第二章直線圓方程2 1 1傾斜角與斜率

高中同步測控優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGTONGBUCEKONGYOUHUASHEJI2.1.1傾斜角與斜率第二章2.12023成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念.3.經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.4.掌握傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系.5.體會數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的過程,加強邏輯推理與數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、直線的傾斜角1.在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過一點P(2,2)可以作多少條直線?這些直線區(qū)別在哪里呢?提示:經(jīng)過點P(2,2)可以作無數(shù)條直線l1,l2,l3,…,如下圖所示.區(qū)別是它們的方向不同.2.如何表示這些直線的方向呢?提示:這些直線相對于x軸的傾斜程度不同,也就是它們與x軸所成的角不同.因此,我們可以利用這樣的角來表示這些直線的方向.3.直線的傾斜角

4.如圖所示,直線l的傾斜角為(

)A.45°

B.135°

C.0°

D.不存在解析:由題圖可知,直線l的傾斜角為45°+90°=135°.答案:B二、直線的斜率1.我們知道,兩點確定一條直線,進而它的傾斜角也就確定了.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線l的傾斜角為α,請用向量法回答下列問題:(1)已知直線l經(jīng)過點O(0,0),P(1,1),則傾斜角α與點O,P的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(2)類似地,如果直線l經(jīng)過點P1(1,0),P2(-1,2),那么傾斜角α與點P1,P2的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(3)一般地,如果直線l經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么傾斜角α與點P1,P2的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系?(2)我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即k=tan

α.

(4)在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個角度刻畫了直線相對于x軸的傾斜程度,它們的對應(yīng)關(guān)系如表所示:3.(1)已知點P1(3,5),P2(-1,-3),則直線P1P2的斜率k等于(

)(2)已知直線l的傾斜角α=60°,則其斜率k=

.

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若直線的斜率存在,則必有傾斜角與之對應(yīng).(√)(2)若直線的傾斜角存在,則必有斜率與之對應(yīng).(×)(3)若兩直線的傾斜角相等,則它們的斜率也一定相等.(×)(4)直線的斜率隨傾斜角α的增大而增大.(×)合作探究釋疑解惑探究一求直線的傾斜角【例1】

(1)設(shè)直線l過原點,其傾斜角為α,將直線l繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到直線l1,則直線l1的傾斜角為(

)A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.當(dāng)0°≤α<135°時,傾斜角為α+45°,當(dāng)135°≤α<180°時,傾斜角為α-135°(2)已知直線l1過原點,其傾斜角α1=15°,直線l1與l2的交點為A,且l1與l2向上的方向之間所成的角為75°,則直線l2的傾斜角為

.

分析:對于(1),由于α不確定,需分情況討論;對于(2),畫出圖象,利用圖象求解.解析:(1)因為0°≤α<180°,所以選項A,B,C未分類討論,均不全面,故不正確.根據(jù)題意,畫出大致圖形,如圖所示.當(dāng)0°≤α<135°時,直線l1的傾斜角為α+45°,如圖①所示;當(dāng)135°≤α<180°時,直線l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°,如圖②所示.故選D.(2)設(shè)直線l2的傾斜角為α2(示意圖如圖).由對頂角相等可得,α2=15°+75°=90°,即直線l2的傾斜角為90°.答案:(1)D

(2)90°反思感悟求直線的傾斜角時,往往借助于圖形.結(jié)合圖形求傾斜角時,應(yīng)注意傾斜角的范圍以及平面幾何知識的應(yīng)用.【變式訓(xùn)練1】

已知直線l向上的方向與y軸正向之間所成的角為30°,則直線l的傾斜角為

.

