新高考數(shù)學二輪復習易錯題專練易錯點10 立體幾何（含解析）

易錯點10立體幾何易錯題【01】確定點線面位置關系考慮不全面確定空間中點線面位置關系,熱點是線線、線面位置關系,空間中兩直線位置關系的判定,主要是異面、平行和垂直的判定．對于異面直線,可采用直接法或反證法；對于平行直線,可利用三角形(梯形)中位線的性質、公理4及線面平行與面面平行的性質定理；對于垂直關系,往往利用線面垂直的性質來解決,確定位置關系時要考慮到所有可能,有時也可構造正方體等模型,直觀進行判斷.易錯題【02】判斷或證明線面平行忽略線在面外判斷或證明線面平行,可以利用線面平行的定義；也可以利用線面平行的判定定理,面面平行的性質定理,在利用線面平行的判定定理判斷或證明線面平行時一定要注意條件中是平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行,才能推出平面外的該直線與平面平行,若僅有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,推不出SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,因為b可能在SKIPIF1<0內(nèi).易錯題【03】證明垂直問題推理不嚴謹在利用線面垂直的判定定理判斷或證明線面垂直是要注意是一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直,尤其是“相交”這一條件不可缺少.易錯題【04】利用表面展開圖求多面體表面上的最短距離考慮不全面求多面體表面上的最短距離一般是把多面體表面展開成一個平面,利用平面上兩點之間的最短距離是連接兩點的線段長,但是要注意展開圖的所有可能情況,防止考慮不全面出錯.易錯題【05】誤認為兩平面法向量的夾角就是二面角設n1,n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．所以不要認為向量n1與n2的夾角就是二面角,求解時要結合圖形判斷所求二面角是銳角還是鈍角. 01已知A、B、C、D、E五點中,A、B、C、D共面,B、C、D、E共面,則A、B、C、D、E五點一定共面嗎？【警示】本題錯誤解法是：因為A、B、C、D共面,所以點A在B、C、D所確定的平面內(nèi),因為B、C、D、E共面,所以點E也在B、C、D所確定的平面內(nèi),所以點A、E都在B、C、D所確定的平面內(nèi),即A、B、C、D、E五點一定共面．【問診】錯解忽略了公理2中“不在一條直線上的三點”這個重要條件,實際上B、C、D三點還可能共線．【答案】(1)如果B、C、D三點不共線,則它們確定一個平面α.因為A、B、C、D共面,所以點A在平面α內(nèi),因為B、C、D、E共面,所以點E在平面α內(nèi),所以點A、E都在平面α內(nèi),即A、B、C、D、E五點一定共面．(2)如果B、C、D三點共線于l,若A、E都在l上,則A、B、C、D、E五點一定共面；若A、E中有且只有一個在l上,則A、B、C、D、E五點一定共面；若A、E都不在l上,則A、B、C、D、E五點可能不共面．【叮囑】在確定空間中點、線、面的位置關系時,如果對于條件所給的位置關系考慮不全面,會出現(xiàn)遺漏情況,碰到此類問題要注意特殊情形,如點共線或點共面的情形,線共點的情形等.1.(2021屆陜西省渭南市高三質量檢測)已知SKIPIF1<0是兩條異面直線,直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都垂直,則下列說法正確的是()A．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0C．存在平面SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0 D．存在平面SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0【答案】C【解析】由a,b是兩條異面直線,直線c與a,b都垂直,知：在A中,若c?平面α,則a與α相交、平行或a?α,故A錯誤；在B中,若c⊥平面α,則a,b與平面α平行或a,b在平面α內(nèi),故B錯誤；在C中,由線面垂直的性質得：存在平面α,使得c⊥α,a?α,b∥α,故C正確；在D中,若存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α,則a∥b,與已知a,b是兩條異面直線矛盾,故D錯誤．故選C.2．如圖,在四面體ABCD中,AB=CD,M、N分別是BC、AD的中點,若AB與CD所成角的大小為60°,則MN與CD所成角的大小為()A．30° B．60°C．30°或60° D．15°或60°【答案】C【解析】取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,∵在四面體SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,M、N分別是BC、AD的中點,AB與CD所成角的大小為60°,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角或所成角的補角,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∴MN與CD所成角為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選C． 02如圖,四棱錐P－ABCD中,AD∥BC,AB＝BC＝eq\f(1,2)AD,E,F,H分別為線段AD,PC,CD的中點,AC與BE交于O點,G是線段OF上一點．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.【警示】本題錯誤解法是：證明(1)連接EC,∵AD∥BC,BC＝eq\f(1,2)AD,∴BC=AE,且BC∥AE,∴四邊形ABCE是平行四邊形,∴O為AC的中點．又∵F是PC的中點,∴FO∥AP,∴AP∥平面BEF.(2)連接FH,OH,∵F,H分別是PC,CD的中點,∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中點,H是CD的中點,∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF,∴GH∥平面PAD.【問診】對于(1)由FO∥AP證明AP∥平面BEF,沒有指出FO?平面BEF,AP?平面BEF,對于(2)由FH∥平面PAD.OH∥平面PAD,證明平面OHF∥平面PAD,沒有指出FH∩OH＝H.【答案】(1)連接EC,∵AD∥BC,BC＝eq\f(1,2)AD,∴BC=AE,且BC∥AE,∴四邊形ABCE是平行四邊形,∴O為AC的中點．又∵F是PC的中點,∴FO∥AP,FO?平面BEF,AP?平面BEF,∴AP∥平面BEF.