5穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù)

3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一個線性控制系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件，就是它必須是穩(wěn)定的?？刂葡到y(tǒng)在實際運行中，不可避免地會受到外界或內(nèi)部的一些擾動因素的影響，從而會使系統(tǒng)各物理量偏離原來的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定，那么隨著時間的推移，系統(tǒng)地各物理量就會恢復到原來的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，即使擾動很微弱，也會使系統(tǒng)中的各物理量隨著時間的推移而發(fā)散，即使系統(tǒng)的擾動消失后，系統(tǒng)也不可能再恢復到原來的工作狀態(tài)。

因此，顯然不穩(wěn)定的控制系統(tǒng)是無法正常工作的。因此，如何分析的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制理論研究的基本任務。

鐘擺的運動

平衡點（狀態(tài)）為A、D，為擾動引起的初始偏差角。對于平衡點A，在擾動消失后，由初始偏差角開始的自由運動隨著時間的推移，擺終究會停止運動并回到平衡點A，所以平衡點A是一個穩(wěn)定的平衡點（狀態(tài)）；對于平衡點D哪怕是由擾動引起的微小偏差角，在擾動消失后，無論經(jīng)過多長的時間，擺都不會再回到原來的平衡點D，所以平衡點D是一個不穩(wěn)定的平衡點（狀態(tài)）。DCBA1.控制系統(tǒng)穩(wěn)定的實例3.5.1系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：特征方程為：則系統(tǒng)的解為：其特征根為：

是方程的一個特解，由輸入u(t)確定。前兩項是相應的齊次方程的通解，其中A,B,

是待定常數(shù)，由初始條件確定。經(jīng)充分長時間以后，系統(tǒng)的解終將進入u(t)的無限小鄰域，即完全由輸入量確定而與初始條件無關。這在工程上認為系統(tǒng)進入了靜態(tài)，對應的特解稱為靜態(tài)解或穩(wěn)態(tài)解，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.平衡狀態(tài)

所謂平衡狀態(tài)從具體的例子中可見實際上就是系統(tǒng)處于“靜止”（不動）的狀態(tài)（點），從數(shù)學的觀點來定義，平衡狀態(tài)是指系統(tǒng)運動微分方程的各階導數(shù)勻為零時的運動狀態(tài)。3.系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的描述穩(wěn)定性描述：線性系統(tǒng)受到擾動的作用而使被控量產(chǎn)生偏差，當擾動消失后，隨著時間的推移，該偏差逐漸減小并趨于零，即被控量回到原來的平衡工作狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。反之，若在擾動的影響下，系統(tǒng)的被控量隨著時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。

通過前面關于系統(tǒng)動態(tài)性能的分析可知，線性系統(tǒng)由擾動作用而使被控量產(chǎn)生偏差，當擾動消失后，偏差能否“消失”，實際上是指系統(tǒng)的暫態(tài)響應（微分方程的齊次解）能否消失，若暫態(tài)響應能消失的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，若暫態(tài)響應不能消失，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定。對于暫態(tài)響應不能消失有2種情況，一種情況是系統(tǒng)的暫態(tài)響應呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)，另外一種情況是系統(tǒng)的暫態(tài)響應呈現(xiàn)等幅振蕩狀態(tài)，對于等幅振蕩情形可以稱為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

結論：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，與系統(tǒng)的輸入信號、初始狀態(tài)均無關，它是系統(tǒng)的固有本質(zhì)屬性，完全取決于系統(tǒng)的結構和參數(shù)。

由于線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入信號形式和初始狀態(tài)無關，因而只需要研究系統(tǒng)無論是“什么”激勵信號產(chǎn)生的暫態(tài)響應，也即系統(tǒng)的自由運動能否隨著時間的推移而消失，因此可以假設系統(tǒng)的初始條件為零，外部激勵為脈沖函數(shù)輸入信號，即研究單位脈沖響應g(t)，隨著時間推移并趨向無窮大時的衰減和發(fā)散情況。這種假設相當于在擾動信號作用下，輸出信號偏離原來的工作狀態(tài)的情形。3.5.2線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件序號脈沖函數(shù)極限值脈沖響應衰減情況穩(wěn)定狀態(tài)1衰減系統(tǒng)穩(wěn)定2發(fā)散系統(tǒng)不穩(wěn)定3或等幅振蕩系統(tǒng)臨界穩(wěn)定若時間時，脈沖響應函數(shù)趨向于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，若發(fā)散則系統(tǒng)不穩(wěn)定，若等于某個定值或趨于等幅振蕩則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)微分方程的特征根全部都是負實數(shù)或?qū)嵅繛樨摰墓曹棌蛿?shù)，也即，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均位于s平面的左半平面。

