《拋物線復(fù)習(xí)》導(dǎo)學(xué)案

學(xué)案53拋物線導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.掌握拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想.課前準(zhǔn)備區(qū)］ 回扣款材夯宴基礎(chǔ) 自主梳理1.拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（F?l）距離的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的,直線l叫做拋物線的2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(P>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=—2py(P>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的品萌圖形3pTy (頂點(diǎn)0(0,0)對稱軸y=0x=0焦點(diǎn)f(20)F(-p,0)F(0,2)pF(0,-2)離心率e=1準(zhǔn)線方程x--px—2X」x—2Py=-2Py-2范圍x>0,y€Rx<0,y€RyA0,x€Ry<0,x€R開口方向向右向左向上向下自我檢測（2010四川）拋物線y2=8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（ ）A.1B.2C.4D.8x2y2.若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓—+^=1的右焦點(diǎn)重合，則62p的值為（）A.-2B.2 C.-4D.4.（2011陜西）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=—2,則

拋物線的方程是( )A.y2=—8x B.y2=8xC.y2=—4x D.y2=4x4.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Pi(xi,y3P2%,丫2),「3儀3,y3)在拋物線上，且2X2=xl+X3,則有( )|FPi|+|FP2|=|FP3||FPi|2+|FP2|2=|FP3|22|FP2|=|FPi|+|FP3||FP2|2=|FPi||FP3|5.(2011佛山模擬)已知拋物線方程為y2=2px(p>0),過該拋物線焦點(diǎn)F且不與x軸垂直的直線AB交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A、點(diǎn)B分別作AM、BN垂直于拋物線的準(zhǔn)線，分別交準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，那么/MFN必是( )A.銳角 B.直角C.鈍角 D.以上皆有可能課堂活動區(qū)突破考點(diǎn)研析熱點(diǎn)課堂活動區(qū)突破考點(diǎn)研析熱點(diǎn)探究點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用例1已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2),求|PA|十|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).變式遷移1已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2,—1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()i)嗎」C.(1,2) D.(1,-2)探究點(diǎn)二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(2011蕪湖調(diào)研)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上一點(diǎn)M(m,—3)到焦點(diǎn)的距離為5,求m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程.變式遷移2根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)拋物線的焦點(diǎn)F是雙曲線16x2—9y2=144的左頂點(diǎn);⑵過點(diǎn)P(2,-4).探究點(diǎn)三拋物線的幾何性質(zhì)例3過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F的直線和拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，如圖所示.(1)若A,B的縱坐標(biāo)分別為yi,y2,求證：y1y2=-p2;(2)若直線AO與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C,求證：BC//x軸.變式遷移3已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(xi,y)B%, 求證：