(2)連接FH,OH,∵F,H分別是PC,CD的中點,∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中點,H是CD的中點,∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H,∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF,∴GH∥平面PAD.【叮囑】證明線面平行常用線面平行的判定定理aSKIPIF1<0α,b?α,且a∥b?a∥α．1.(2022屆華大新高考聯(lián)盟高三上學期質量測評)已知兩條不同直線SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0,下列判斷正確的是()A．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0【答案】D【解析】對于選項A：若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可能平行,可能相交,可能異面,故選項A錯誤；對于選項B：若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故選項B錯誤；對于選項C：當SKIPIF1<0時不滿足SKIPIF1<0,故選項C錯誤；綜上,可知選項D正確.故選D.2.(2022屆北京市中央民族大學附屬中學高三12月月考)如圖,梯形ABCD所在的平面與等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面BCE；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值；(3)線段CE上是否存在點G,使得SKIPIF1<0平面BCF？請說明理由.【解析】(1)∵SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形,∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)在平面SKIPIF1<0內(nèi),過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0．∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．如圖建立空間直角坐標系SKIPIF1<0：由題意得,SKIPIF1<0,0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,4,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,2,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0．∴二面角SKIPIF1<0的余弦值SKIPIF1<0．(3)線段SKIPIF1<0上不存在點SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,理由如下：解法一：設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0,∴平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不可能垂直,從而線段SKIPIF1<0上不存在點SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．解法二：線段SKIPIF1<0上不存在點SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,理由如下：假設線段SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,設SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則有SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．∴有SKIPIF1<0,∵上述方程組無解,∴假設不成立．∴線段SKIPIF1<0上不存在點SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0． 03在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中,E、F分別為DD1、DB的中點．求證：EF⊥B1C.【警示】本題錯誤解法是：∵AC⊥BD,又AC⊥D1D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥AC.【問診】推理論證不嚴謹,思路不清晰．【答案】ABCD－A1B1C1D1為正方體?AB⊥面BCC1B1eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB，BC1?平面ABC1D1,AB∩BC1＝B))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?B1C⊥平面ABC1D1,BD1?平面ABC1D1))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?B1C⊥BD1,EF∥BD1))?EF⊥B1C.【叮囑】證明空間線面位置關系的基本思想是轉化與化歸,根據(jù)線面平行、垂直關系的判定和性質,進行相互之間的轉化,證明線線垂直,分析問題時不能只局限在線上,要把相關的線歸結到某個平面上(或是把與這些線平行的直線歸結到某個平面上),通過證明線面的垂直達到證明線線垂直的目的,但證明線面垂直又要借助于線線垂直,在不斷的相互轉化中達到最終目的．解這類問題時要注意推理嚴謹,使用定理時找足條件,書寫規(guī)范等．1．(2021年高考全國甲卷理科)已知直三棱柱SKIPIF1<0中,側面SKIPIF1<0為正方形,SKIPIF1<0,E,F分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中點,D為棱SKIPIF1<0上的點．SKIPIF1<0(1)證明：SKIPIF1<0；(2)當SKIPIF1<0為何值時,面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的二面角的正弦值最小?【解析】因為三棱柱SKIPIF1<0是直三棱柱,所以SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0兩兩垂直．以SKIPIF1<0為坐標原點,分別以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系,如圖．所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．由題設SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)．