第57講立體幾何中翻折問題（微專題）

第57講立體幾何中翻折問題（微專題）一、題型選講題型一、展開問題例1、（2022·廣東佛山·高三期末）長方體中，，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于F，則四邊形的周長的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將幾何體展開，利用兩點(diǎn)之間直線段最短即可求得截面最短周長．【詳解】解：將長方體展開，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)時(shí)，截面四邊形的周長最小，最小值為．故選：B．變式1、（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長為的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，，則在該四面體中（）A．B．BE與平面DCE所成角的余弦值為C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為D．四面體ABCD的外接球表面積為【答案】ACD【分析】幾何體內(nèi)各相關(guān)線段的計(jì)算即可.【詳解】由題意得，展開圖拼成的幾何體如下圖所示，，，取AB中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N，MN中點(diǎn)O，連MN、OA，過O作于H，則OH是內(nèi)切球的半徑，OA是外接球的半徑.所以，對(duì)于A：，，，故平面ABN，而平面ABN，所以，故A正確；對(duì)于B：由于平面ACD，故平面ABN平面ACD，故是BE與平面DCE所成角，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：所以外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD變式2、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.【答案】【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.題型二、折疊問題例2、（2022·河北唐山·高三期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E為AB的中點(diǎn)，將沿DE所在的直線翻折，使A與重合，得到四棱錐，則在翻折的過程中（）A． B．存在某個(gè)位置，使得C．存在某個(gè)位置，使得 D．存在某個(gè)位置，使四棱錐的體積為1【答案】AB【分析】過作，垂足為，證得平面，可判定A正確；取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)在平面上的投影在上時(shí)，可判定B正確；連接，由直線與是異面直線，可判定C錯(cuò)誤；求得，結(jié)合體積公式求可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，如圖所示，過作，垂足為，延長交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以A正確；對(duì)于B中，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)在平面上的投影在上時(shí)，此時(shí)平面，從而得到，所以B正確；對(duì)于C中，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以直線與是異面直線，所以不存在某個(gè)位置，使得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，解得，由作，可得，即此時(shí)四棱錐的高，此時(shí)，所以不存在某個(gè)位置，使四棱錐的體積為1，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.變式1、（2022·江蘇宿遷·高三期末）如圖，一張長?寬分別為的矩形紙，，分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，則（）A．在該多面體中，B．該多面體是三棱錐C．在該多面體中，平面平面D．該多面體的體積為【答案】BCD【分析】利用圖形翻折，結(jié)合勾股定理，確定該多面體是以為頂點(diǎn)的三棱錐，利用線面垂直，判定面面垂直，以及棱錐的體積公式即可得出結(jié)論．【詳解】由于長、寬分別為，1，分別是其四條邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，所以該多面體是以為頂點(diǎn)的三棱錐，故B正確；，，，故A不正確；由于，所以，，可得平面，則三棱錐的體積為，故D正確；因?yàn)?，，所以平面，又平面，可得平面平面，故C正確.故選：BCD變式2、（2022·江蘇海安·高三期末）如圖，ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4dm．現(xiàn)將△BCD沿BD折起，成為二面角A－BD－C是90°的加熱零件，則AC間的距離是________dm；為了安全，把該零件放進(jìn)一個(gè)球形防護(hù)罩，則球形防護(hù)罩的表面積的最小值是________dm2．（所有器件厚度忽略不計(jì)）【答案】4【分析】設(shè)E為BD的中點(diǎn)，由題可得AE⊥平面BCD，進(jìn)而可求，再結(jié)合條件可得△DAB的中心為棱錐的外接球的球心，即求.【詳解】∵ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4dm．∴△DAB為等邊三角形，，設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接AE，CE，則AE⊥BD，又二面角A－BD－C是90°，∴AE⊥平面BCD，CE平面BCD，∴AE⊥CE，又CE=2dm，，∴，設(shè)△DAB的中心為O，則OE⊥平面BCD，又E為BD的中點(diǎn)，△BCD為直角三角形，∴OB=OC=OD=OA，即O為三棱錐的外接球的球心，又，故球形防護(hù)罩的表面積的最小值為.故答案為：4，.變式3、（2022·河北保定·高三期末）如圖，是邊長為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點(diǎn)與重合，平面平面，則四棱雉外接球的表面積是___________.【答案】【分析】求出四邊形外接圓的圓半徑，再設(shè)四棱錐外接球的球心為，由求出半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】如圖，分別取，的中點(diǎn)，，連接，.