duì)這兩個(gè)原因進(jìn)行具體闡述。3.1動(dòng)態(tài)運(yùn)算思維新皮亞杰學(xué)派的代表人物Kamii等人(Kamii&Clark,1995)立足于皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論(Piaget&Inhelder,1975),提出等值分?jǐn)?shù)的運(yùn)算思維包括兩個(gè)相關(guān)方面:乘法思維(multiplicativethinking)和守恒觀念(conservationconcept)。這是獲得等值分?jǐn)?shù)概念的必要前提。3.1.1建立等價(jià)分?jǐn)?shù)式的思維乘法思維指表征某種情境的數(shù)量之間存在恒定的乘法關(guān)系,它是理解等值分?jǐn)?shù)概念的關(guān)鍵成分(Smith,Solomon,&Carey,2005)。等值分?jǐn)?shù)內(nèi)部關(guān)系的本質(zhì)是乘法關(guān)系,只有具有乘法思維,才能識(shí)別并表征這種關(guān)系。兒童從入學(xué)起,最先接受的是加法思維的教學(xué)訓(xùn)練,而乘法思維與加法思維有顯著的不同。我們可以通過等級(jí)結(jié)構(gòu)圖來(lái)描述。從圖1(a)中可以看到,重復(fù)的加法,例如3+3+3+3是依次進(jìn)行的,包含的是同一個(gè)水平上的思維;而乘法思維,例如4×3,包含兩個(gè)等級(jí)水平上的思維,需要同時(shí)考慮“一個(gè)3,兩個(gè)3,三個(gè)3,四個(gè)3”,而不是相繼的考慮“3+3=6,6+3=9,9+3=12”,同樣對(duì)于等值分?jǐn)?shù)中包含的乘法思維,我們也可以用等級(jí)結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示,以1/4=3/12為例,如圖1(b)。在建立等值分?jǐn)?shù)式時(shí),首先需要確認(rèn)變量間是否是乘法關(guān)系。但在實(shí)際解題中,很多學(xué)生只是背過等值分?jǐn)?shù)的形式和運(yùn)算程序,遇到表面結(jié)構(gòu)類似的題目就生搬硬套。研究者曾讓師范生解兩道題目(VanDooren,DeBock,Hessels,Janssens,&Verschaffel,2005)。第一道是“跑圈”問題:Sue和Julie在跑道上跑得同樣快。Sue先出發(fā)的,當(dāng)她跑了9圈,Julie跑了3圈。當(dāng)Julie跑完15圈,Sue跑了多少圈?結(jié)果有三分之二的學(xué)生錯(cuò)誤地建立等值分?jǐn)?shù)式:9/3=x/15,x=45。他們沒有意識(shí)到兩人跑的圈數(shù)之間是加法關(guān)系。另一道是貨幣兌換問題:3美元能兌換成2英鎊,那么21美元能兌換成多少英鎊?所有的學(xué)生都能運(yùn)用等值分?jǐn)?shù)的算法正確解決這個(gè)問題,因?yàn)樨泿艃稉Q關(guān)系是乘法關(guān)系。但是沒有學(xué)生能夠解釋清楚這兩個(gè)問題的本質(zhì)差異。一些研究發(fā)現(xiàn),學(xué)前期甚至更小的兒童已經(jīng)具有了直覺性的乘法思維(Brannon,2002;McCrink&Wynn,2007;Xu&Spelke,2000),但小學(xué)低年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)過多訓(xùn)練和使用了加法思維,這在一定程度上阻礙了兒童乘法思維的自然發(fā)展。很多兒童在初學(xué)等值分?jǐn)?shù)時(shí),依然習(xí)慣性地運(yùn)用加法思維來(lái)解題,從而導(dǎo)致出錯(cuò)。Steffe(1994)總結(jié)已有研究結(jié)論,得出兒童需要多年的正式學(xué)習(xí)才能完全掌握乘法思維。3.1.2量的堅(jiān)守kraft理解等值分?jǐn)?shù)的另一個(gè)必要條件是獲得守恒的概念。所謂守恒,是指物體某方面的特征(如重量或體積),不因其另一方面的特征(如形狀)改變而改變。按照性質(zhì)的不同,我們把守恒分為兩類:量的守恒和關(guān)系守恒。前者包括整體守恒、面積守恒等,是指在變化前后,物體的量保持不變;后者指在變化前后,事物間的比例關(guān)系保持不變。不同守恒觀念的發(fā)展具有不平衡性。量的守恒是在具體運(yùn)算階段(7~11歲)獲得的,而比例守恒要到抽象運(yùn)算階段(11歲以后)才能達(dá)到(Goswami,2004)。