(1)因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．(2)設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0因為平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,設平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的二面角的平面角為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0取最小值為SKIPIF1<0,此時SKIPIF1<0取最大值為SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0,此時SKIPIF1<0．2.(2022屆廣西玉林市高三11月統(tǒng)考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,PA=AB=2,PB=SKIPIF1<0,∠ABC=60°,且平面PAC⊥平面ABCD.(1)證明：PA⊥平面ABCD；(2)若M是PC上一點,且BM⊥PC,求三棱錐M-BCD的體積.【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形,∴BD⊥AC.∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PACSKIPIF1<0平面ABCD=AC,BDSKIPIF1<0平面ABCD,∴BD⊥平面PAC.∵PASKIPIF1<0平面PAC,所以PA⊥BD.又∵PA=AB=2,PB=SKIPIF1<0,∴PA2+AB2=PB2,得PA⊥AB.又∵AB,BDSKIPIF1<0平面ABCD,ABSKIPIF1<0BD=B,PA⊥平面ABCD.(2)解：由(1)得PA⊥平面ABCD,∵ACSKIPIF1<0平面ABCD,∴PA⊥AC,∴SKIPIF1<0,得ΔPBC為等腰三角形.在△PBC中,由余弦定理得SKIPIF1<0.∵BM⊥PC,∴SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0.得CM=SKIPIF1<0PC,又S△BCD=SKIPIF1<0BC·CDsin120°=SKIPIF1<0,∴三棱錐M-BCD的體積VM-BCD=SKIPIF1<0VP-BCD=SKIPIF1<0S△BCD×PA=SKIPIF1<0. 04長方體的長、寬、高分別為3、2、1,從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0沿長方體的表面的最短距離為________．【警示】本題出錯主要原因是只考慮一種可能【問診】根據(jù)題意,將長方體按照三種不同方式展開,如下圖所示:結合長方體的三種展開圖,求得SKIPIF1<0的長分別是SKIPIF1<0,所以最小值是SKIPIF1<0.【叮囑】求幾何體表面上兩點之間的最短距離一般要把幾何體的側面或表面展開,將問題轉化為平面圖形中的距離問題,但要注意多于多面體來說,其展開方式可能有多種1．在高為SKIPIF1<0的正三棱柱SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0的邊長為2,SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點,若一只螞蟻從點SKIPIF1<0沿表面爬向點SKIPIF1<0,則螞蟻爬行的最短距離為()A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【解析】如圖1,將矩形SKIPIF1<0翻折到與平面SKIPIF1<0共面的位置SKIPIF1<0,此時,爬行的最短距離為SKIPIF1<0；如圖2,將SKIPIF1<0翻折到與平面SKIPIF1<0共面的位置SKIPIF1<0,易知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,此時爬行的最短距離SKIPIF1<0；如圖3,將矩形SKIPIF1<0翻折到與平面SKIPIF1<0共面的位置SKIPIF1<0,此時,爬行的最短距離SKIPIF1<0.綜上,小螞蟻爬行的最短距離為3.故選A.. 05如圖,在四棱錐P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,點E為棱PC的中點．(1)證明：BE⊥DC；(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；(3)若F為棱PC上一點,滿足BF⊥AC,求二面角F－AB－P的余弦值．【警示】本題錯誤解法是：(1)證明依題意,以點A為原點建立空間直角坐標系如圖,可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)．由E為棱PC的中點,得E(1,1,1)．eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0,1,1),eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2,0,0),故eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0,所以BE⊥DC.(2)解eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,2,0),eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0,－2)．設n＝(x,y,z)為平面PBD的一個法向量,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y＝0，,x－2z＝0.))不妨令y＝1,可得n＝(2,1,1)．于是有cos〈n,eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(BE,\s\up6(→)),|n||\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(6)×\r(2))＝eq\f(\r(3),3),所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為SKIPIF1<0.(3)解eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,2,0),eq\o(CP,\s\up6(→))＝(－2,－2,2),eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2,0),eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)．