幾種統(tǒng)計(jì)分析模型介紹

幾種統(tǒng)計(jì)分析模型介紹福建省國家調(diào)查隊(duì)系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)建模培訓(xùn)主講人：張業(yè)圳2009年6月8日張業(yè)圳福建師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院副教授、博士、財(cái)金系副主任主要教學(xué)研究方向：數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)與金融實(shí)證分析聯(lián)系電話：8736908713609525129Email:zhangyz1971@126.comQQ:107345901地址：福建師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院郵編：350108經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)分析統(tǒng)計(jì)學(xué)研究如何測定、收集、整理、歸納和分析反映客觀現(xiàn)象總體數(shù)量的數(shù)據(jù)，以便給出正確認(rèn)識的方法論科學(xué)。

經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)分析就是用統(tǒng)計(jì)方法來分析經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象數(shù)量特征和經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系。主要的工作有：1）分析經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中變量之間相互關(guān)系2）經(jīng)濟(jì)預(yù)測3）政策評價什么是經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)分析模型模型對現(xiàn)實(shí)的描述和模擬。用不同方法對現(xiàn)實(shí)進(jìn)行描述和模擬，就構(gòu)成不同的模型。語義模型、物理模型、幾何模型、數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬模型。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型：用數(shù)學(xué)方法描述經(jīng)濟(jì)活動。采用的數(shù)學(xué)方法不同，對經(jīng)濟(jì)活動提示的程度不同，構(gòu)成各類不同的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型。數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

本次培訓(xùn)主要模型1、聚類分析2、回歸分析3）因子分析和主成分分析4）時間序列分析第一部分：預(yù)備知識樣本與統(tǒng)計(jì)量總體與樣本

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對象的全體稱為總體（population)或母體，而把組成總體的每個單元稱為個體。抽樣

要了解總體的分布規(guī)律，在統(tǒng)計(jì)分析工作中，往往是從總體中抽取一部分個體進(jìn)行觀測，這個過程稱為抽樣。樣本與統(tǒng)計(jì)量子樣

子樣是n個隨機(jī)變量，抽取之后的觀測數(shù)據(jù)稱為樣本值或子樣觀察值。在抽取過程中，每抽取一個個體，就是對總體X進(jìn)行一次隨機(jī)試驗(yàn)，每次抽取的n個個體，稱為總體X的一個容量為n的樣本（sample）或子樣；其中樣本中所包含的個體數(shù)量稱為樣本容量。隨機(jī)抽樣方法的基本要求獨(dú)立性——即每次抽樣的結(jié)果既不影響其余各次抽樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響。滿足上述兩點(diǎn)要求的子樣稱為簡單隨機(jī)子樣.獲得簡單隨機(jī)子樣的抽樣方法叫簡單隨機(jī)抽樣.代表性——即子樣()的每個分量與總體具有相同的概率分布。從簡單隨機(jī)子樣的含義可知，樣本是來自總體、與總體具有相同分布的隨機(jī)變量.簡單隨機(jī)抽樣

例如：要通過隨機(jī)抽樣了解一批產(chǎn)品的次品率，如果每次抽取一件產(chǎn)品觀測后放回原來的總量中，則這是一個簡單隨機(jī)抽樣。但實(shí)際抽樣中，往往是不再放回產(chǎn)品，則這不是一個簡單隨機(jī)抽樣。但當(dāng)總量N很大時，可近似看成是簡單隨機(jī)抽樣。

例如：為了分析福建省居民家庭收入狀況，對福建省居民家庭收入進(jìn)行調(diào)查。統(tǒng)計(jì)量

定義設(shè)（）為總體X的一個樣本，為不含任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，則稱為樣本（）的一個統(tǒng)計(jì)量。則例如：設(shè)是從正態(tài)總體中抽取的一個樣本，其中為已知參數(shù),為未知參數(shù)，是統(tǒng)計(jì)量不是統(tǒng)計(jì)量幾個常用的統(tǒng)計(jì)量樣本均值（samplemean)設(shè)是總體的一個樣本，樣本方差(samplevariance)樣本均方差或標(biāo)準(zhǔn)差它們的觀測值用相應(yīng)的小寫字母表示.反映總體X取值的平均，或反映總體X取值的離散程度。幾個常用的統(tǒng)計(jì)量設(shè)是總體的一個樣本，子樣的K階（原點(diǎn)）矩幾個常用的統(tǒng)計(jì)量設(shè)是總體的一個樣本，子樣的K階中心矩它包括兩個方面——數(shù)據(jù)整理計(jì)算樣本特征數(shù)數(shù)據(jù)的簡單處理為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，首要的工作是收集原始數(shù)據(jù).一般通過抽樣調(diào)查或試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)往往是雜亂無章的，需要通過整理后才能顯示出它們的分布狀況。數(shù)據(jù)的簡單處理是以一種直觀明了方式加工數(shù)據(jù)。計(jì)算樣本特征數(shù)：數(shù)據(jù)的簡單處理數(shù)據(jù)整理：將數(shù)據(jù)分組計(jì)算各組頻數(shù)作頻率分布表作頻率直方圖（1）反映趨勢的特征數(shù)樣本均值中位數(shù)：數(shù)據(jù)按大小順序排列后，位置居中的那個數(shù)或居中的兩個數(shù)的平均數(shù)。眾數(shù)：樣本中出現(xiàn)最多的那個數(shù)。數(shù)據(jù)的簡單處理（2）反映分散程度的特征數(shù)：極差、四分位差極差——樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，四分位數(shù)——將樣本數(shù)據(jù)依概率分為四等份的3個數(shù)椐，依次稱為第一、第二、第三四分位數(shù)。第一四分位數(shù)Q1：第二四分位數(shù)Q2：第三四分位數(shù)Q3：第二部分：參數(shù)估計(jì)第一節(jié)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

