根及系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理練習(xí)題

-.z......資料....一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題一．選擇題（共14小題）1．下列一元二次方程中，兩根之和為2的是（）A．*2﹣*+2=0B．*2﹣2*+2=0C．*2﹣*﹣2=0D．2*2﹣4*+1=02．小明和小華解同一個(gè)一元二次方程時(shí)，小明看錯(cuò)一次項(xiàng)系數(shù)，解得兩根為2，﹣3，而小華看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，解錯(cuò)兩根為﹣2，5，則原方程為（）A．*2﹣3*+6=0B．*2﹣3*﹣6=0C．*2+3*﹣6=0D．*2+3*+6=03．（2011?錦江區(qū)模擬）若方程*2﹣3*﹣2=0的兩實(shí)根為*1、*2，則（*1+2）（*2+2）的值為（）A．﹣4B．6C．8D．124．（2007?**）若*1，*2是方程*2﹣2*﹣4=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則2*12﹣2*1+*22+3的值是（）A．19B．15C．11D．35．（2006?賀州）已知a，b是一元二次方程*2+4*﹣3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣16．（1997?**）若一元二次方程*2﹣a*﹣2a=0的兩根之和為4a﹣3，則兩根之積為（）A．2B．﹣2C．﹣6或2D．6或﹣27．已知*的方程*2+m*+n=0的一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍．則（）A．3n2=16m2B．3m2=16nC．m=3nD．n=3m28．a(chǎn)、b是方程*2+（m﹣5）*+7=0的兩個(gè)根，則（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365B．245C．210D．1759．在斜邊AB為5的Rt△ABC中，∠C=90°，兩條直角邊a、b是關(guān)于*的方程*2﹣（m﹣1）*+m+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的值為（）A．﹣4B．4C．8或﹣4D．810．設(shè)m、n是方程*2+*﹣2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+2m+n的值為（）A．2008B．2009C．2010D．201111．設(shè)*1、*2是二次方程*2+*﹣3=0的兩個(gè)根，則*13﹣4*22+19的值等于（）A．﹣4B．8C．6D．012．m，n是方程*2﹣2008*+2009=0的兩根，則（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007B．2008C．2009D．201013．已知*1、*2是一元二次方程*2+*﹣1=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（*12﹣*1﹣1）（*22﹣*2﹣1）的值為（）A．0B．4C．﹣1D．﹣414．設(shè)m，n是方程*2﹣*﹣2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+n的值為（）A．1006B．2011C．2012D．2013二．填空題（共5小題）15．若關(guān)于*的方程*2+2m*+m2+3m﹣2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根*1、*2，則*1（*2+*1）+*22的最小值為_(kāi)________．16若關(guān)于*的一元二次方程*2+*﹣3=0的兩根為*1，*2，則2*1+2*2+*1*2=_________．17．已知關(guān)于*的方程*2﹣2a*+a2﹣2a+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根*1，*2，滿(mǎn)足*12+*22=2，則a的值是_________．18．一元二次方程2*2+3*﹣1=0和*2﹣5*+7=0所有實(shí)數(shù)根的和為_(kāi)________．19．已知m、n是關(guān)于*的一元二次方程*2﹣3*+a=0的兩個(gè)解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，則a的值為_(kāi)________．三．解答題（共11小題）20．已知關(guān)于*的一元二次方程*2+（2m﹣3）*+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根α、β滿(mǎn)足，求m的值．21．是否存在實(shí)數(shù)m，使關(guān)于*的方程2*2+m*+5=0的兩實(shí)根的平方的倒數(shù)和等于？若存在，求出m；若不存在，說(shuō)明理由．22．已知關(guān)于*的方程k*2﹣2*+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根*1、*2，則當(dāng)k為何值時(shí)，方程兩根之比為1：3？23．已知斜邊為5的直角三角形的兩條直角邊a、b的長(zhǎng)是方程*2﹣（2m﹣1）*+4（m﹣1）=0的兩個(gè)根，求m的值．24．實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，方程*2+（2k﹣1）*+1+k2=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和最小，并求出這兩個(gè)實(shí)數(shù)根．25．已知關(guān)于*的方程*2+（2k﹣1）*﹣2k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根*1、*2滿(mǎn)足*1﹣*2=2，試求k的值．26．已知*1、*2是方程*2﹣k*+k（k+4）=0的兩個(gè)根，且滿(mǎn)足（*1﹣1）（*2﹣1）=，求k的值．27．關(guān)于*的一元二次方程*2+2*+k+1=0的實(shí)數(shù)解是*1和*2．