曲線與方程1(高二數(shù)學(xué))

曲線與方程為什么復(fù)習(xí)回顧:我們研究了直線和圓的方程0,b和斜率為的直線l的方程為_(kāi)___________2在直角坐標(biāo)系中,平分第一、三象限的直線方程是______________a,b,半徑為r的圓C的方程為_(kāi)______________________-y=0點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分線含有關(guān)系：x-y=0xy0（1）上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在上曲線方程坐標(biāo)系中,平分第一、三象限的直線方程是-y=0思考1曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;2以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線定義:1曲線的方程—反映的是圖形所滿足的數(shù)量關(guān)系;方程的曲線—反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形f(x,y)=00xy一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f,y=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:說(shuō)明:2“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解”,闡明曲線上沒(méi)有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說(shuō)曲線上所有的點(diǎn)都符合這個(gè)條件而毫無(wú)例外3“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”,闡明符合條件的所有點(diǎn)都在曲線上而毫無(wú)遺漏由曲線的方程的定義可知:如果曲線C的方程是f,y=0，那么點(diǎn)P00,y0在曲線C上的充要條件是f0,y0=0例1:判斷下列命題是否正確解:1不正確，不具備2，應(yīng)為=3,2不正確,不具備1，應(yīng)為y=±13正確4不正確,不具備2,應(yīng)為=0-3≤y≤01過(guò)點(diǎn)A（3，0）且垂直于軸的直線的方程為︱︱=32到軸距離等于1的點(diǎn)組成的直線方程為y=13到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為︱y︱=14△ABC的頂點(diǎn)A0,-3，B1,0，C-1,0，D為BC中點(diǎn)，則中線AD的方程=0練習(xí)2:下列各題中，下圖各曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？1曲線C為過(guò)點(diǎn)A1，1，B-1，1的折線如圖1其方程為-yy=0;2曲線C是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線其方程為=0;3曲線C是Ⅰ,Ⅱ象限內(nèi)到軸，y軸的距離乘積為1的點(diǎn)集其方程為y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221練習(xí)3:下述方程表示的圖形分別是下圖中的哪一個(gè)？①-=0|x|-|y|=0②③x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCDC練習(xí)4:設(shè)圓M的方程為,直線l的方程為y-3=0,點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,1,那么在直線上，但不在圓上在圓上，但不在直線上；既在圓上，也在直線上既不在圓上，也不在直線上練習(xí)5:已知方程的曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),則m=_____,n=______.由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M所適合條件可表示為：將上式兩邊平方，整理得：2y－7=0①我們證明方程①是線段AB的垂直平分線的方程（1）由求方程的過(guò)程可知，垂直平分線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程①解；（2）設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)（1,y1）是方程①的解，即:2y1－7=01=7－2y1解:設(shè)M,y是線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn),也就是點(diǎn)M屬于集合、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是－1,－1，3,7，求線段AB的垂直平分線的方程分析:利用坐標(biāo)法求曲線方程要先有（或建立）坐標(biāo)系．在具體問(wèn)題中：一種是給定了坐標(biāo)系；另一種是沒(méi)給定坐標(biāo)系，需自己建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．即點(diǎn)M1在線段AB的垂直平分線上由1、2可知方程①是線段AB的垂直平分線的方程點(diǎn)M1到A、B的距離分別是由上面的例子可以看出，求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：說(shuō)明：一般情況下，化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫(xiě)，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說(shuō)明既審查驗(yàn)證特殊情況。另外，也可以省略步（2），直接列出曲線方程1建系設(shè)動(dòng)點(diǎn)：建適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用實(shí)數(shù)對(duì)（,y）表示所求曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)）2列幾何條件:寫(xiě)出適合條件集合|}3坐標(biāo)代換:用坐標(biāo)表示條件,列出方程f,y=0;4化簡(jiǎn):化方程f,y=0為最簡(jiǎn)形式；5證明:說(shuō)明化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，點(diǎn)A到l的距離是2,一條曲線也在l的上方，它上面的每一點(diǎn)到A的距離減去到l的距離的差都是2,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程取直線l為軸,過(guò)點(diǎn)A且垂直于直線l的直線為y軸,建立坐標(biāo)系Oy,解：2列式3）代換4化簡(jiǎn)5）審查1）建系設(shè)點(diǎn)因?yàn)榍€在軸的上方，所以y＞0,所以曲線的方程是設(shè)點(diǎn)M,y是曲線上任意一點(diǎn)，MB⊥軸，垂足是B，通過(guò)上述兩個(gè)例題了解坐標(biāo)法的解題方法，明確建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是求解曲線方程的基礎(chǔ)；同時(shí)，根據(jù)曲線上的點(diǎn)所要適合的條件列出等式，是求曲線方程的重要環(huán)節(jié)，嚴(yán)格按步驟解題是基本能力。（，y）yx0例3以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系.求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程。解：由題意知A（-a，0），B（a，0），分析:求軌跡方程時(shí)，要充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，尋找形成曲線的條件所包含的等量關(guān)系．設(shè)點(diǎn)C（，y）C（，y）B（a，0）A（-a，0）0法1：故三點(diǎn)不共線，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y≠0法2：由A、B、C三點(diǎn)不共線，ABC法3：連結(jié)OCABC：如圖,設(shè)C,yB（a，0）yC（，y）A（-a，0）0分析:利用坐標(biāo)法求曲線方程要先有（或建立）坐標(biāo)系．在具體問(wèn)題中：一種是給定了坐標(biāo)系；另一種是沒(méi)給定坐標(biāo)系，需自己建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．如何建立適當(dāng)坐標(biāo)系呢？￥探索性練習(xí)已知線段AB的長(zhǎng)為6，動(dòng)點(diǎn)P到A，B的距離平方和為26，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程（組第3題）。#建立適當(dāng)坐標(biāo)系的基本原則:（1）定點(diǎn)、定線段常選在坐標(biāo)軸上（2）原點(diǎn)有時(shí)選在定點(diǎn)（3）充分利用對(duì)稱(chēng)性，坐標(biāo)軸可選為對(duì)稱(chēng)軸結(jié)論:

1坐標(biāo)系不同雖曲線形狀一樣其方程卻不同

2要注意選擇幾何圖形與坐標(biāo)系的適當(dāng)相對(duì)位置，以簡(jiǎn)化方程形式．本節(jié)學(xué)習(xí)了一種方法--直接法求曲線方程;求曲線方程時(shí),這五個(gè)步驟不一定要全部實(shí)施如第二步、第五步。注意:1