理論力學(xué)習(xí)題選講

習(xí)題選講一個長為pa的輕桿左右兩端各連接一個質(zhì)點，質(zhì)點質(zhì)量分別為2m和m，用手將它的中點放于一個固定的半徑為a的半圓柱體正頂端，再沿圓柱表面純滾動到平衡位置才放手。限制它的運動在垂直平面內(nèi)且只做純滾動（靜摩擦力足夠大）。問：（1）平衡時，它與水平面的夾角為多少？（2）平衡點處它受小擾動后做小振動，其周期是什么？2mam解答（1）平衡時,力臂之比為1:2,支點距中點(pa)/6，轉(zhuǎn)過角度為p/6?；驈馁|(zhì)心平衡在支點，同樣得。從勢能最小得

解答（2）因轉(zhuǎn)動瞬心在支點，故

解答（2）或?qū)菽茏?階泰勒展開，如圖是一個單缸發(fā)動機模型，長為的連桿與活塞連接于T點，與半徑為繞固定軸Q轉(zhuǎn)動的圓盤相連于S點。連接以鉸鏈或軸承實現(xiàn)?；钊鶑?fù)運動于TQ連線上。當(dāng)∠SQT=60°時：（1）已知圓盤以勻角速度w順時針轉(zhuǎn)動，求此時活塞的速率。（2）若活塞受力為F，給出圓盤此時通過其上的齒輪輸出的力矩（忽略所有物件的質(zhì)量）。TQS解答（1）從幾何約束關(guān)系：解答或從幾何得到此時x=3。對時間求導(dǎo)，代入已知值，得。或如圖找到轉(zhuǎn)動瞬心P，使PT垂直于TQ（T運動方向），且在直線QS上（因S速度與QS垂直），則PS=PQ-QS=2*TQ-a=5a，則VT/PT=VS/PS，315QSTP解答（2）因是理想約束，故力矩為質(zhì)量均為m的兩質(zhì)點用長為a的輕桿連接，并靜止地置于光滑水平面上。另有單獨的質(zhì)點質(zhì)量也為m，從與桿垂直的方向以初速度v0與桿上一質(zhì)點發(fā)生對心的完全彈性碰撞。（1）求碰撞后單獨質(zhì)點的運動速度。（2）求碰撞后桿的中心平動速度和桿的轉(zhuǎn)動角速度。（3）輕桿運動的空間極跡和本體極跡分別是什么？。解答相同質(zhì)量的質(zhì)點間的對心彈性碰撞，其速度交換。（1）碰撞后單獨質(zhì)點的速度為0。（2）桿心平動速度為v0/2，轉(zhuǎn)動角速度為v0/a。（3）空間極跡為直線，過靜止時輕桿的另一端，與單獨質(zhì)點初始速度方向平行。本體極跡為以輕桿為直徑的圓。一個管子以恒定角速度w在水平面上繞一固定軸旋轉(zhuǎn)。管子內(nèi)有一個彈簧，彈性系數(shù)為k,原長可以忽略，其一端固定于軸上，另一端連接質(zhì)點m，若管壁光滑，（1）寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L。（2）給出系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)H，此時哈密頓函數(shù)是否等于系統(tǒng)的動能加上勢能？(3）請給出用什么母函數(shù)做正則變換可使系統(tǒng)函數(shù)H變?yōu)?？解答

（1）（2）（3）質(zhì)量為m的勻質(zhì)正方體邊長2a，其下底面中心軸線處有長為2a的輕細柄。正方體和柄組成的剛體以柄下端O為定點做轉(zhuǎn)動?？臻g坐標(biāo)系原點為O點，z軸豎直向上，本體坐標(biāo)z軸是沿柄方向。轉(zhuǎn)動時歐拉角q為30°,進動角速度為w0，自轉(zhuǎn)角速度為，均為恒定值。求（1）剛體的總角速率。（2）剛體在j=0時的角動量。（3）若剛體轉(zhuǎn)