2021-2022學(xué)年上海市青浦區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

2021-2022學(xué)年上海市青浦區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案1.下列圖形，一定相似的是（）A.兩個(gè)直角三角形 B.兩個(gè)等腰三角形 C.兩個(gè)等邊三角形 D.兩個(gè)菱形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)一一分析，利用排除法求解．【詳解】解：A.兩個(gè)直角三角形，不一定有銳角相等，故不一定相似；

B.兩個(gè)等腰三角形頂角不一定相等，故不一定相似；C.兩個(gè)等邊三角形，角都是60°，故相似；

D..任意兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵．2.如圖，已知ABCDEF，它們依次交直線、于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F．如果AC：CE=2：3，BD=4，那么BF等于（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可．【詳解】解：∵ABCDEF，∴，∵AC：CE=2：3，BD=4，∴，∴DF=6，∴BF=BD+DF=4+6=10，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、比例性質(zhì)，熟練掌握平行線分線段成比例定理及其應(yīng)用是解答的關(guān)鍵．3.在Rt△ABC中，∠C=90o，那么等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)銳角A的鄰邊a與對(duì)邊b的比叫做∠A的余切，記作cotA．【詳解】解：∵∠C=90°，

∴=，

故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握余切定義．4.如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、BC上，下列條件中一定能判定DEAC的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．根據(jù)平行線分線段成比例定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】A．由，不能得到DE∥BC，故本選項(xiàng)不合題意；B．由，能得到DE∥BC，故本選項(xiàng)符合題意；C．由，不能得到DE∥BC，故本選項(xiàng)不合題意；D．由，不能得到DE∥BC，故本選項(xiàng)不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．5.如果（、均為非零向量），那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.與方向相同【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行向量以及模的定義的知識(shí)求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．詳解】解：A、正確，不符合題意．因?yàn)樗裕籅、正確，不符合題意．因?yàn)椋ň鶠榉橇阆蛄浚?，所以與是方向相反的向量，即∥；C、正確，不符合題意．由可得D、錯(cuò)誤，符合題意．因?yàn)椋ň鶠榉橇阆蛄浚耘c是方向相反的向量，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共線向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．6.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié)EC，交邊AD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由ABCD是平行四邊形，可得AD//BC，且AD=BC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，可以得出正確答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD//BC，且AD=BC，

∴△FAE∽△CBE，

∴(相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例)，

即

故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)平行找出相似三角形，是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共12題，每小題4分，滿分48分）[請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置]7.已知線段b是線段a、c的比例中項(xiàng)，且a=1，b=3，那么c=______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)線段比例中項(xiàng)概念可得b2＝ac，然后求出b的值即可．【詳解】解：∵線段b是線段a、c的比例中項(xiàng)，即a：b＝b：c，b=3∴b2＝ac，即ac=9，∵a=1∴c=9故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．8.計(jì)算：=______．【答案】##【解析】【分析】先去括號(hào)，然后計(jì)算加減法．【詳解】解：原式=，，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，平面向量的運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則相同．9.如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2：3，那么它們的對(duì)應(yīng)高的比為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比可求得其相似比，再根據(jù)對(duì)應(yīng)高線的比等于相似比可得到答案．【詳解】∵兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為，∴兩個(gè)相似三角形的相似比為，∴對(duì)應(yīng)高線的比為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長(zhǎng)比、對(duì)應(yīng)高線比等于相似比是解題的關(guān)鍵．10.二次函數(shù)的圖像有最______點(diǎn)．（填“高”或“低”）【答案】高【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口即可解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)∴二次函數(shù)圖象開口向下∴二次函數(shù)的圖像有最高點(diǎn)．故答案是高．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)a＞0，函數(shù)圖象開口方向向上，函數(shù)圖象開口方向向下．11.將拋物線向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：將拋物線y＝x2向下平移2個(gè)單位后所得新拋物線的表達(dá)式為y＝x2-2．故答案是：y＝x2-2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答本題的關(guān)鍵．12.如果拋物線（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）在對(duì)稱軸左側(cè)的部分是下降的，那么a______0．（填“＜”或“＞”）【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c在對(duì)稱軸左側(cè)的部分是下降的，即可得到答案．【詳解】解：∵y=ax2+bx+c在對(duì)稱軸左側(cè)的部分是下降的，