（1）求k的取值*圍；（2）如果*1+*2﹣*1*2＜﹣1且k為整數(shù)，求k的值．28．已知*1，*2是一元二次方程（a﹣6）*2+2a*+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使﹣*1+*1*2=4+*2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由；（2）求使（*1+1）（*2+1）為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值．29．已知一元二次方程*2﹣2*+m=0．（1）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的*圍；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為*1，*2，且*1+3*2=3，求m的值．30．已知*1、*2是一元二次方程2*2﹣2*+m+1=0的兩個(gè)實(shí)根．（1）**數(shù)m的取值*圍；（2）如果m滿(mǎn)足不等式7+4*1*2＞*12+*22，且m為整數(shù)．求m的值．一元二次方程要與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題參考答案與試題解析一．選擇題（共14小題）1．下列一元二次方程中，兩根之和為2的是（）A．*2﹣*+2=0B．*2﹣2*+2=0C．*2﹣*﹣2=0D．2*2﹣4*+1=0考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．專(zhuān)題：方程思想．分析：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系*1+*2=﹣對(duì)以下選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證并作出正確的選擇．解答：解：A、∵*1+*2=1；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵△=4﹣8=﹣4＜0，所以本方程無(wú)根；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵*1+*2=1；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵*1+*2=2；故本選項(xiàng)正確；故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．解答該題時(shí)，需注意，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是在原方程有實(shí)數(shù)解的情況下成立的．2．小明和小華解同一個(gè)一元二次方程時(shí)，小明看錯(cuò)一次項(xiàng)系數(shù)，解得兩根為2，﹣3，而小華看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，解錯(cuò)兩根為﹣2，5，則原方程為（）A．*2﹣3*+6=0B．*2﹣3*﹣6=0C．*2+3*﹣6=0D．*2+3*+6=0考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．解答：解：小明看錯(cuò)一次項(xiàng)系數(shù)，解得兩根為2，﹣3，兩根之積正確；小華看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，解錯(cuò)兩根為﹣2，5，兩根之和正確，故設(shè)這個(gè)一元二次方程的兩根是α、β，可得：α?β=﹣6，α+β=﹣3，則以α、β為兩根的一元二次方程就是*2﹣3*﹣6=0，故選：B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，若*1、*2是方程a*2+b*+c=0的兩根，則有*1+*2=﹣，*1*2=．3．（2011?錦江區(qū)模擬）若方程*2﹣3*﹣2=0的兩實(shí)根為*1、*2，則（*1+2）（*2+2）的值為（）A．﹣4B．6C．8D．12考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．分析：根據(jù)（*1+2）（*2+2）=*1*2+2*1+2*2+4=*1*2+2（*1+*2）+4，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即兩根的和與積，代入數(shù)值計(jì)算即可．解答：解：∵*1、*2是方程*2﹣3*﹣2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．∴*1+*2=3，*1?*2=﹣2．又∵（*1+2）（*2+2）=*1*2+2*1+2*2+4=*1*2+2（*1+*2）+4．將*1+*2=3、*1?*2=﹣2代入，得（*1+2）（*2+2）=*1*2+2*1+2*2+4=*1*2+2（*1+*2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故選C點(diǎn)評(píng)：將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．4．（2007?**）若*1，*2是方程*2﹣2*﹣4=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式2*12﹣2*1+*22+3的值是（）A．19B．15C．11D．3考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．專(zhuān)題：壓軸題．分析：欲求2*12﹣2*1+*22+3的值，先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可．解答：解：∵*1，*2是方程*2﹣2*﹣4=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴*12﹣2*1=4，*1*2=﹣4，*1+*2=2．∴2*12﹣2*1+*22+3=*12﹣2*1+*12+*22+3=*12﹣2*1+（*1+*2）2﹣2*1*2+3=4+4+8+3=19．故選A．點(diǎn)評(píng)：將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．