由點F在棱PC上,設eq\o(CF,\s\up6(→))＝λeq\o(CP,\s\up6(→)),0≤λ≤1,故eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋λeq\o(CP,\s\up6(→))＝(1－2λ,2－2λ,2λ)．由BF⊥AC,得eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0,因此,2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0,解得λ＝eq\f(3,4),即eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2),eq\f(1,2),eq\f(3,2))．[9分]設n1＝(x,y,z)為平面FAB的一個法向量,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(BF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(3,2)z＝0.))不妨令z＝1,可得n1＝(0,－3,1)．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0),則cos〈n1,n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq\f(－3,\r(10)×1)＝－eq\f(3\r(10),10).所以二面角F－AB－P的余弦值為－eq\f(3\r(10),10).【問診】忽略二面角為銳角【答案】(1)證明依題意,以點A為原點建立空間直角坐標系如圖,可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)．由E為棱PC的中點,得E(1,1,1)．eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0,1,1),eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2,0,0),故eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0,所以BE⊥DC.(2)解eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,2,0),eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0,－2)．設n＝(x,y,z)為平面PBD的一個法向量,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y＝0，,x－2z＝0.))不妨令y＝1,可得n＝(2,1,1)．于是有cos〈n,eq\o(BE,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(BE,\s\up6(→)),|n||\o(BE,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(6)×\r(2))＝eq\f(\r(3),3),所以,直線BE與平面PBD所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).(3)解eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1,2,0),eq\o(CP,\s\up6(→))＝(－2,－2,2),eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2,0),eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)．由點F在棱PC上,設eq\o(CF,\s\up6(→))＝λeq\o(CP,\s\up6(→)),0≤λ≤1,故eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋λeq\o(CP,\s\up6(→))＝(1－2λ,2－2λ,2λ)．由BF⊥AC,得eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0,因此,2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0,解得λ＝eq\f(3,4),即eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2),eq\f(1,2),eq\f(3,2))．[9分]設n1＝(x,y,z)為平面FAB的一個法向量,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(BF,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(3,2)z＝0.))不妨令z＝1,可得n1＝(0,－3,1)．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0),則cos〈n1,n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq\f(－3,\r(10)×1)＝－eq\f(3\r(10),10).易知,二面角F－AB－P是銳角,所以其余弦值為eq\f(3\r(10),10).【叮囑】利用向量法計算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小．(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大?。?.(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科)如圖,在四棱錐中,,．(1)證明:平面平面;(2)若,,求二面角的余弦值．【解析】(1)由已知,得,由于,故,從而平面又平面,所以平面平面(2)在平面內(nèi)做,垂足為,由(1)可知,平面,故,可得平面．以為坐標原點,的方向為軸正方向,為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系．由(1)及已知可得,,,．所以,,,．設是平面的法向量,則,即,可?。O是平面的法向量,則,即,可?。畡t,因為二面角為鈍角,所以二面角的余弦值為．2.如圖所示的幾何體是由棱臺ABC－A1B1C1和棱錐D－AA1C1C拼接而成的組合體,其底面四邊形ABCD是邊長為2的菱形,且∠BAD=60°,BB1⊥平面ABCD,BB1=B1C1=1.(1)求證：平面AB1C⊥平面BB1D；(2)求二面角A1-BD-C1的余弦值.