高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版選修2-3學(xué)案1.3第4課時二項式定理的應(yīng)用

1.3二項式定理第四課時二項式定理一、課前準(zhǔn)備1．課時目標(biāo)(1)能利用二項式處理整除問題；(2)能求二項式展開式系數(shù)的最大值；(3)能構(gòu)造求解一些復(fù)雜的二項展開式的系數(shù)和差問題.2．基礎(chǔ)預(yù)探1.當(dāng)?shù)臑榕紨?shù)時，中間的一項二項式系數(shù)取得最大值；當(dāng)為奇數(shù)時，中間的兩項的二項式系數(shù)、相等，且同時取得最大值.2.各二項式系數(shù)和：，，二、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.整除問題解決整除問題可以借助于二項式定理來解決：把一個數(shù)的指數(shù)冪的底數(shù)分解為兩個數(shù)的和或差，利用二項式定理展開，對展開項的數(shù)字特征進(jìn)行分析.如要證明能被64整除，可以將9分解成8+1，從而與64建立聯(lián)系.2.求二項式展開式系數(shù)最大值求展開式中系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第ｒ＋1項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出ｒ的值即可.三、典例導(dǎo)析題型一整除問題例1用二項式定理證明：當(dāng)時，能被64整除.思路導(dǎo)析：首先將化為，然后將9拆為8+1，此時便可用二項式展開后分析與64的關(guān)系.證明：（）.而所以能被64整除.方法規(guī)律：整除問題一般通過分解底數(shù)然后利用二項式定理展開分析展開式與被整除數(shù)的關(guān)系.變式訓(xùn)練：若能被整除，則的值可能為（）A．B．C．D．題型二二項式系數(shù)的最大值例2若展開式中前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求：（1）展開式中所有的有理項.（2）展開式中系數(shù)最大的項思路導(dǎo)析：根據(jù)前三項的系數(shù)關(guān)系，建立關(guān)于n的方程即可求得n的值；利用二項式展開式便可求得有理項；設(shè)第r項為最大項，通過建立不等式組即可求得r的值確定最大項.解：由已知條件知：，解得：；（1），令，則只有當(dāng)時，對應(yīng)的項才為含的有理項，有理項分別為：；（2）記第項系數(shù)為，設(shè)第項系數(shù)最大，則有：，又，所以，即，解得，所以系數(shù)最大項為第三項和第四項方法規(guī)律：求最大項有兩種方法：一種是直接分析法，首先利用二項式系數(shù)在中間兩項或者一項取得最大值，再結(jié)合式子中項的取值正負(fù)分析；第二種是直接建立類似題中的不等式組確定此項.變式訓(xùn)練：在的展開式中,求系數(shù)最大的項.題型三賦值法綜合應(yīng)用例3如果,求的值.思路導(dǎo)析：要得到各項系數(shù)的絕對值的和，關(guān)鍵是把原來的負(fù)項變?yōu)檎?，而原來的正項保持不?分析本題特點(diǎn)，只需將x賦值為1即可.解:設(shè)展開式的通項為,所以r為偶數(shù)時,系數(shù)為正,r為負(fù)數(shù)時,系數(shù)為正,故有令展開式中的時即可得到.方法規(guī)律:本題與要考慮展開式中各項的系數(shù),還要考慮絕對值的作用,即各項系數(shù)的符號問題,考查了特殊化的思想方法.這種方法在解決選擇題中也有很重要的應(yīng)用.變式訓(xùn)練：已知,則的值等于.四、隨堂練習(xí)1.已知展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，則等于（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2.設(shè)二項式展開式第5項是常數(shù)項,那么這個展開式中系數(shù)最大的項是()A.第9項B.第8項C.第9項和第10項D.第8項和第9項3.化簡,得()A.B.C.D.4.已知的展開式中前三項的二項式系數(shù)和等于79,則展開式中系數(shù)最大的項為________.5.如果的展開式中各項系數(shù)的和大于8且小于32,則展開式中系數(shù)最大的項應(yīng)是_______.6.今天是星期一,今天是第一天,那么第天是星期幾?五、課后作業(yè)1.如果的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)的最小值為（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．102.展開式中的系數(shù)的和大于8而小于32，則系數(shù)最大的項是（）ABCD3.對于二項式,有下列4個命題:①展開式中;②展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和為1;③展開式中系數(shù)最大的項是第1002項和1013項;④當(dāng)時,除以2000的余數(shù)是1.其中正確命題的序號是_________.4.已知，則＝_____；5.已知展開式中第2項大于它的相鄰兩項,求x的范圍.6.如果，求的展開式中系數(shù)最大的項.參考答案1.3二項式定理第四課時二項式定理2．基礎(chǔ)預(yù)探1.2.2n2n12n1三、典例導(dǎo)析例1變式訓(xùn)練答案：C解析：,當(dāng)時,能被7整除,故選C.例2變式訓(xùn)練解:設(shè)項系數(shù)最大,則有:又且所以系數(shù)最大的項為:.例3變式訓(xùn)練答案：解析：已知,令，得，令得，所以，則(=－256.四、隨堂練習(xí)1.答案：C解析：令x=1，各項系數(shù)的和為4n，各項二項式系數(shù)的和為2n，由已知得2n=64，所以n=6.2.答案：A解析:因展開式的第5項為,所以有,解得.所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項.3.答案：A解析:原式=.4.答案：解析:因?yàn)榍叭椀亩検较禂?shù)為,解得.所以可得系數(shù)最大的項是中間項.5.答案：解析:由題意可得,所以.故系數(shù)最大的項是第3項為.6.解:所以第天相當(dāng)于第1天,故為星期一.五、課后作業(yè)1.答案：B解析：由于由題意令，得，故當(dāng)時，正整數(shù)的最小值為5，故選Ｂ2.答案：B解析：因?yàn)椋?，所以n=4所以展開式中共有5項，系數(shù)最大的項為3.答案：①④.解析：令x=1可知，此二項式的所有項系數(shù)和為0，令x=0可知，其常數(shù)項為1，故非常數(shù)項和為1，故②錯；本式展開共有2014項，故中間兩項1012和1013項的二項式系數(shù)最大，但1013為負(fù)，不是系數(shù)最大項，故