量的守恒包括不同難度的等值分?jǐn)?shù)問題。同構(gòu)的圖形任務(wù)較為簡(jiǎn)單,Singer-Freeman和Goswami(2001)發(fā)現(xiàn),兩個(gè)相同的匹薩按同樣的方式分割,其中一個(gè)平分成4份,另一個(gè)平分成8份,則兒童很容易知覺到2/8的匹薩與1/4的匹薩一樣大。而非同構(gòu)的圖形任務(wù)較難,例如將兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形按不同的方式分割,一個(gè)沿對(duì)稱軸等分為兩個(gè)小長(zhǎng)方形,另一個(gè)沿對(duì)角線等分為兩個(gè)小三角形,要求兒童判斷小長(zhǎng)方形和小三角形的相對(duì)大小,雖然從外形上,小三角形可能看起來(lái)比小長(zhǎng)方形更大,但守恒觀念使我們意識(shí)到它們都是原先整體的一半,因而一樣大;而未獲得守恒觀念的兒童比較的是脫離原先整體的單個(gè)長(zhǎng)方形和三角形,往往會(huì)得到“三角形更大”的錯(cuò)誤結(jié)論(Kamii&Clark,1995)。比例守恒是指兩個(gè)量之間的比例關(guān)系保持不變,比如概率、濃度、比例尺問題,通常不能借助知覺來(lái)解決,因而對(duì)概念理解的要求更高。Boyer等人發(fā)現(xiàn),年齡較小的兒童進(jìn)行等值判斷時(shí),只關(guān)注比例的一個(gè)維度,而不能同時(shí)考慮兩個(gè)維度(Boyer,Levine,&Huttenlocher,2008)。他們采用橙汁任務(wù),考查對(duì)象是學(xué)前班至小學(xué)四年級(jí)兒童。結(jié)果發(fā)現(xiàn),三年級(jí)以下兒童大多只關(guān)注橙汁的絕對(duì)量,到小學(xué)三年級(jí)以上,大多數(shù)兒童才能夠同時(shí)考慮橙汁和水兩個(gè)部分來(lái)做出正確選擇。3.2等分的重要性3.2.1等價(jià)分?jǐn)?shù)的概念語(yǔ)義(semanticmeanings)是指使用自然語(yǔ)言解釋數(shù)學(xué)概念在某種使用情境下的特殊含義(Biehler,2005)。學(xué)者們一致同意,造成分?jǐn)?shù)復(fù)雜性的主要原因之一是分?jǐn)?shù)的多重語(yǔ)義內(nèi)涵(Brousseau,Brousseau,&Warfield,2004;Kieren,1993)。Kieren(1976)通過對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材分析、教學(xué)觀察和學(xué)生作業(yè)分析,提出分?jǐn)?shù)概念中包含著五種具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的子意義:部分-整體關(guān)系、比、商、測(cè)量和算子。這已經(jīng)得到學(xué)者們的廣泛認(rèn)可(Behr,Harel,Post,&Lesh,1992)。在分?jǐn)?shù)的不同子意義下,等值具有特定的涵義,并對(duì)應(yīng)著不同的表征模型。在部分-整體關(guān)系中,等值指在選取相同基準(zhǔn)量的情境下,雖然分的份數(shù)不同,但兩個(gè)分?jǐn)?shù)所代表的量是相等的,常采用面積和集合來(lái)表示,其中分?jǐn)?shù)單位的大小和多少之間具有補(bǔ)償關(guān)系。在測(cè)量意義中,等值指選取不同的分?jǐn)?shù)單位,但測(cè)得的值相等,常采用數(shù)字線來(lái)表示。在比意義中,等值指兩個(gè)量之間具有恒定的比關(guān)系。在商的意義下,等值指兩個(gè)除法運(yùn)算的結(jié)果相等。在算子意義中,等值表示兩個(gè)量之間具有確定的轉(zhuǎn)換關(guān)系。Post等人(Post,Wachsmuth,Lesh,&Behr,1985)指出,兒童獲得等值分?jǐn)?shù)概念的重要標(biāo)志之一是能夠在一個(gè)表征模型內(nèi)部進(jìn)行彈性轉(zhuǎn)換,以及在不同的表征模型間進(jìn)行彈性轉(zhuǎn)換。Wong和Evans(2007)也提出,兒童必須認(rèn)識(shí)到不同語(yǔ)義之間的一致性和差異性,并在這些語(yǔ)義之間建立聯(lián)系,才能夠正確理解和運(yùn)用等值分?jǐn)?shù)的概念。在教學(xué)中,如果過于強(qiáng)調(diào)某一種語(yǔ)義,可能會(huì)妨礙兒童對(duì)其他語(yǔ)義的理解。