【解析】(1)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,在菱形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(2)設SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0,以SKIPIF1<0為坐標原點,以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸,以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸,如圖建立空間直角坐標系,SKIPIF1<0軸顯然平行于直SKIPIF1<0,由四邊形ABCD是邊長為2的菱形,且∠BAD=60°,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0,設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0.又由圖可知SKIPIF1<0為銳角,故二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.錯1．(2022屆云南省三校高三聯(lián)考)如圖,在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中,點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的中點,SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一個動點,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,則下列命題中錯誤的是()

A．不存在點SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．平面SKIPIF1<0截該正方體所得截面面積的最大值為SKIPIF1<0D．平面SKIPIF1<0截該正方體所得截面可能是三角形或六邊形【答案】C【解析】如圖,連接SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0異面可知,不存在點SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故A正確；又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以動點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為定值,故三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值,故B正確；如圖,當截面為正六邊形SKIPIF1<0時(其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0都是中點),易得該正六邊形的邊長為SKIPIF1<0,所以其面積為SKIPIF1<0,故C錯誤；截面可能為三角形,也可能為六邊形,故D正確,故選C.2．(2022屆黑龍江省哈爾濱高三上學期期中)已知平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直線l,m,且有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則正確的命題是()A．若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0【答案】A【解析】若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故A正確；若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0不一定垂直SKIPIF1<0,故B錯誤；若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0還有可能相交,故C錯誤；若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0不一定與SKIPIF1<0平行,故D錯誤.故選A.3．(2022屆云南省十五所名校高三11月聯(lián)考)在立體幾何探究課上,老師給每個小組分發(fā)了一個正四面體的實物模型,同學們在探究的過程中得到了一些有趣的結論.已知直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,F是棱BC上一動點,現(xiàn)有下列四個結論：①若M,N分別為棱AC,BD的中點,則直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②在棱BC上存在點F,使AF⊥平面SKIPIF1<0；③當F為棱BC的中點時,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④平面SKIPIF1<0與平面BCD所成銳二面角的正切值為SKIPIF1<0.其中所有正確結論的編號是()A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】D【解析】可將正四面體放在正方體中研究,如圖,平面SKIPIF1<0就是與左右兩個側面平行的平面,SKIPIF1<0是前后兩個側面的中心(對角線交點),直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0或直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,①錯誤.正方體的左、右兩個側面與平面SKIPIF1<0平行,因此,與平面SKIPIF1<0垂直的直線只能是與其四條側棱平行或重合的直線,②錯誤.平面SKIPIF1<0就是平面SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0與側面垂直,得面面垂直,③正確,同樣正方體中易得SKIPIF1<0與對角面SKIPIF1<0垂直,因此SKIPIF1<0是是二面角SKIPIF1<0的平面角,SKIPIF1<0．而平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行,因此④正確.故選D．4．如圖,點A,B,C,M,N為正方體的頂點或所在棱的中點,則下列各圖中,不滿足直線SKIPIF1<0平面ABC的是()A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A,由正方體的性質可得SKIPIF1<0,可得直線SKIPIF1<0平面ABC,能滿足；對于B,作出完整的截面ADBCEF,由正方體的性質可得MNSKIPIF1<0AD,可得直線MNSKIPIF1<0平面ABC,能滿足；對于C,作出完整的截面ABCD,由正方體的性質可得MNSKIPIF1<0BD,可得直線MNSKIPIF1<0平面ABC,能滿足；對于D,作出完整的截面,如下圖ABNMHC,可得MN在平面ABC內(nèi),不能得出平行,不能滿足.故選D.5．