因?yàn)槭沁呴L為4的等邊三角形，所以，所以，則四邊形外接圓的圓心為，半徑.設(shè)四棱錐外接球的球心為，連接，過點(diǎn)作，垂足為.易證四邊形是矩形，則，.設(shè)四棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，故四棱錐外接球的表面積是.故答案為：題型三、折疊的綜合性問題例3、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在邊長為6的正三角形ABC中M，N分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足，把△AMN沿著MN翻折至A′MN位置，則下列說法中正確的有（）A．在翻折過程中，在邊A′N上存在點(diǎn)P，滿足CP∥平面A′BMB．若，則在翻折過程中的某個(gè)位置，滿足平面A′BC⊥平面BCNMC．若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則四棱錐A′－BCNM的外接球的表面積為61πD．在翻折過程中，四棱錐A′－BCNM體積的最大值為【答案】BCD【分析】通過直線相交來判斷A選項(xiàng)的正確性；通過面面垂直的判定定理判斷B選項(xiàng)的正確性；通過求四棱錐外接球的表面積來判斷C選項(xiàng)的正確性；利用導(dǎo)數(shù)來求得四棱錐體積的最大值.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，過作，交于，則無論點(diǎn)P在A′N上什么位置，都存在CP與BQ相交，折疊后為梯形BCQP，則CP不與平面A′BM平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)分別是的中點(diǎn)，若，則AE＞DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，又因?yàn)镸N⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE＝E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，，所以A′D⊥平面BCNM，所以A′BC⊥平面BCNM，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)分別是的中點(diǎn)，若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則△AMN為正三角形，∠BMN＝120°，∠C＝60°，則BCNM四點(diǎn)共圓，圓心可設(shè)為點(diǎn)G，其半徑設(shè)為r，DB＝DC＝DM＝DN＝3，所以點(diǎn)G即為點(diǎn)D，所以r＝3，二面角A′－MN－B的平面角即為∠A′ED＝120°，過點(diǎn)A′作A′H⊥DE，垂足為點(diǎn)H，EH＝，DH＝，A′H＝，，設(shè)外接球球心為，由，解得R2＝，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝61π，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)分別是的中點(diǎn)，設(shè)是四棱錐的高.S△AMN＝6λ6λ＝9λ2，S△ABC＝66＝9，所以S四邊形BCNM＝9（1－λ2），則VA′－BCNM＝9（1－λ2）h≤3（1－λ2）A′E＝3（1－λ2）3λ＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），可設(shè)f（λ）＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），則＝27（－3λ2＋1），令＝0，解得λ＝，則函數(shù)f（λ）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，所以f（λ）max＝f（）＝6，則四棱錐A′－BCN體積的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD變式1、（2021·山東濱州市·高三二模）已知正方形的邊長為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點(diǎn)始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（）A．四面體的外接球的表面積為B．四面體體積的最大值為C．點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為D．邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為【答案】ACD【解析】對(duì)ABCD各選項(xiàng)逐一分析即可求解.【詳解】解：對(duì)A：，AC中點(diǎn)即為四面體的外接球的球心，AC為球的直徑，，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：當(dāng)平面平面時(shí)，四面體體積的最大，此時(shí)高為，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：設(shè)方形對(duì)角線AC與BD交于O，由題意，翻折后當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，為邊長為的等邊三角形，此時(shí)，所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心為半徑的圓心角為的圓弧，所以點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：結(jié)合C的分析知，邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為以A為頂點(diǎn)，底面圓為以O(shè)為圓心為半徑的圓錐的側(cè)面積的，即所求曲面的面積為，故選項(xiàng)D正確.故選:ACD.變式2、【2022·廣東省深圳市寶安區(qū)第一次調(diào)研10月】如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個(gè)平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.（1）求證：平面平面；（2）過棱作平面交棱于點(diǎn)，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，證明，，即證平面，即證得面面垂直；（2）建立如圖