5．（2006?賀州）已知a，b是一元二次方程*2+4*﹣3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．專(zhuān)題：壓軸題．分析：由a，b是一元二次方程*2+4*﹣3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可以得到如下四個(gè)等式：a2+4a﹣3=0，b2+4b﹣3=0，a+b=﹣4，ab=﹣3；再根據(jù)問(wèn)題的需要，靈活變形．解答：解：把a(bǔ)代入方程可得a2+4a=3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得ab=﹣3．∴a2﹣ab+4a=a2+4a﹣ab=3﹣（﹣3）=6．故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．解此類(lèi)題目要利用解的定義找一個(gè)關(guān)于a、b的相等關(guān)系，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出ab的值，把所求的代數(shù)式化成已知條件的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可．一元二次方程a*2+b*+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：*1+*2=﹣，*1?*2=．6．（1997?**）若一元二次方程*2﹣a*﹣2a=0的兩根之和為4a﹣3，則兩根之積為（）A．2B．﹣2C．﹣6或2D．6或﹣2考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．專(zhuān)題：方程思想．分析：由兩根之和的值建立關(guān)于a的方程，求出a的值后，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求兩根之積．解答：解；由題意知*1+*2=a=4a﹣3，∴a=1，∴*1*2=﹣2a=﹣2．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，在列方程時(shí)要注意各系數(shù)的數(shù)值與正負(fù)，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤．7．已知*的方程*2+m*+n=0的一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍．則（）A．3n2=16m2B．3m2=16nC．m=3nD．n=3m2考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．分析：設(shè)方程的一個(gè)根為a，則另一個(gè)根為3a，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根與m、n之間的關(guān)系，整理即可得到正確的答案；解答：解：∵方程*2+m*+n=0的一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍，∴設(shè)一根為a，則另一根為3a，由根與系數(shù)的關(guān)系，得：a?3a=n，a+3a=﹣m，整理得：3m2=16n，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練記憶根與系數(shù)的關(guān)系，難度不大．8．a(chǎn)、b是方程*2+（m﹣5）*+7=0的兩個(gè)根，則（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365B．245C．210D．175考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：根據(jù)一元二次方程的解的意義，知a、b滿(mǎn)足方程*2+（m﹣5）*+7=0①，又由韋達(dá)定理知a?b=7②；所以，根據(jù)①②來(lái)求代數(shù)式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值，并作出選擇即可．解答：解：∵a、b是方程*2+（m﹣5）*+7=0的兩個(gè)根，∴a、b滿(mǎn)足方程*2+（m﹣5）*+7=0，∴a2+ma+7﹣5a=0，即a2+ma+7=5a；b2+mb+7﹣5b=0，即b2+mb+7=5b；又由韋達(dá)定理，知a?b=7；∴（a2+ma+7）（b2+mb+7）=25a?b=25×7=175．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系．求代數(shù)式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值時(shí)，采用了根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合的解題方法．9．在斜邊AB為5的Rt△ABC中，∠C=90°，兩條直角邊a、b是關(guān)于*的方程*2﹣（m﹣1）*+m+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的值為（）A．﹣4B．4C．8或﹣4D．8考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理．分析：根據(jù)勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③聯(lián)立方程組，即可求得m的值．解答：解：∵斜邊AB為5的Rt△ABC中，∠C=90°，兩條直角邊a、b，∴a2+b2=25，又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，∴（a+b）2﹣2ab=25，①∵a、b是關(guān)于*的方程*2﹣（m﹣1）*+m+4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴a+b=m﹣1，②ab=m+4，③由①②③，解得m=﹣4，或m=8；當(dāng)m=﹣4時(shí)，ab=0，∴a=0或b=0，（不合題意）∴m=8；故選D．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理的應(yīng)用．