(1)XlX2=-；―1 1、,⑵向十|BF|為7￡值.滲透教學(xué)思想分類討論思想的應(yīng)用例(12分)過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過B點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為D,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)N使AO=XOD?多角度審題這是一道探索存在性問題，應(yīng)先假設(shè)存在，設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出直線AB的方程，利用方程組和向量條件求出入【答題模板】xOD.解假設(shè)存在實(shí)數(shù)N使AO=拋物線方程為yxOD.解假設(shè)存在實(shí)數(shù)N使AO=拋物線方程為y2=2px(p>0),則F&0j,準(zhǔn)線l：x=—p,(1)當(dāng)直線AB的斜率不存在，即交點(diǎn)A、B坐標(biāo)不妨設(shè)為：A1P2“一cP :?BDXl,??D、—2，—PL??.AO=[-2,-PjoD=(-2,AB±x,Pl,B—pJ,?,?存在p.上1使AO=?oD.[4(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx-2j(k^0),設(shè)A(x1,y)B(x2,丫2),則D[—p,y2I,xi=2p，x2=2p,」y=kx-Pl 、 、由《V'2)得ky2—2py—kp2=0,?.y1y2=—p2,y2=2px子，[8分]yiAO=(—Xi,—yi)=[—2p，―yibOD=[—P，力)=[—25……值個(gè)]sr22-p入…假設(shè)存在實(shí)數(shù)N使AO=QD,則｛ 2，解得-yi=-pxyi2???存在實(shí)數(shù)上y2,使aO=xod.p綜上所述，存在實(shí)數(shù)入使AO=OD.[12分]【突破思維障礙】由拋物線方程得其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，按斜率存在和不存在討論，由直線方程和拋物線方程組成方程組，研究A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系,求出AO和OD的坐標(biāo)，判斷入是否存在.【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】解答本題易漏掉討論直線AB的斜率不存在的情況，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是對直線的點(diǎn)斜式方程認(rèn)識不足..關(guān)于拋物線的定義要注意點(diǎn)F不在定直線l上，否則軌跡不是拋物線，而是一條直線..關(guān)于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式，這四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別在于：(1)p的幾何意義：參數(shù)p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p恒為正數(shù).(2)方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向..關(guān)于拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握，但由于拋物線的離心率等于1,所以拋物線的焦點(diǎn)弦具有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛.例如：已知過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A（Xi,%）,B（x2,丫2）,則有下列性質(zhì)：|AB|=Xi+X2+p或|AB|2=Sin2L^為AB的傾斜角），yiy2=—p2,XiX2=^等.I課后博司區(qū) 精題精練規(guī)范答題（滿分：75分）一、選擇題（每小題5分，共25分）（2011大綱全國）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線yTOC\o"1-5"\h\z=2x—4與C交于A,B兩點(diǎn)，則cos/AFB等于（ ）A.4 B.35 5D.C.D.另一個(gè)頂點(diǎn)（2011湖北）將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2Px（p>0）上,是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)記為n,則（ ）另一個(gè)頂點(diǎn)A.n=0 B,n=1C.n=2 D.n>3.已知拋物線y2=2px,以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是（）A.相離B.相交C.相切D.不確定TOC\o"1-5"\h\z.（2011泉州月考）已知點(diǎn)A（—2,1）,y2=—4x的焦點(diǎn)是F,P是y2=—4x上的點(diǎn)，為使|PA|十|PF|取得最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A.（-4,1J B.（—2,2/2）f1八 lC.-4,Tj D.（—2,一2亞）5.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若OAAF=—4,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ）A.（2,W2） B.（1,i2）C.（1,2） D.（2,也）二、填空題（每小題4分，共12分）（2011重慶）設(shè)圓C位于拋物線y2=2x與直線x=3所圍成的封閉區(qū)域（包含邊界）內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為.（2011濟(jì)寧期末）已知A、B是拋物線x2=4y上的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（2,2）,則|AB|=.（2010浙江）設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A（0,2）.