一、點(diǎn)估計(jì)問題設(shè)總體X的分布函數(shù)的形式為已知的F(

x,θ

)，其中x是自變量,θ為未知參數(shù)（它可以是一個數(shù)，也可以是一個向量）．借助于總體X的一個樣本（X

1,X

2,…,X

n），來估計(jì)未知參數(shù)θ的值的問題，稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題．點(diǎn)估計(jì)的問題就是要構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量(X1,X2,…,Xn)，用樣本的一組觀察值（x1,x2,…,xn），得到的觀察值（x1,x2,…,xn),以此來估計(jì)未知參數(shù)θ．稱統(tǒng)計(jì)量（X

1,X

2,…,X

n）為θ的估計(jì)量，稱（x1,x2,…,xn）為θ的估計(jì)值．二、矩估計(jì)法的函數(shù)，記作μl=μl()即，l=1,2,…，k．設(shè)總體X的分布函數(shù)為,其中為k個未知參數(shù).

假設(shè)總體X的各階原點(diǎn)矩存在,則E(Xl)是對于總體X的樣本（X1,X2,…,Xn），樣本的l階原點(diǎn)矩為，l=1,

2,…，k．令μl=

Al,l=1,2,…，k，即從上述方程組中解出，分別記作以此作為未知參數(shù)的估計(jì)量，稱為矩估計(jì)量．如果樣本觀察值為（x1,x2,…,xn），則得未知參數(shù)的矩估計(jì)值為上述估計(jì)未知參數(shù)的方法就叫做矩估計(jì)法．解此方程組得到與的矩估計(jì)量為令即解

例1設(shè)總體X的均值為μ，方差為，且，但μ與均未知，又設(shè)總體X的一個樣本為（X1,

X2,

,

Xn），求μ與的矩估計(jì)量．解由例4可得例2某廠生產(chǎn)一批鉚釘，現(xiàn)要檢驗(yàn)鉚釘頭部直徑，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取12只，測得頭部直徑（單位：mm）如下：13.30 13.38 13.40 13.43 13.32 13.4813.54 13.31 13.34 13.47 13.44 13.50設(shè)鉚釘頭部直徑這一總體X服從正態(tài)分布，試求與的矩估計(jì)值．注此例說明，無論總體X服從什么分布，樣本均值都是總體均值的矩估計(jì)量，樣本二階中心矩就是總體方差的矩估計(jì)量．三、極大似然估計(jì)法1．設(shè)總體X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為其中θ為未知參數(shù)，取值范圍為．設(shè)X1,X2,,Xn為來自X的樣本，則X1,X2,,Xn的聯(lián)合分布律為．又設(shè)x1,x2,,xn為一組樣本值，令

稱L(θ)為樣本的似然函數(shù)．（1）若有，使得對一切，有成立，則稱為θ的極大(或最大)似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為θ的極大(或最大)似然估計(jì)量．我們規(guī)定，使得的就是θ的極大似然估計(jì)值．由于lnx是單增函數(shù)，所以

與有相同的駐點(diǎn)，因此只需從

中解出就是θ的極大似然估計(jì)值，稱方程（2）（2）為極大似然方程．

例3設(shè)總體，與未知,（X1,X2,…,Xn)為總體X的樣本，求與的極大似然估計(jì)量．解

X的概率密度為設(shè)x1,x2,…,xn為樣本值，似然函數(shù)為令解得與的極大似然估計(jì)值為因此，與的極大似然估計(jì)量為四、估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)1．無偏性估計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個隨機(jī)變量，由不同的方法得到的估計(jì)量可能相同也可能不同．而對同一估計(jì)量，由不同的樣本觀察值得到參數(shù)的估計(jì)值也可能不同．我們很自然地要求估計(jì)量的期望等于參數(shù)的真值，即無偏性．定義設(shè)是未知參數(shù)θ的估計(jì)量，若，則稱為θ的無偏估計(jì)（量）．例4設(shè)總體X的均值為,（X1,X2,X3）是總體X的樣本，證明下列兩個估計(jì)量都是的無偏估計(jì)．

證由于所以與都是的無編估計(jì)．（只需k1+

k2++

kn

=1，則=k1X1+

k2X2++

knXn就是的無偏估計(jì)）設(shè)為參數(shù)θ的估計(jì)量，若當(dāng)時，按概率收斂于θ，即對于任意正數(shù)ε，有，則稱為θ的一致估計(jì)（量）．3．一致性根據(jù)大數(shù)定律可知，樣本均值是總體均值的一致估計(jì)量．設(shè)與是參數(shù)θ的兩個無偏估計(jì)量，若，則稱比有效.2．有效性第二節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)是通過構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量(X1,X2,…,

Xn)來對總體X中的未知參數(shù)θ進(jìn)行估計(jì)，由一個樣本值（x1,x2,…,

xn）可得到θ的估計(jì)值（x1,x2,…,

xn）．這種估計(jì)值是無法知道誤差的．我們要定出一個范圍，并要求以一定的概率保證這個范圍包含著θ的真值．這個范圍通常以區(qū)間的形式給出，我們把這個區(qū)間稱為置信區(qū)間．定義設(shè)總體X的分布中含有一個未知參數(shù)θ，(X1,X2,…,

Xn）是來自總體X的一個樣本．