解答此題時(shí)，需注意作為三角形的兩邊a、b均不為零這一條件．10．設(shè)m、n是方程*2+*﹣2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+2m+n的值為（）A．2008B．2009C．2010D．2011考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：由于m、n是方程*2+*﹣2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，然后把m2+2m+n可以變?yōu)閙2+m+m+n，把前面的值代入即可求出結(jié)果解答：解：∵m、n是方程*2+*﹣2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，∴m2+m=2011，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012﹣1=2011．故選D．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．11．設(shè)*1、*2是二次方程*2+*﹣3=0的兩個(gè)根，則*13﹣4*22+19的值等于（）A．﹣4B．8C．6D．0考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：首先利用根的定義使多項(xiàng)式降次，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入計(jì)算．解答：解：由題意有*12+*1﹣3=0，*22+*2﹣3=0，即*12=3﹣*1，*22=3﹣*2，所以*13﹣4*22+19=*1（3﹣*1）﹣4（3﹣*2）+19=3*1﹣*12+4*2+7=3*1﹣（3﹣*1）+4*2+7=4（*1+*2）+4，又根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知道*1+*2=﹣1，所以原式=4×（﹣1）+4=0．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系和代數(shù)式的化簡(jiǎn)．求出*1、*2的值再代入計(jì)算，則計(jì)算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項(xiàng)式降次，如*12=3﹣*1，*22=3﹣*2．12．m，n是方程*2﹣2008*+2009=0的兩根，則代數(shù)式（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007B．2008C．2009D．2010考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．分析：首先根據(jù)方程的解的定義，得m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，則有m2﹣2007m=m﹣2009，n2﹣2007n=n﹣2009，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得mn=2009，進(jìn)行求解．解答：解：∵m，n是方程*2﹣2008*+2009=0的兩根，∴m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，mn=2009．∴（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）=（m﹣2009+2009）（n﹣2009+2009）=mn=2009．故選C．點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系．13．已知*1、*2是一元二次方程*2+*﹣1=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（*12﹣*1﹣1）（*22﹣*2﹣1）的值為（）A．0B．4C．﹣1D．﹣4考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：根據(jù)一元二次方程的解的定義，將*1、*2分別代入原方程，求得*12=﹣*1+1、*22=﹣*2+1；然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得*1*2=﹣1；最后將其代入所求的代數(shù)式求值即可．解答：解：∵*1、*2是一元二次方程*2+*﹣1=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴*12+*1﹣1=0，即*12=﹣*1+1；*22+*2﹣1=0，即*22=﹣*2+1；又根據(jù)韋達(dá)定理知*1?*2=﹣1∴（*12﹣*1﹣1）（*22﹣*2﹣1）=﹣2*1?（﹣2*2）=4*1?*2=﹣4；故選D．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．14．設(shè)m，n是方程*2﹣*﹣2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+n的值為（）A．1006B．2011C．2012D．2013考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解．分析：利用一元二次方程解的定義，將*=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知m+n=1；最后將m2、m+n的值代入所求的代數(shù)式求值即可．解答：解：∵m，n是方程*2﹣*﹣2012=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m2﹣m﹣2012=0，即m2=m+2012；又由韋達(dá)定理知，m+n=1，∴m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解．正確理解一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）15．（2014?**）若關(guān)于*的方程*2+2m*+m2+3m﹣2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根*1、*2，則*1（*2+*1）+*22的最小值為．