第二章矩陣及其運(yùn)算習(xí)題課

線性代數(shù)習(xí)題講解第二章矩陣及其運(yùn)算一、要點(diǎn)復(fù)習(xí)二、作業(yè)講解三、典型例題介紹一、要點(diǎn)復(fù)習(xí)矩陣的概念定義特殊矩陣矩陣的運(yùn)算基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)逆矩陣定義矩陣的概念定義特殊矩陣基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)性質(zhì)矩陣的概念定義特殊矩陣矩陣的運(yùn)算基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)矩陣的概念定義特殊矩陣基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)矩陣的概念定義特殊矩陣矩陣的運(yùn)算基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)矩陣的概念定義特殊矩陣基本運(yùn)算性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)

逆矩陣的求法分塊矩陣分塊對角矩陣初等變換與初等矩陣定義秩的求法定義與運(yùn)算初等變換初等矩陣矩陣的秩定義秩的相關(guān)結(jié)論

NEXT1.矩陣的概念

Back定義2.1由個(gè)元素排成的行列的數(shù)表：稱為行列矩陣，簡稱矩陣，簡記為，其中稱為的元素.

所有元素的矩陣稱為零矩陣，記為；當(dāng)時(shí)，稱為行矩陣；當(dāng)時(shí)，稱為列矩陣；當(dāng)時(shí)，稱為階方陣；若兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)對應(yīng)相等，則稱這兩個(gè)矩陣為同型矩陣.幾種常用方陣：

（1）.對角方陣（當(dāng)時(shí)，）

簡稱對角陣，可記為.

（2）.單位矩陣（當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，）簡稱單位陣，可記為.（3）.上三角矩陣（當(dāng)時(shí)，）

（4）.下三角矩陣（當(dāng)時(shí)，）上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱三角矩陣.2.矩陣的運(yùn)算

設(shè)矩陣，則

矩陣相等（對一切），為同型矩陣.

矩陣的和

為同型矩陣.

數(shù)乘矩陣為任意常數(shù).

矩陣相乘

，其中即要求的列數(shù)必須等于的行數(shù).一般地矩陣的乘法不滿足交換律，即.

方陣的冪

轉(zhuǎn)置矩陣是矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.

對稱矩陣稱滿足的方陣為對稱矩陣，即對所有滿足.

反對稱矩陣稱滿足

的方陣

為對稱矩陣，即對所有

滿足.

3.逆矩陣

（7）若可逆，則.4.分塊矩陣

（2）數(shù)乘設(shè)，為數(shù)，則

.（3）乘法設(shè)為矩陣，為矩陣，分塊為

其中的列數(shù)分別對應(yīng)等于的行數(shù)，則

其中.

.（4）轉(zhuǎn)置設(shè)，則.

定義2.6設(shè)為階方陣，稱如下形式的分塊矩陣為分塊對角矩陣

其中皆為方陣.

設(shè)方陣，則有當(dāng)且均可逆時(shí)，有.

5.初等變換與初等矩陣

定義2.7矩陣的初等行（列）變換指如下三種變換：（1）對換變換：對調(diào)矩陣的第行（列）與第行（列），記為；（2）數(shù)乘變換：以非零常數(shù)乘矩陣的第記為；行（列）的所有元素，（3）倍加變換：將矩陣的行（列）的所有元素的倍加到第行（列）對應(yīng)元素上，記為.

定義2.8滿足下列條件的矩陣稱為行階梯形矩陣：（1）各非零行的第一個(gè)非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增加而嚴(yán)格增大；（2）如果矩陣有零行，那么零行在矩陣的最下方.定義2.9滿足下列條件的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣：（1）各非零行的第一個(gè)非零元素都是1；（2）各非零行的第一個(gè)非零元素所在列的其他元素都是零.定義2.10形如下列形式的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：定理2.4

設(shè)為非零矩陣，那么階梯形及行最簡形，再進(jìn)行初等列變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.

一定可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行推論可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是單位矩陣，并且只需要進(jìn)行初等行變換就能將可逆矩陣化為單位矩陣.定義2.11

由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣：逆矩陣的求法：（1）根據(jù)矩陣的定義，，則（2）根據(jù)伴隨矩陣求，，其中（3）初等變換法，；.；為伴隨矩陣；6.矩陣的秩

），定義2.12

在矩陣中，任取行與列（位于這些行列交叉處的個(gè)元素，不改變他們在中所處的位置次序而階行列式得到的的秩，記為.

定義2.14若為階方陣，，則稱為滿秩矩陣.

秩的相關(guān)結(jié)論：

（3），為非零常數(shù)；求秩的方法（1）定義法：考察矩陣的所有子式，其最高階不為0的子式的階數(shù)為矩陣的秩.（2）初等變換法：運(yùn)用初等行變化化矩陣為行階梯形，其非零行的行數(shù)即為矩陣的秩.二、作業(yè)講解1.設(shè)矩陣2.計(jì)算下列矩陣的乘積（3）.解：（1）；（2）；（3）.解：（1）；（2）.解：=，

，

又所以.5.設(shè)，求及.

解：，.，（必要性）若

，即

所以，化簡得.

7.證明：對于任意的矩陣，與都是對稱方陣.9.求下列矩陣的逆陣：（1）

；（2）.解：由于此題中的矩陣階數(shù)較低，可直接采用伴隨矩陣的方法求解.（1）因?yàn)?，所以可逆，?0.解下列矩陣方程：（1）；（2）.解：此類問題先求出的表達(dá)式，然后求