直線與平面的夾角二面角及其度

323直線與平面的夾角

324二面角及其度量1理解斜線和平面所成角的定義,體會夾角定義的唯一性、合理性2會求直線與平面所成的角3掌握二面角的概念,二面角的平面角的定義,會找一些簡單圖形中的二面角的平面角4掌握求二面角大小的基本方法名師點撥1二面角是圖形,它是由兩個半平面和一條棱構(gòu)成的圖形2符號α-l-β的含義是棱為l,兩個面分別為α,β的二面角3兩個平面相交,構(gòu)成四個二面角【做一做3】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-B1C-A1的平面角的正切值為1⊥α,m2⊥β,則角<m1,m2>與二面角α-l-β相等或互補【做一做4】若二面角的兩個半平面的法向量分別為4,2,0和3,-6,5,則這個二面角的余弦值是解析:4×32×-60×5=0,則二面角的兩個半平面的法向量互相垂直故這個二面角的余弦值是0答案:A1如何理解直線與平面所成的角剖析:1直線與平面斜交時,直線與平面所成的角是指這條直線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角;2直線與一個平面垂直時,直線與平面的夾角為90°;3一條直線與一個平面平行或在平面內(nèi)時,直線與平面的夾角為0°2如何用向量求線面角剖析:設直線l的方向向量為a,平面的法向量為n,直線與平面所成的角為θ,則sinθ=|cos<a,3如何理解二面角的平面角剖析:二面角的平面角必須具備三個條件:1二面角的平面角的頂點在二面角的棱上;2二面角的平面角的兩條邊分別在二面角的兩個面內(nèi);3二面角的平面角的兩條邊都與棱垂直,且平面角的大小與平面角在棱上的位置無關(guān)4如何求二面角剖析:1作出二面角的平面角;2利用法向量的夾角題型一題型二題型三題型四用定義法求直線與平面所成的角分析:解答本題可找出點A在平面內(nèi)射影的位置,作出線面角,然后解三角形求出線面角解:∵OA=OB=OC=a,∠AOB=∠AOC=60°,∴AB=AC=a∵為等腰直角三角形同理,△BOC也為等腰直角三角形如圖,過點A作AH⊥α于點H,連接OH,則OH為AO在平面α內(nèi)的射影,∠AOH為OA與平面α所成的角題型一題型二題型三題型四反思用定義法求直線與平面所成的角時,關(guān)鍵是找到斜線的射影,找射影有兩種方法:1斜線上任一點在平面內(nèi)的射影必在斜線在平面內(nèi)的射影上;2利用已知垂直關(guān)系得出線面垂直,確定射影題型一題型二題型三題型四用向量法求直線與平面所成的角【例2】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=2BC,A1B⊥1所成角的正弦值分析:因為是直三棱柱,所以本題可建立空間直角坐標系,利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角求解題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思利用向量法求斜線與平面的夾角的優(yōu)勢在于不用找角,只需建立適當?shù)淖鴺讼?用待定系數(shù)法求出平面的法向量,再用公式求解即可但要注意法向量的正確性以及線面角與向量夾角的關(guān)系題型一題型二題型三題型四用定義法求二面角的大小【例3】如圖,在四面體ABCD中,AD⊥平面BCD,AD=DC=BC=a,1求證:平面ABC⊥平面ADC;2求二面角C-AB-D的大小分析:1可利用面面垂直的判定定理證明;2利用平面ABC垂直于平面ADC,作出所求二面角的平面角,然后解三角形求角題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四反思所謂定義法,就是作出二面角的平面角,然后通過解三角形求解作出二面角的平面角常用的方法有:1找與二面角的棱垂直的平面與二面角兩半平面的交線;2在二面角的一個面上取一點,利用三垂線定理作平面角;3在二面角的棱上取一點,分別在兩個面內(nèi)作出和棱垂直的射線題型一題型二題型三題型四用向量法求二面角的大小【例4】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A1-BD-