∴函數(shù)圖象的開口向上，

∴a＞0，

故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．13.在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=______．【答案】【解析】【分析】利用正切的定義求解．【詳解】解：∵∠C=90°，∴tan∠A==2，∴BC=2AC=2×3=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C=90°．銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．14.如圖，已知△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為3，G是三角形的重心，那么GA=______．【答案】【解析】【分析】延長(zhǎng)AG交BC于D，根據(jù)重心的概念得到AD⊥BC，BD=DC=BC=，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)重心的概念計(jì)算即可．【詳解】解：延長(zhǎng)AG交BC于D，

∵G是三角形的重心，

∴AD⊥BC，BD=DC=BC=，

由勾股定理得，AD=，

∴GA=AD=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．15.如圖，如果小華沿坡度為的坡面由A到B行走了8米，那么他實(shí)際上升的高度為______米．【答案】【解析】【分析】根據(jù)坡度的概念（把坡面的垂直高度h和水平方向的距離l的比叫做坡度）求出∠A，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解:∵i=1:，∴tanA=，∴∠A=30°，∴上升的高度=AB=4（米）.故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、坡度坡角的概念是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、O都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠AOB的值為______．【答案】【解析】【分析】如圖，過點(diǎn)B向AO作垂線交點(diǎn)為C，勾股定理求出，的值，求出的長(zhǎng)，求出值即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B向AO作垂線交點(diǎn)為C，O到AB的距離為h∵，，，

∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)值，勾股定理．解題的關(guān)鍵是表示出所需線段長(zhǎng)．17.如圖，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分線CE與邊AD交于點(diǎn)E，∠AEC的角平分線與邊CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，與邊AB交于點(diǎn)F，如果AB=，AF=2BF，那么GB=______．【答案】##【解析】【分析】先說明三角形CDE為等腰直角三角形，并求得其斜邊CE的長(zhǎng)，然后再說明三角形CEG為等腰三角形，最后根據(jù)△EFA∽△BGF得出比例式，結(jié)合DFAF=2BF得出CG與DE的倍數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)BG=BC+CG進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：.∵矩形ABCD中，∠BCD的角平分線CE與AD交于E；∴CD=AB=,∠DCE=∠BCE=45°，∴CD=DE=，∵直角三角形CDE，∴CE=，又∵∠AEC的角平分線EG與AB交于點(diǎn)F，∴∠AEG=∠CEG∵AD//BC∴∠G=∠AEG∴∠CEG=∠G∴CG=CE=6，∵∠G=∠AEF，∠AFE=∠BFG，∴△AEF∽△BGF∴設(shè)BG=x，AE=2x，則BC=AD=+2x.∵CG=BC+BG∴6=+2x+x，解得x=.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)，證得三角形CEG為等腰三角形成為解答本題的關(guān)鍵.18.如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，將它繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，與x軸相交于點(diǎn)C，我們將圖像過點(diǎn)A，B，C的二次函數(shù)叫做與這個(gè)一次函數(shù)關(guān)聯(lián)的二次函數(shù)．如果一次函數(shù)的關(guān)聯(lián)二次函數(shù)是（），那么這個(gè)一次函數(shù)的解析式為______．【答案】【解析】【分析】由題意可知二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，k），（1，0），（-k，0），將其代入拋物線（）即可得m、k的二元一次方程組，即可解出，故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為．【詳解】一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為（0，k），與x軸的交點(diǎn)為（1，0）繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，與x軸的交點(diǎn)為（-k，0）即（0，k），（1，0），（-k，0）過拋物線（）即得將代入有整理得解得k=3或k=-1（舍）將k=3代入得故方程組解為則一次函數(shù)的解析式為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，解二元一次方程組，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖象得出拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）[請(qǐng)將解題過程填入答題紙的相應(yīng)位置]19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】先進(jìn)行絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，代入特殊角的三角函數(shù)值運(yùn)算，然后合并．【詳解】解：原式=，=，=【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．20.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，CE、BD相交于點(diǎn)F，BF=3DF．（1）求AE：ED的值；（2）如果，，試用、表示向量．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD//BC，AD=BC，再利用平行線分線段成比例定理解答即可；（2）利用平面向量的三角形法則進(jìn)行計(jì)算即可.【小問1詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AD=BC．∴．∵BF=3DF，∴．∴．∴，即AE：ED=2．【小問2詳解】解：∵AE：ED=2：1，∴．∵，∴．∵，∴．∵AD//BC，∴．∵BF=3DF，∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面向量等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．21.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AD，AB=AD，BD=4，．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)C到直線AB的距離．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)過點(diǎn)A作AH⊥BD，垂足為點(diǎn)H．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出DH,再根據(jù),求出AH,利用勾股定理即可求出AB；(2)過點(diǎn)C作CG⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)即可求出答案．【詳解】解：（1）∵過點(diǎn)A作AH⊥BD，垂足為點(diǎn)H．∵AB=AD，∴BH=HD=BD=2．∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD．∵BD=4，∴CD=4．∴HC=HD+CD=6．∵，∴，∴．∵，∴．（2）過點(diǎn)C作CG⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．∵，∴．∴．∴點(diǎn)C到直線AB的距離為【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),勾股定理以及銳角的三角比,熟練掌握銳角的三角比是解題的關(guān)鍵．22.如圖，某校的實(shí)驗(yàn)樓對(duì)面是一幢教學(xué)樓，小張?jiān)趯?shí)驗(yàn)樓的窗口C（ACBD）處測(cè)得教學(xué)樓頂部D的仰角為27°，教學(xué)樓底部B的俯角為13°，量得實(shí)驗(yàn)樓與教學(xué)樓之間的距離AB=20米．求教學(xué)樓BD（BD⊥AB）的高度．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【答案】教學(xué)樓BD的高度約為14.8米．【解析】【分析】由題意過點(diǎn)C作CH⊥BD，垂足為點(diǎn)H，進(jìn)而依據(jù)和以及BD=HD+HB進(jìn)行分析計(jì)算即可得出答案.【詳解】解：過點(diǎn)C作CH⊥BD，垂足為點(diǎn)H，由題意，得∠DCH=27°，∠HCB=13°，AB=CH=20（米），在Rt△DHC中，∵，∴，在Rt△HCB中，∵，∴，∴BD=HD+HB10.2+4.6=14.8（米）．答：教學(xué)樓BD的高度約為14.8米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．23.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)E，∠ABD=∠CBD，．（1）求證：△AEB∽△DEC；（2）求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）先證明△DCB∽△DEC，推出∠DCE=∠DBC，再推出∠DCE=∠ABD，即可證明△AEB∽△DEC；（2）先證明△AED∽△BEC，推出∠ADE=∠BCE，再證明△BDA∽△BCE，即可得到結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵，∴，又∵∠CDE=∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴∠DCE=∠DBC，∵∠ABD=∠DBC，∴∠DCE=∠ABD，又∵∠AEB=∠DEC，∴△AEB∽△DEC；【小問2詳解】∵△AEB∽△DEC，∴，又∵∠AED=∠BEC，∴△AED∽△BEC，∴∠ADE=∠BCE，又∵∠ABD=∠DBC，∴△BDA∽△BCE，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)BC、BD，求∠CBD的正切值；（3）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BDP與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）（2）（3）（-3，0）或（-，0）【解析】【分析】（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)求出b，c的值即可求函數(shù)表達(dá)式；再令x=0，求出y從而求出C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，再求證△BCD為直角三角形，再根據(jù)正切的定義即可求出；（3）分兩種情況分別進(jìn)行討論即可．【小問1詳解】解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入，得解得：所以，．當(dāng)x=0時(shí)，．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）．【小問2詳解】解：連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，∵，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）．∵B（3，0）、C（0，-3）、D（1，-4），E（0，-4），∴OB=OC=3，CE=DE=1，∴BC=，DC=，BD=．∴．∴∠BCD=90°．∴tan∠CBD=．【小問3詳解】解：∵tan∠ACO=，∴∠ACO=∠CBD．∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=45°．∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC．即：∠ACB=∠DBO．∴當(dāng)△BDP與△ABC相似時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)．（i）當(dāng)時(shí)，∴．∴BP=6．∴P（-3，0）．（ii）當(dāng)時(shí)，∴．∴BP=．∴P（-，0）．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）或（-，0）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．25.在四邊形ABCD中，ADBC，AB=，AD=2，DC=，tan∠ABC=2（如圖）．點(diǎn)E是射線AD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE、EF，且∠B