數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)課件ppt10

1本次課主要內(nèi)容(一)、定解問題的建立(二)、方程的化簡習(xí)題課(三)、δ函數(shù)(四)、分離變量方法2(一)、定解問題的建立

寫出定解問題，需要建立偏微分方程、寫出邊界條件(包括銜接條件，自然條件）和初始條件。

建立偏微分方程的主要方法是微元法(1).明確物理過程與研究對象(待研究物理量);(2).進(jìn)行微元分析；

分析微元和相鄰部分的相互作用，根據(jù)物理定律用算式表達(dá)這種作用。3如何寫出三類邊界條件？(1)、明確環(huán)境影響通過的所有邊界；(2)、分析邊界所處的物理狀況；(3)、利用物理規(guī)律寫出表達(dá)邊界狀況的表達(dá)式。(3).化簡、整理算式。4例1一根半徑為r,密度為ρ，比熱為c，熱傳導(dǎo)系數(shù)為k的勻質(zhì)桿。如果同截面上的溫度相同，其側(cè)面與溫度為u1的介質(zhì)發(fā)生熱交換，且熱交換系數(shù)為k1.求桿上溫度滿足的方程解：物理量為桿上溫度u(x,t),取微元[x,x+dx]x+dxxx在dt時間里，微元段獲得的熱量為：5該熱量一部分Q1用于微元段升溫，另一部分Q2從側(cè)面流出所以，微元段滿足的方程為：所以，方程為：61、寫出特征方程：2、計算3、作變換(1)、(二)、方程的化簡7(2)、8(3)、94、求出變換方程：其中：10二階線性方程分類：(1)雙曲型拋物型橢圓型(2)(3)說明：分類也指點的鄰域內(nèi)的分類！11例1求方程的通解解：此方程是雙曲型的第二標(biāo)準(zhǔn)形，但我們要求解它可將其化成第一標(biāo)準(zhǔn)形的形式，所以先得由特征方程求特征函數(shù)：12

所以1314可得

是原方程的通解

15例3化下面方程為標(biāo)準(zhǔn)型解：方程屬于橢圓型16

所以17可得標(biāo)準(zhǔn)型：18

δ函數(shù)是指滿足下面兩個條件的函數(shù)

(三)、δ函數(shù)例4、求證：19分析：需證明等式右端滿足δ函數(shù)兩條件。又當(dāng)x不等于0時有：證明：當(dāng)x=0時，考慮到：20由于21例5、求證：其中證明：當(dāng)M不等于M0時，直接計算可得：22另一方面：所以：23(1)、分離變量(2)、求解固有值問題(3)、求解其它常微分方程對應(yīng)于固有值的解1、最基本的分離變量法求定解的步驟(4)、寫出疊加解，利用其余條件定出疊加系數(shù)。(四)、分離變量方法

2、常涉及的幾種固有值問題問題：最基本分離變量對定解問題的要求？242526273、固有函數(shù)值方法(一般分離變量求解)定解問題一般形式：求解步驟：28(1)、求下面齊次定解問題對應(yīng)的固有值問題固有函數(shù)為：Xn(x)(2)、令一般解為：29(3)、將一般解代入泛定方程并把自由項按固有函數(shù)系展開后通過比較系數(shù)得到Tn(t)的微分方程；(4)、由原定解問題初值條件把把初始函數(shù)按固有函數(shù)系展開后通過比較系數(shù)得出Tn(t)的定解條件；(5)、求出Tn(t)。30齊次化原理14、齊次化原理求解如果滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：31齊次化原理2如果滿足方程：那么非齊次柯西問題的解為：325、邊界條件齊次化方法(1)、一般方法采用未知函數(shù)代換法：選擇適當(dāng)?shù)腤(x,t)，使關(guān)于V(x,t)定解問題邊界條件是齊次的。(采用多項式函數(shù)待定法求W(x,t))。(2)、特殊情形下齊次化方法如果方程自由項和邊界條件表達(dá)式均與t無關(guān)，則可