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的最值．專(zhuān)題：判別式法．分析：由題意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根據(jù)不等式的最小值計(jì)算即可得到結(jié)論．解答：解：由題意知，方程*2+2m*+m2+3m﹣2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，∴m≤，∵*1（*2+*1）+*22=（*2+*1）2﹣*1*2=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m2﹣m+﹣）+2=3（m﹣）2+；∴當(dāng)m=時(shí)，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值為；故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，考查了一元二次不等式的最值問(wèn)題．總結(jié)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．16．（2013?江陰市一模）若關(guān)于*的一元二次方程*2+*﹣3=0的兩根為*1，*2，則2*1+2*2+*1*2=﹣5．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列式計(jì)算即可求出*1+*2與*1?*2的值，再整體代入即可求解．解答：解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，*1?*2=﹣1，*1+*2=﹣23．則2*1+2*2+*1*2=2（*1+*2）+*1*2=﹣2﹣3=﹣5．故答案為：﹣5．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，在利用根與系數(shù)的關(guān)系*1+*2=﹣、*1?*2=時(shí)，要注意等式中的a、b、c所表示的含義．17．已知關(guān)于*的方程*2﹣2a*+a2﹣2a+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根*1，*2，滿(mǎn)足*12+*22=2，則a的值是1．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．分析：先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)*12+*22=（*1+*2）2﹣2*1*2，即可得到關(guān)于a的方程，求出a的值．解答：解：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知：*1+*2=2a，*1*2=a2﹣2a+2．*12+*22=（*1+*2）2﹣2*1*2=（2a）2﹣2（a2﹣2a+2）=2a2+4a﹣4=2．解a2+2a﹣3=0，得a1=﹣3，a2=1．又方程有兩實(shí)數(shù)根，△≥0即（2a）2﹣4（a2﹣2a+2）≥0．解得a≥1．∴a=﹣3舍去．∴a=1．點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用了根與系數(shù)的關(guān)系得到方程兩根的和與兩根的積，根據(jù)兩根的平方和可以用兩根的和與兩根的積表示，即可把求a的值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程求解的問(wèn)題．18．一元二次方程2*2+3*﹣1=0和*2﹣5*+7=0所有實(shí)數(shù)根的和為﹣．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，兩根之和等于﹣，兩根之積等于，由兩個(gè)一元二次方程分別找出a，b和c的值，計(jì)算出兩根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值．解答：解：由2*2+3*﹣1=0，得到：a=2，b=3，c=﹣1，∵b2﹣4ac=9+8=17＞0，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，設(shè)兩根分別為*1和*2，則*1+*2=﹣；由*2﹣5*+7=0，找出a=1，b=﹣5，c=7，∵b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，∴此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．綜上，兩方程所有的實(shí)數(shù)根的和為﹣．故答案為：﹣點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．學(xué)生必須掌握利用根與系數(shù)關(guān)系的前提是根的判別式大于等于0即方程有實(shí)數(shù)根．19．已知m、n是關(guān)于*的一元二次方程*2﹣3*+a=0的兩個(gè)解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，則a的值為﹣4．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．分析：由m、n是關(guān)于*的一元二次方程*2﹣3*+a=0的兩個(gè)解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整體代入求得a的數(shù)值即可．解答：解：∵m、n是關(guān)于*的一元二次方程*2﹣3*+a=0的兩個(gè)解，∴m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，∴mn﹣（m+n）+1=﹣6即a﹣3+1=﹣6解得a=﹣4．故答案為：﹣4．點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程a*2+b*+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為*1，*2，則*1+*2=﹣，*1?*2=．三．解答題（共11小題）20．（2004?