若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為三、解答題（共38分）（12分）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線截直線y=2x+1所得的弦長為55,求拋物線方程.（12分）（2011韶關(guān)*II擬）已知拋物線C:x2=8y.AB是拋物線C的動弦，且AB過F（0,2）,分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點(diǎn)為Q,證明：AQXBQ.（14分）（2011濟(jì)南用莫擬）已知定點(diǎn)F（0,1）和直線11：y=—1,過定點(diǎn)F與直線11相切的動圓圓心為點(diǎn)C.（1）求動點(diǎn)C的軌跡方程；（2）過點(diǎn)F的直線12交軌跡C于兩點(diǎn)P、Q,交直線11于點(diǎn)R,求RPRQ的最小值.學(xué)案53拋物線自主梳理1.相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線自我檢測CB[因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x=—2,所以2=2,所以p=4,所以拋物線的方程是y2=8x.所以選B.]B4.C5.B課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引 重視定義在解題中的應(yīng)用，靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化， 是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑.解將x=3代入拋物線方程y2=2x,彳導(dǎo)y=zhJ6.???加＞2,「.A在拋物線內(nèi)部.設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l:一x=—1的距離為d,由定義知|PA|+|PF|=|PA|+d,當(dāng)PAU時(shí)，|PA|十d最小，最小值為7，即|PA|十|PF|的最小值為2，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,代入y2=2x,得x=2,???點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2).變式遷移1A[點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，如圖，|PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|,故最小值在S,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)取得,此時(shí)P,Q的縱坐標(biāo)都是一1,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:，一1j]例2解題導(dǎo)引(1)求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知所求曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法.若由已知條件可知所求曲線的動點(diǎn)的軌跡，一般用軌跡法；(2)待定系數(shù)法求拋物線方程時(shí)既要定位(即確定拋物線開口方向)，又要定量(即確定參數(shù)p的值).解題關(guān)鍵是定位，最好結(jié)合圖形確定方程適合哪種形式，避免漏解；(3)解決拋物線相關(guān)問題時(shí)，要善于用定義解題，即把|PF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，這種“化斜為直”的轉(zhuǎn)化方法非常有效，要注意領(lǐng)會和運(yùn)用.解方法一設(shè)拋物線方程為x2=—2py(p>0),則焦點(diǎn)為F0,-2L準(zhǔn)線方程為y=p.?.M(m,—3)在拋物線上,且|MF|=5,lm2=6p, 1?J/2「Cp] 解得1sGIym2+J3+22=5, 、m=如6.「?拋物線方程為x2=-8y,m=i2y6,準(zhǔn)線方程為y=2.方法二如圖所示，設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),則焦點(diǎn)F,-2j,準(zhǔn)線l:y=2,作MNJ垂足為N.則|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+2，.??3+p=5,.?.p=4.「.拋物線方程為x2=—8y,TOC\o"1-5"\h\z準(zhǔn)線方程為y=2.由m2=(—8)X(—3),得m=i2，6.2 2變式遷移2解(1)雙曲線方程化為X—七=1,9 16左頂點(diǎn)為(—3,0),由題意設(shè)拋物線方程為y2=—2px(p>0)且—，=-3,「書=6.「?方程為y2=-12x.(2)由于P(2,—4)在第四象限且對稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)方程為 y2=mx(m>0)或x2=ny(n<0),代入P點(diǎn)坐標(biāo)求得m=8,n=—1,「?所求拋物線方程為y2=8x或x2=—y.例3解題導(dǎo)引解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，拋物線的定義有著廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì).焦點(diǎn)弦有以下重要性質(zhì)(AB為焦點(diǎn)弦，以y2=2px(p>0)為例):2①y〔y2=—p2,MX2=4；②|AB|=x1+x2+p.證明(1)方法一 由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F/。]設(shè)過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(期,%)、(X2,丫2).①當(dāng)斜率存在時(shí)，過焦點(diǎn)的直線方程可設(shè)為, 、p,pp]p'.jy=k,x—2Ly=kj—2J，由12、2,y=2px,消去X,彳導(dǎo)ky2-2py-kp2=0.(*)當(dāng)k=0時(shí)，方程(*)只有一解，「.k?0,由韋達(dá)定理，得y1y2=—p2;②當(dāng)斜率不存在時(shí)，得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為

