校本課程一《平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用》25張

平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用知識(shí)梳理1向量的夾角：（1）對(duì)于非零向量a，b，過點(diǎn)O作 ＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角.（2）非零向量a與b的夾角的取值范圍是（3）設(shè)非零向量a與b的夾角為θ，若θ＝90°，則a⊥b；若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向2數(shù)量積的概念：（1）數(shù)量積定義：設(shè)非零向量a與b的夾角為θ，則a·b=|a||b|cosθ（2）向量的投影：把|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影（3）數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影的乘積，或等于b的模與a在b方向上的投影的乘積3數(shù)量積的運(yùn)算律：對(duì)于向量a，b和實(shí)數(shù)λ，有（1）交換律：a·b＝b·a；（2）分配律：a＋b·c＝a·c＋b·c；組卷網(wǎng)（3）數(shù)乘結(jié)合律：λa·b＝λa·b＝ a·λb）；（4）自乘律：a2＝|a|24數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)向量a＝1，y1，b＝2，y2，則 a·b＝12＋y1y2拓展延伸的夾角為θ，則當(dāng)0°≤θ＜90°時(shí)，a·b＞0；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)，a·b＜0；當(dāng)θ＝90°時(shí)，a·b＝02.由數(shù)量積可得如下一些結(jié)論:（1）a⊥ba·b＝0（a≠0，b≠0）；（2）夾角公式：；（3）投影公式：；（4）|a·b|≤|a||b|；（5）a＋b2＝a2＋2a·b＋b2， a＋ba－b＝a2－b23數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即 a·b·c≠a·b·c的夾角為鈍角，則a·b＜0，反之不成立考點(diǎn)分析考點(diǎn)1求向量的數(shù)量積例1(07·重慶卷)如圖，在四邊形ABCD中，AB＋BD＋DC＝4，AB·BD＋BD·DC＝4，AB⊥BD，BD⊥DC，求的值.ABCD

例2設(shè)向量c＝λa－4b(λ∈R)，已知|a|＝，|b|＝2，a⊥c，

b·c＝－4，求a·b的值.

例3已知向量a＝(x，x－4)，b＝當(dāng)x∈[－4，2]時(shí)，求a·b的最大值.【解題要點(diǎn)】選擇運(yùn)算形式幾何、字符、坐標(biāo)→選擇數(shù)量積的算法定義法，坐標(biāo)法，方程法考點(diǎn)2求向量的模例4已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求|a＋b|和|3a－4b|例5已知向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，a－b⊥c，a⊥b，|a|＝1，求|b|和|c|例6已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(－sinθ，cosθ)，若求|a＋b|.【解題要點(diǎn)】選擇運(yùn)算形式→在字符運(yùn)算中利用自乘律求?！趲缀芜\(yùn)算中利用線段長(zhǎng)度求?！谧鴺?biāo)運(yùn)算中利用距離公式求?？键c(diǎn)3向量的夾角問題例7已知向量a＝1，2，b＝－2，n若a與b的夾角為45°，c與b同向，且c－a⊥a，求n的值及向量c的坐標(biāo)例8（1）若|a|＝1，|b|＝2，a＋b⊥a則向量a與b的夾角為（2）已知兩單位向量a與b的夾角為120°，設(shè)c＝2a－b，d＝3b－a，則向量c與d的夾角的余弦值為例9已知|a|＝2，|b|＝1，向量a與b的夾角為60°，若向量2ta＋7b與a＋tb的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍

例10已知兩定點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)動(dòng)點(diǎn)P使得，，成等差數(shù)列，求向量與的夾角θ的取值范圍.【解題要點(diǎn)】選擇運(yùn)算形式→利用數(shù)量積除模積求夾角→利用函數(shù)或不等式思想求變量范圍考點(diǎn)一：計(jì)算夾角的大小思考1：如圖，在等腰△ABC中，D、E分別是兩條腰AB、AC的中點(diǎn)，若CD⊥BE，你認(rèn)為∠A的大小是否為定值？ABCDE思考2：設(shè)向量a，b，可以利用哪個(gè)向量原理求∠A的大?。緼BCDEab思考3：以a，b為基底，向量，如何表示？ABCDEab思考4：將CD⊥BE轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算可得什么結(jié)論？

a·b=（a2＋b2）思考5：因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，則|a|=|b|，結(jié)合上述結(jié)論:a·b=(a2＋b2

),cosA等于多少？ABCDEab考點(diǎn)二向量方法在物理中的應(yīng)用例2一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1、F2、F3的作用，沿北偏東45°方向移動(dòng)了8m，已知|F1|＝2N，方向?yàn)楸逼珫|30°，|F2|＝4N，方向?yàn)闁|偏北30°,|F3|＝6N，方向?yàn)槲髌?0°，求這三個(gè)力的合力所做的功F1F2F3東北S考點(diǎn)三。向量位置關(guān)系的分析與轉(zhuǎn)化例3已知e為單位向量，a≠e，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有|a－te|≥|a－e|成立，求證：e⊥a－e

例4設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，試推斷是否存在實(shí)數(shù)m，使對(duì)任意△ABC都有 成立？若存在，求m的值；若不存在，說明理由.【解題要點(diǎn)】將位置關(guān)系與向量運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化→注意數(shù)形結(jié)合→運(yùn)用方程思想考點(diǎn)5向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

例13已知向量a＝，常數(shù)，求的最小值.b＝，，λ為非零例14已知向量a＝cosα，sinα，b＝cosβ，sinβ，其中0＜α＜β＜π，若對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，有|a＋b|＝|a－b|成立，求β－α的值

例15已知△ABC的面積為3，且 ，設(shè)∠BAC＝θ，向量a＝，b＝，若a·b＝3，求θ的值.【解題要點(diǎn)】字符運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算相結(jié)合→將向量語言轉(zhuǎn)化為三角關(guān)系→運(yùn)用三角知識(shí)解決相關(guān)問題考點(diǎn)6向量方法在幾何中的應(yīng)用

例16在等腰△ABC中，D、E分別是兩條腰AB、AC的中點(diǎn)，若CD⊥BE，求cosA的值.ABCDE探究（三）：計(jì)算夾角的大小思考1：如圖，在等腰△ABC中，D、E分別是兩條腰AB、AC的中點(diǎn)，若CD⊥BE，你認(rèn)為∠A的大小是否為定值？ABCDE思考2：設(shè)向量a，b，可以利用哪個(gè)向量原理求∠A的大?。緼BCDEab思考3：以a，b為基底，向量，如何表示？ABCDEab思考4：將CD⊥BE轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算可得什么結(jié)論？

a·b=（a2＋b2）思考5：因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，則|a|=|b|，結(jié)合上述結(jié)論:a·b=(a2＋b2

),cosA等于多少？ABCDEab例17如圖，點(diǎn)D是△ABC中AC邊上一點(diǎn)，且AD＝2DC，∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，點(diǎn)O是△BCD的外心，證明直線AB是圓O的切線ABCDO

例18如圖，過y軸正半軸上一點(diǎn)P作直線l，交拋物線x2＝4y于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線，交直線BQ于點(diǎn)E，求證：

.ABPQxyOE【解題要點(diǎn)】幾何問題向量化→求解向量問題→回歸到幾何問題考點(diǎn)7向量方法在物理中的應(yīng)用

例19一物體受到兩個(gè)向前的力F1、F2的作用，已知水平方向的拉力|F1|＝20N，斜向上的拉力|F2|＝