**）已知關(guān)于*的一元二次方程*2+（2m﹣3）*+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根α、β滿(mǎn)足，求m的值．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式．分析：首先根據(jù)根的判別式求出m的取值*圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求得方程的根的和與積，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程，求出m的值并檢驗(yàn)．解答：解：由判別式大于零，得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜．∵即．∴α+β=αβ．又α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2．代入上式得3﹣2m=m2．解之得m1=﹣3，m2=1．∵m2=1＞，故舍去．∴m=﹣3．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系的綜合運(yùn)用．21．（1998?內(nèi)江）是否存在實(shí)數(shù)m，使關(guān)于*的方程2*2+m*+5=0的兩實(shí)根的平方的倒數(shù)和等于？若存在，求出m；若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，兩實(shí)根的平方的倒數(shù)和．即可確定m的取值情況．解答：解：設(shè)原方程的兩根為*1、*2，則有：，∴．又∵，∴m2﹣20=29，解得m=±7，∴△=m2﹣4×2×5=m2﹣40=（±7）2﹣40=9＞0∴存在實(shí)數(shù)±7，使關(guān)于原方程的兩實(shí)根的平方的倒數(shù)和等于．點(diǎn)評(píng)：利用根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式來(lái)解決．容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視所求的m的值是否滿(mǎn)足判別式△．22．已知關(guān)于*的方程k*2﹣2*+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根*1、*2，則當(dāng)k為何值時(shí)，方程兩根之比為1：3？考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系．分析：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，不妨設(shè)*1：*2=1：3，則可得*2=3*1，分別代入兩個(gè)式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行取舍即可．解答：解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，不妨設(shè)*1：*2=1：3，則可得*2=3*1，分別代入上面兩個(gè)式子，消去*1和*2，整理得：4k2﹣k=0，解得k=0或k=，當(dāng)k=0時(shí)，顯然不合題意，當(dāng)k=時(shí)，其判別式△=1≥0，所以當(dāng)k=時(shí)，方程兩根之比為1：3．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于k的方程，注意檢驗(yàn)是否滿(mǎn)足判別式大于0．23．已知斜邊為5的直角三角形的兩條直角邊a、b的長(zhǎng)是方程*2﹣（2m﹣1）*+4（m﹣1）=0的兩個(gè)根，求m的值．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；勾股定理．分析：先利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面兩個(gè)式子代入可得關(guān)于m的方程，解出m的值，再利用一元二次方程根的判別式滿(mǎn)足大于或等于0及實(shí)際問(wèn)題對(duì)所求m的值進(jìn)行取舍即可．解答：解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面兩個(gè)式子代入可得關(guān)于m的方程：（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=25，整理可得：m2﹣3m﹣4=0，解得m=4或m=﹣1，當(dāng)m=4或m=﹣1一元二次方程的判別式都大于0，但當(dāng)m=﹣1時(shí)，ab=﹣8，不合題意（a，b為三角形的邊長(zhǎng)，所以不能為負(fù)數(shù)），所以m=4．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于m的方程進(jìn)行求解，容易忽略實(shí)際問(wèn)題所滿(mǎn)足的條件而導(dǎo)致錯(cuò)誤．24．實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，方程*2+（2k﹣1）*+1+k2=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和最小，并求出這兩個(gè)實(shí)數(shù)根．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．分析：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩實(shí)根的平方和，得到一個(gè)關(guān)于k的二次函數(shù)，求出取得最小值時(shí)k的值，再利用根的判別式進(jìn)行驗(yàn)證．解答：解：設(shè)方程的兩根分別為*1和*2，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：，令y=，則y==（2k﹣1）2﹣2（1+k2）=2k2﹣4k﹣1=2（k﹣1）2﹣3，其為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，當(dāng)k=1時(shí)，有最小值，但當(dāng)k=1時(shí)，一元二次方程的判別式為△=﹣7＜0，所以沒(méi)有滿(mǎn)足△≥0的k的值，所以該題目無(wú)解．