第九章 重積分(上)

特點(diǎn)：平頂.曲頂柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.１．曲頂柱體的體積第九章重積分

第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)

一、二重積分的概念柱體體積=底面積╳高1播放求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示．2步驟如下：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積3２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量4二重積分的定義5積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素6在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，故二重積分可寫(xiě)為D則面積元素為7二、二重積分的性質(zhì)下面假定f(x,y),g(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),A為D的面積.

性質(zhì)1線性性質(zhì)

8910解11解12解13解14如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分［先y

后x］第二節(jié)二重積分的計(jì)算法15應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得16如果積分區(qū)域?yàn)椋海巯葂后y

］17先y

后x

：

穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).先x后y

：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.18解積分區(qū)域如圖19解設(shè)則20于是，設(shè)將D

向y

軸投影。21解22解23解24解曲面圍成的立體如圖.2526二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分在下述兩種情況下,往往利用極坐標(biāo)來(lái)計(jì)算二重積分：

1)當(dāng)積分區(qū)域D為圓域、環(huán)域或扇形域等時(shí),D的邊界用極坐標(biāo)表示較為簡(jiǎn)單；

2)被積函數(shù)具有等形式時(shí),用極坐標(biāo)積分較為容易.

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

27所以面積元素為28二重積分化為極坐標(biāo)下二次積分的公式區(qū)域特征如圖29解303132解3334解35解3637第三節(jié)三重積分一、三重積分的概念381.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、三重積分的計(jì)算如圖，方法一：“先一后二”法(“穿線”法).

39得次序：先z,次y,后x.4041解424344解45原式46zxy（用極坐標(biāo)計(jì)算）

47zxy48二、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分規(guī)定：49柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖,三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平面．50