如圖,已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2,則下列結論錯誤的是()A．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為異面直線B．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行C．將形狀為正方體SKIPIF1<0的鐵塊磨制成一個球體零件,可能制作的最大零件的表面積為SKIPIF1<0D．若矩形SKIPIF1<0是某圓柱的軸截面(過圓柱的軸的截面叫做圓柱的軸截面),則從SKIPIF1<0點出發(fā)沿該圓柱的側面到相對頂點SKIPIF1<0的最短距離是SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】對于A,直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0既不平行也不相交,是異面直線,A正確；對于B,SKIPIF1<0,而直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0相交,故直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0也相交,B錯誤；對于C,將形狀為正方體SKIPIF1<0的鐵塊磨制成一個球體零件,當球的半徑為棱長一半,即其半徑為1時,球的表面積最大,其表面積最大值SKIPIF1<0,C錯誤；對于D,從SKIPIF1<0點沿圓柱的側面到相對頂點SKIPIF1<0的最短距離即為圓柱側面展開圖一個頂點到對邊中點的距離,即其最短距離SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,D錯誤；故選BCD．6．(2021屆內(nèi)蒙古赤峰市高三大聯(lián)考)正四棱柱SKIPIF1<0的外接球SKIPIF1<0的半徑為2,當該正四棱柱的側面積最大時,一個質點從SKIPIF1<0出發(fā)移動到SKIPIF1<0,則沿正四棱柱表面移動的最短距離與直接穿過球SKIPIF1<0內(nèi)部移動的最短距離的比值是______.【答案】SKIPIF1<0【解析】設球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長為SKIPIF1<0,高為SKIPIF1<0,則球的半徑SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0時取得最大值.沿四棱柱表面移動的最短距離為SKIPIF1<0,直接穿過球SKIPIF1<0內(nèi)部移動的最短距離為SKIPIF1<0,∴沿正四棱柱表面移動的最短距離與直接穿過球SKIPIF1<0內(nèi)部移動的最短距離的比值是SKIPIF1<0.7．(2022屆浙江省杭州市高三上學期月考)如圖,四棱錐SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0是等邊三角形,底面SKIPIF1<0是直角梯形,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點.(1)求證：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0,求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【解析】(1)證明：取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因為底面SKIPIF1<0是直角梯形,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是AD的中點,所以SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0平面PAB,SKIPIF1<0平面PAB,所以SKIPIF1<0平面PAB,又因為SKIPIF1<0是PC的中點,所以SKIPIF1<0是△PBC的中位線,所以SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0平面PAB,SKIPIF1<0平面PAB,所以SKIPIF1<0平面PAB,因為SKIPIF1<0,所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)取AB中點O,連接PO,CO,AC,因為SKIPIF1<0是等邊三角形,所以SKIPIF1<0,∠PBA=60°,又因為底面SKIPIF1<0是直角梯形,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以△ABC是等邊三角形,CO⊥AB,故四邊形AOCD是矩形,所以SKIPIF1<0,由第一問可知,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由余弦定理得,SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴由余弦定理得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0平面ABC,∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,過點P作PH⊥OH,交CO的延長線于點H,則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0,連接GB,GC,其中SKIPIF1<0設SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離設為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.8．(2022屆陜西省寶雞市高三上學期11月質量檢測)如圖,在四棱錐SKIPIF1<0中,底面SKIPIF1<0為菱形,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0,求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【解析】(1)因為底面SKIPIF1<0是菱形,SKIPIF1<0,所以△SKIPIF1<0為等邊三角形,所以SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)據(jù)題意,建立空間直角坐標系如圖所示：因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,設平面SKIPIF1<0一個法向量為SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0一個法向量為SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0,則SKIPIF