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查地一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題時(shí)容易忽略還需要滿(mǎn)足一元二次方程有實(shí)數(shù)根．25．已知關(guān)于*的方程*2+（2k﹣1）*﹣2k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根*1、*2滿(mǎn)足*1﹣*2=2，試求k的值．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；解一元二次方程-配方法；根的判別式．分析：先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求出*1+*2，*1?*2的值，再結(jié)合*1﹣*2=2，可求出k的值，再利用根的判別式，可求出k的取值*圍，從而確定k的值．解答：解：根據(jù)題意得*1+*2=﹣=﹣（2k﹣1），*1?*2==﹣2k，又∵*1﹣*2=2，∴（*1﹣*2）2=22，∴（*1+*2）2﹣4*1*2=4，∴（2k﹣1）2﹣4（﹣2k）=4，∴（2k+1）2=4，∴k1=，k2=﹣，又∵△=（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣2k）=（2k+1）2，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴（2k+1）2＞0，∴k≠﹣，∴k1=，k2=﹣．點(diǎn)評(píng)：一元二次方程的兩個(gè)根*1、*2具有這樣的關(guān)系：*1+*2=﹣，*1?*2=．26．已知*1、*2是方程*2﹣k*+k（k+4）=0的兩個(gè)根，且滿(mǎn)足（*1﹣1）（*2﹣1）=，求k的值．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．分析：（*1﹣1）（*2﹣1）=，即*1*2﹣（*1+*2）+1=，根據(jù)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可以表示出兩個(gè)根的和與積，代入*1*2﹣（*1+*2）+1=，即可得到一個(gè)關(guān)于k的方程，從而求得k的值．解答：解：∵*1+*2=k，*1*2=k（k+4），∵（*1﹣1）（*2﹣1）=，∴*1*2﹣（*1+*2）+1=，∴k（k+4）﹣k+1=，解得k=±3，當(dāng)k=3時(shí)，方程為*2﹣3*+=0，△=9﹣21＜0，不合題意舍去；當(dāng)k=﹣3時(shí)，方程為*2+3*﹣=0，△=9+3＞0，符合題意．故所求k的值為﹣3．點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：*1，*2是一元二次方程a*2+b*+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，*1+*2=，*1*2=．注意運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件是：一元二次方程a*2+b*+c=0的根的判別式△≥0．27．（2011?**）關(guān)于*的一元二次方程*2+2*+k+1=0的實(shí)數(shù)解是*1和*2．（1）求k的取值*圍；（2）如果*1+*2﹣*1*2＜﹣1且k為整數(shù)，求k的值．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式；解一元一次不等式組．專(zhuān)題：代數(shù)綜合題；壓軸題．分析：（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿(mǎn)足△=b2﹣4ac≥0，從而求出實(shí)數(shù)k的取值*圍；（2）先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得*1+*2=﹣2，*1*2=k+1．再代入不等式*1+*2﹣*1*2＜﹣1，即可求得k的取值*圍，然后根據(jù)k為整數(shù)，求出k的值．解答：解：（1）∵方程有實(shí)數(shù)根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，（2分）解得k≤0．故K的取值*圍是k≤0．（4分）（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得*1+*2=﹣2，*1*2=k+1（5分）*1+*2﹣*1*2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．（6分）又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．（7分）∵k為整數(shù)，∴k的值為﹣1和0．（8分）點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．在運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，一定要注意其前提是此方程的判別式△≥0．28．（2012?**）已知*1，*2是一元二次方程（a﹣6）*2+2a*+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使﹣*1+*1*2=4+*2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由；（2）求使（*1+1）（*2+1）為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值．考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式．分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得*1*2=，*1+*2=﹣；根據(jù)一元二次方程的根的判別式求得a的取值*圍；（1）將已知等式變形為*1*2=4+（*2+*1），即=4+，通過(guò)解該關(guān)于a的方程即可求得a的值；（2）根據(jù)限制性條件“（*1+1）（*2+1）為負(fù)整數(shù)”求得a的