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特點：平頂.曲頂柱體體積=？特點：曲頂.１．曲頂柱體的體積第九章重積分

第一節(jié)二重積分的概念與性質

一、二重積分的概念柱體體積=底面積╳高1播放求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．2步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積3２．求平面薄片的質量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質量之和近似等于薄片總質量4二重積分的定義5積分區(qū)域積分和被積函數積分變量被積表達式面積元素6在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為7二、二重積分的性質下面假定f(x,y),g(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),A為D的面積.

性質1線性性質

8910解11解12解13解14如果積分區(qū)域為：其中函數、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標系計算二重積分［先y

后x］第二節(jié)二重積分的計算法15應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得16如果積分區(qū)域為：［先x后y

］17先y

后x

：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.先x后y

：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.18解積分區(qū)域如圖19解設則20于是，設將D

向y

軸投影。21解22解23解24解曲面圍成的立體如圖.2526二、利用極坐標系計算二重積分在下述兩種情況下,往往利用極坐標來計算二重積分：

1)當積分區(qū)域D為圓域、環(huán)域或扇形域等時,D的邊界用極坐標表示較為簡單；

2)被積函數具有等形式時,用極坐標積分較為容易.

直角坐標與極坐標的轉換關系為：

27所以面積元素為28二重積分化為極坐標下二次積分的公式區(qū)域特征如圖29解303132解3334解35解3637第三節(jié)三重積分一、三重積分的概念381.利用直角坐標計算三重積分二、三重積分的計算如圖，方法一：“先一后二”法(“穿線”法).

39得次序：先z,次y,后x.4041解424344解45原式46zxy（用極坐標計算）

47zxy48二、利用柱面坐標計算三重積分規(guī)定：49柱面坐標與直角坐標的關系為如圖,三坐標面分別為圓柱面；半平面；平面．50

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