解析:有如下兩種情況:如圖①,直線l向上的方向與x軸正向之間所成的角為60°,即直線l的傾斜角為60°.如圖②,直線l向上的方向與x軸正向之間所成的角為120°,即直線l的傾斜角為120°.答案:60°或120°探究二求直線的斜率【例2】

已知平面直角坐標(biāo)系中三點A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).(1)求直線AB,BC,AC的斜率和傾斜角;(2)若D為△ABC的邊AB上一動點,求直線CD的斜率k的取值范圍.分析:(1)利用斜率公式求斜率,由斜率與傾斜角的關(guān)系求傾斜角;(2)結(jié)合圖形,根據(jù)直線CD斜率的變化情況,確定其范圍.由傾斜角的范圍及正切函數(shù)的單調(diào)性,得直線AB的傾斜角為0°;直線BC的傾斜角為60°;直線AC的傾斜角為30°.(2)如圖,當(dāng)動點D由點A移動到點B時,直線CD的斜率k由kAC增大到kBC,本例條件中,將C點坐標(biāo)改為C,D為線段AB上一動點,求直線CD的斜率k的取值范圍.解:如圖,作CE⊥AB,垂足為E.當(dāng)動點D由點A移動到點E時,直線CD的斜率k>0,且k在增大;當(dāng)動點D在點E時,k不存在;當(dāng)動點D由點E移動到點B時,k<0,且k在增大.反思感悟

當(dāng)已知兩定點坐標(biāo)求過這兩點的直線斜率時,可利用斜率公式求解.應(yīng)用斜率公式時,應(yīng)先判定兩定點的橫坐標(biāo)是否相等.若相等,則直線垂直于x軸,斜率不存在;若不相等,則代入斜率公式求解.【變式訓(xùn)練2】

(1)若經(jīng)過A(2,1),B(1,m2)兩點的直線l的傾斜角為銳角,則m的取值范圍是(

)A.m<1 B.m>-1C.-1<m<1 D.m>1或m<-1(2)經(jīng)過A(4,-1),B(2,-3)兩點的直線的方向向量為(1,k),則k=

.

答案:(1)C

(2)1探究三斜率與傾斜角的應(yīng)用【例3】

已知直線l的傾斜角α=45°,且P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)三點在直線l上,求x2,y1的值.分析:已知直線l的傾斜角可以求出其斜率,且P1,P2,P3三點在直線l上,故直線P1P2,P2P3的斜率均等于直線l的斜率,從而可以解出x2,y1的值.解:∵α=45°,∴直線l的斜率k=tan

45°=1.∵點P1,P2,P3都在直線l上,反思感悟

斜率反映傾斜角不等于90°的直線相對于x軸的傾斜程度,直線上任意兩點所確定的直線的方向不變,即在同一條直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等,這正是可以利用斜率證明三點共線的原因.【變式訓(xùn)練3】

如果A(2,1),B(-2,m),C(6,8)三點在同一條直線上,那么m的值為

.

答案:-6【易錯辨析】

因忽略兩點斜率公式的條件而致誤【典例】

求經(jīng)過A(m,3),B(1,2)兩點的直線的斜率,并指出傾斜角α的取值范圍.所以直線的傾斜角α的取值范圍是90°<α<180°.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:未考慮斜率公式運用的條件,忽略了斜率不存在,即m=1的情況.正解:當(dāng)m=1時,直線的斜率不存在,此時直線的傾斜角α=90°.防范措施

1.斜率公式k=的適用前提條件為x1≠x2,因此若點的坐標(biāo)中含有未知數(shù),在計算直線的斜率時,要保證斜率公式有意義.2.直線的傾斜角α的范圍是[0,π),根據(jù)斜率求傾斜角時,注意結(jié)合正切函數(shù)在區(qū)間[0,π)上的圖象求解.【變式訓(xùn)練】

已知直線l經(jīng)過點P(4,2),Q(2m,1),求直線l的斜率.隨堂練習(xí)1.下圖中α能表示直線l的傾斜角的是(

)A.①

B.①②

C.①③

D.②④解析:結(jié)合直線傾斜角的概念可知選A.答案:A2.在平面直角坐標(biāo)系中,一條直線的斜率為,則此直線的傾斜角為(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°解析:由題意知tan

α=.∵0°≤α