Mcnamara和Shaughnessy(2010)對(duì)比過兩種教學(xué)方式。Chu老師習(xí)慣用面積或集合來(lái)表示分?jǐn)?shù),并通過演示分蛋糕來(lái)進(jìn)行等值分?jǐn)?shù)教學(xué),在她的課堂上,大部分五年級(jí)學(xué)生能夠通過乘以或除以n/n的方式得到等值分?jǐn)?shù),但具體到應(yīng)用題情境中,不少學(xué)生卻仍然認(rèn)為一個(gè)匹薩的4/16比它的2/8大,說(shuō)明他們的頭腦中并沒有把等值分?jǐn)?shù)看作是同一個(gè)值。而Dunn老師在教學(xué)時(shí)增加了數(shù)字線模型,讓學(xué)生能夠直觀的認(rèn)識(shí)到等值分?jǐn)?shù)在數(shù)字線上位于相同的位置,表示同樣的值。相比而言,Dunn老師教的學(xué)生成績(jī)更好,對(duì)等值分?jǐn)?shù)意義的理解也更充分。3.2.2基于不同的背景意義Vergnaud(2009)的概念域理論(conceptfieldtheory)與Kieren的觀點(diǎn)相類似。Vergnaud認(rèn)為,每一類數(shù)學(xué)問題的解決,往往都需要一系列緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)概念和程序。這樣一組關(guān)聯(lián)了多種概念和程序的問題情景就稱為一個(gè)概念域。數(shù)學(xué)概念從各種各樣的情境中獲得它們的意義,這些情境的分析和處理需要多種不同但又相互聯(lián)系的概念、運(yùn)算程序和符號(hào)表征。具體到等值分?jǐn)?shù)的概念,兒童不僅要學(xué)習(xí)其定義,更要基于不同的背景意義來(lái)理解這一概念。面積、集合和數(shù)字線是分?jǐn)?shù)教學(xué)中常用的材料,它們強(qiáng)調(diào)了分?jǐn)?shù)意義的特定方面。面積或集合模型突出了分?jǐn)?shù)的部分-整體關(guān)系,面積表示連續(xù)量,而集合表示離散量。在面積表達(dá)中個(gè)體更容易識(shí)別兩個(gè)分?jǐn)?shù)的等值,因?yàn)榭梢越柚X線索來(lái)做出判斷;在集合情境下識(shí)別等值分?jǐn)?shù)需要理解兩個(gè)比的等值,因?yàn)楸仨毢雎允挛飻?shù)量的增減而知覺這種等值關(guān)系(English&Halford,1995)。數(shù)字線強(qiáng)調(diào)了分?jǐn)?shù)的測(cè)量意義,識(shí)別該背景下的等值分?jǐn)?shù)需要認(rèn)識(shí)有理數(shù)的密度和順序(Pearn&Stephens,2007)。比和算子意義下的等值分?jǐn)?shù)問題主要是應(yīng)用題,在解此類題時(shí),需要首先明確已知量、未知量、以及事物之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,再建立合適的等值分?jǐn)?shù)式。Ni(2001)以五、六年級(jí)的小學(xué)生為被試,考查語(yǔ)義如何制約等值分?jǐn)?shù)概念的理解,測(cè)驗(yàn)材料是表示部分-整體意義的面積和集合圖形以及表示測(cè)量意義的數(shù)字線圖形。結(jié)果表明,被試在面積項(xiàng)目上表現(xiàn)最好,在集合項(xiàng)目上表現(xiàn)較差,在數(shù)字線項(xiàng)目上表現(xiàn)最差。五年級(jí)學(xué)生在這兩個(gè)語(yǔ)義領(lǐng)域上的表現(xiàn)都較差;六年級(jí)學(xué)生在部分-整體意義項(xiàng)目上的表現(xiàn)比五年級(jí)顯著要好,但在測(cè)量意義的項(xiàng)目上沒有提高。Ni認(rèn)為學(xué)生在測(cè)驗(yàn)中的表現(xiàn)模式反映了兒童從一個(gè)語(yǔ)義領(lǐng)域到另一個(gè)語(yǔ)義領(lǐng)域相繼的建立等值分?jǐn)?shù)概念,從運(yùn)算與實(shí)物具有明顯聯(lián)系的語(yǔ)義領(lǐng)域發(fā)展到聯(lián)系不明顯的語(yǔ)義領(lǐng)域。隨著兒童接觸到越來(lái)越不同的內(nèi)容和表征方式,他們的等值概念脫離特殊化,變得越來(lái)越抽象和正式。4返回和期待4.1在教學(xué)中繼續(xù)教基于上述分析,可以得知等值分?jǐn)?shù)概念具有復(fù)雜的內(nèi)涵,對(duì)兒童的理解造成一定的困難。