2，p, p卜一y1y2=—p2.綜合兩種情況，總有必丫2=—P2方法二由拋物線方程可得焦點(diǎn)F：,。"設(shè)直線AB的方程為x=ky+號,并設(shè)A(xi,W),B(x2,凡x=kv+p.則A、B坐標(biāo)滿足《 2消去x,消去x,可得y2=y2=2px,2p^ky+2j,整理，得y2—2pky—p2=0,..丫佻=—p2.(2)直線AC的方程為y=y1x,Xi???點(diǎn)C坐標(biāo)為Jp,-py1iyc=-夢=戶.<2 2xi/JC 2xi 2pxi丁點(diǎn)A(Xi,yi)在拋物線上，y1=2pxi.又由(1)知，y1y2=—p2, yc=y1y22y1=y2,..BC//x軸.yi變式遷移3證明(1)，「y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)嗖，0),設(shè)直線方’pl程為y=k^~2j 0)，,y=kx-p) 0 c由《、2，，消去x,得ky2—2py-kp2=0.、y2=2px. -2 yiy22p2-yiy2=—p,xiX2=4p2=4,這時(shí)x1x2這時(shí)x1x2=4.2因此，MXznjt1成立.1 1 1 1(2)|AF|十|BF|= p+px12x22X1+X2+pX1X2+p(x+X2)+4

又「x1x2=^,代入上式得1 1所以南十麗為7H值.課后練習(xí)區(qū)1 12麗+而=°=常數(shù)，1.D[方法?y=2x—4, [x=1 12麗+而=°=常數(shù)，1.D[方法由19 得f或1ly=4x,ly=-2 ly=4.由兩點(diǎn)間距離公式得|BF|=2,cosZAFB=|BF『十|AF『—|AB由兩點(diǎn)間距離公式得|BF|=2,cosZAFB=|BF『十|AF『—|AB『

2|BF||AF||AF|=5,|AB|=3V5.4+25—45―2X2X5__4=-5-方法二 由方法一得A(4,4),B(1,-2),F(1,0),-fK=(3,4),由=(0,—2),|fX|=^32+42=5,|Ffe|=2.「?cosZAFB=2.C[-5]「?cosZAFB=2.C[-5]|京||由| 5X2如圖所示，A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為日,0),設(shè)A(m,V2pm)(m>0),則由拋物線定義，|AF|=|AA|,即m+]=|AF|.又|AF|=|AB|=2也而，m+,=242Pm,整理,得m2-7pm+^=0,①2p!2「?△=(—7p)2—4Xt=48p2>0,?.?方程①有兩相異實(shí)根，記為m1,m2,且mi+m2=7p>0, m2??mi>0,m2>0,「?n=2.]CA[過P作PK±l(l為拋物線的準(zhǔn)線)于K,則|PF|=|PK|,??.|PA|+|PF|=|PA|+|PK|.???當(dāng)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，|PA|十|PK|最小，此1一?時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,把y=1代入y2=—4x,得x=—4,即當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為[—1,1,時(shí)，|FA|十|PF|最小.]B6-1解析如圖所示，若圓C的半徑取到最大值，需圓與拋物線及直線x=3同時(shí)相切，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)(a<3),則圓的方程為(x—a)2+Y2=(3—a)2,與拋物線方程y2=2x聯(lián)立得x2+(2-2a)x+6a—9=0,由判別式△=(2—2a)2—4(6a—9)=0,得a=4—J6,故此時(shí)半徑為3—(4—*\/6)=[6—1.4也解析由題意可設(shè)AB的方程為v=kx+m,與拋物線方程聯(lián)立得x2-4kx-4m=0,線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),x1+x2=4k=4,得k=1.又「y1+y2=k(x[+x2)+2m=4,??.m=0.從而直線AB:y=x,|AB|=2|OM|=4V2.ft3^24解析拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為由,0j,線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為由，1j代入拋物線方程得1=2pX4,解得p=J2,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為弓2,1L故點(diǎn)b到該拋物線準(zhǔn)線的距離為 *解設(shè)直線和拋物線交于點(diǎn)A(X1,0)，B(X2,討(1)當(dāng)拋物線開口向右時(shí)，設(shè)拋物線方程為 y2=2px(p>0),則y2y2=2Pxly=2x+1,消去y得,4x=16X1X2=-=16X1X2=-1.（10分）所以AQ，BQ.（12分）Xl+X2=XXl+X2=XiX2=4，(4分)P=6(p=—2P=6(p=—2舍去)，y2=—2px(p>0),仿(1)