，當特征根出現(xiàn)正實數(shù)或?qū)嵅繛檎膹蛿?shù)或者說有極點分布于s平面的右半平面時，線性系統(tǒng)為不穩(wěn)定；當特征根出現(xiàn)純虛數(shù)或有極點位于s平面的虛軸時，線性系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。不穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定區(qū)域臨界穩(wěn)定S平面解：閉環(huán)統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，其閉環(huán)極點為

、

，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。[例3]單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

[例1]系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由給定閉環(huán)傳遞函數(shù)可知系統(tǒng)的閉環(huán)極點分別為

、

，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。[例2]已知線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由給定的閉環(huán)特征方程

，可求得特征根為：，，依據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可知系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。假設線性控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：為了表示的方便起見，同時又不失一般性，仍將寫為，于是閉環(huán)特征方程可以表示為：將特征方程寫為因子相乘的形式：將聯(lián)乘展開：方程兩側同時除以，使前面的系數(shù)為1用文字表示為：分析：（1）若所有特征根均為負實數(shù)或?qū)嵅繛樨摰墓曹棌蛿?shù)，則其特征方程的各項系數(shù)均為正值，且特征方程無缺項，這種情況對應于系統(tǒng)是穩(wěn)定的；（2）若特征方程的各項系數(shù)中出現(xiàn)負數(shù)或缺項，則其特征根一定存在正實數(shù)或?qū)嵅繛檎墓曹棌蛿?shù)或一對純虛根，這種情況對應于系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（或至多臨界穩(wěn)定）；

結論：由此可見線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程的所有系數(shù)均為正。但這個條件僅是必要條件，而非充分條件，亦即，在不滿足必要條件時，立即可以判斷系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；但當滿足必要條件時，仍不能保證系統(tǒng)一定穩(wěn)定，還要作進一步的判別。3.5.3代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

設線性系統(tǒng)的特征方程為：

，依照以下的方法構造勞斯表，構造方法如下：二階系統(tǒng)：

，構造勞斯表：勞斯判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是勞斯表第一列的所有元素符號不改變，且符號改變的次數(shù)為特征根位于s右半平面的個數(shù)。[例4]討論二階、三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。由勞斯表并依據(jù)勞斯判據(jù)可知，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：三階系統(tǒng)：

，構造勞斯表：由勞斯表并依據(jù)勞斯判據(jù)可知，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：且

[例5]設閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

，試判別其穩(wěn)定性。解：構造勞斯表

由勞斯表可見，其第一列元素的符號發(fā)生了2次改變，所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，且有2個特征根位于s右半平面。在構造勞斯表的時候，可能會遇到2種特殊的情況，致使勞斯表無法正常構造，為此需要進行相應的數(shù)學處理，具體的方法如下：

第一種特殊情況：勞斯表中第一列某一行出現(xiàn)零元素，其余不全為零。結論：當出現(xiàn)這種情況時，說明系統(tǒng)特征方程式具有正實數(shù)根或純虛根，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定。處理方法：可以用一個小正數(shù)

來代替那個零元素，然后繼續(xù)構造下去，并令

，判別第一列元素符號改變的次數(shù)。[例6]設系統(tǒng)的特征方程為解：構造勞斯表如下，并作特殊處理。由勞斯表可見，其第一列元素的符號改變了2次，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，且具有2個特征根位于S右半平面。第二種特殊情況：勞斯表中出現(xiàn)某一行元素全為零。結論：出現(xiàn)這種特殊情況，說明存在著等值反號的實數(shù)根或成對出現(xiàn)的純虛根或?qū)ΨQ于s平面坐標軸原點的偶數(shù)對共軛復數(shù)根。特征方程存在著大小相等而徑向相反的根。可見系統(tǒng)是不穩(wěn)定的或臨界穩(wěn)定。處理方法：利用全零行上一行的元素及相應的階次構造輔助多項式

，并以

各系數(shù)代替全零行元素，然后繼續(xù)構造勞斯表的其余部分。[例7]設系統(tǒng)的特征方程為解：構造勞斯表如下，并作特殊處理。由于勞斯表第一列元素的符號發(fā)生改變，所以系統(tǒng)必然不穩(wěn)定。解：閉環(huán)特征方程為

由三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件可以得到，當

時該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

[例9]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

，且

，試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時放大倍數(shù)K的取值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：

三階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：

[例8]設單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

，試分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時放大倍數(shù)K的取值范圍。3.5.4代數(shù)判據(jù)的應用利用勞斯判據(jù)可以分析系統(tǒng)中某個參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。[例10]單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

，若要求閉環(huán)特征根均位于S平面