對(duì)于其難以理解的原因,研究者進(jìn)行多年的探討,得出兩個(gè)主要的影響因素:個(gè)體的運(yùn)算思維水平和等值分?jǐn)?shù)的語(yǔ)義多樣性。在這兩個(gè)方面,學(xué)者們已經(jīng)取得了一定的系統(tǒng)化結(jié)果,需要從更為具體的層面推進(jìn)下一步的研究。第一,需進(jìn)一步探討從先天性乘法思維到正式概念之間的明確路徑。關(guān)于乘法思維的發(fā)展,大量研究表明學(xué)前兒童甚至嬰兒就具有了直覺性乘法思維。這些研究中既有在連續(xù)量條件下觀測(cè)到兒童對(duì)比例關(guān)系的敏感(Jeong,Levine,&Huttenlocher,2007;Spinillo&Bryant,1991),也有在離散量條件下發(fā)現(xiàn)兒童具有數(shù)量縮放能力(Barth,Baron,Spelke,&Carey,2009;McCrink&Wynn,2007)。一些研究者認(rèn)為,對(duì)物理量乘法轉(zhuǎn)換的先天直覺能夠支持后面的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)(Steffe,1994;Moss&Case,1999),但兒童在實(shí)際學(xué)習(xí)中仍然存在較大困難,這說(shuō)明物理量的直覺推理到有理數(shù)的正式推理之間存在明顯的概念差距。有研究者認(rèn)為,小學(xué)數(shù)學(xué)課程是先進(jìn)行加法教學(xué),使得兒童在小學(xué)初期接受了過多的加法思維訓(xùn)練,而沒有獲得發(fā)展乘法思維的機(jī)會(huì),阻礙后面乘法思維的學(xué)習(xí)(McCrink&Spelke,2010),但在這方面尚未開展嚴(yán)格的實(shí)驗(yàn)研究。對(duì)此,我們可以通過不同教法的對(duì)比實(shí)驗(yàn),來(lái)探討等值分?jǐn)?shù)教學(xué)的更有效途徑。具體來(lái)說(shuō),可以嘗試開展等值分?jǐn)?shù)的早期教學(xué)。學(xué)校一般是在五年級(jí)才進(jìn)行等值分?jǐn)?shù)教學(xué),但一年級(jí)兒童已經(jīng)具有了乘法思維的萌芽和簡(jiǎn)單的守恒觀念,因而可以從小學(xué)低年級(jí)入手,在個(gè)體的非正式知識(shí)基礎(chǔ)上逐步推進(jìn)對(duì)正式概念的學(xué)習(xí)。這與維果斯基的最近發(fā)展區(qū)觀點(diǎn)是一致的,即了解到學(xué)生的實(shí)際發(fā)展水平和潛在發(fā)展水平,并據(jù)此尋找其最近發(fā)展區(qū),把握“教學(xué)最佳期”以引導(dǎo)學(xué)生向著潛在的、最高的水平發(fā)展(Vygotsky,1978)。將非正式知識(shí)和教學(xué)結(jié)合起來(lái),這將是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)核心和有挑戰(zhàn)性的部分。目前,國(guó)外已經(jīng)開展了這方面的教學(xué)實(shí)踐。美國(guó)公共廣播電視網(wǎng)(PBS)和IEXCEL學(xué)習(xí)網(wǎng)都為幼兒園到初中各年級(jí)的孩子提供了內(nèi)容豐富的學(xué)習(xí)平臺(tái),在等值分?jǐn)?shù)主題上,一年級(jí)通過圖形來(lái)獲得簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)的非正式知識(shí),二年級(jí)識(shí)別1/2、1/3、1/4的圖形等值形式,三年級(jí)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)數(shù)字線和學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的符號(hào)形式,四年級(jí)學(xué)習(xí)等值分?jǐn)?shù)的符號(hào)形式。第二,在今后的研究中,有必要對(duì)不同語(yǔ)義背景下的結(jié)論進(jìn)行區(qū)分,即分別在部分-整體、測(cè)量、比、商、算子的語(yǔ)義背景下探討兒童的概念發(fā)展水平。以往研究者在考查兒童的等值分?jǐn)?shù)概念發(fā)展時(shí),由于采用不同意義的實(shí)驗(yàn)材料,往往得到不一致的結(jié)論。有的研究者采用部分-整體意義的面積圖形,發(fā)現(xiàn)幼兒就能夠做出正確判斷(S