第6章 期權(quán)定價

期權(quán)定價是所有衍生金融工具定價中最復(fù)雜的，它涉及到隨機過程等較為復(fù)雜的概念。而期權(quán)定價又是整個金融工程學(xué)科的重要基礎(chǔ)。本章將從證券價格的運動規(guī)律講起，逐步推導(dǎo)出BS期權(quán)定價模型。期權(quán)價格的影響因素期權(quán)價格的影響因素主要有六個:（一）標的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格（二）期權(quán)的有效期（三）標的資產(chǎn)價格的波動率（四）無風(fēng)險利率（五）標的資產(chǎn)的收益（六）紅利

期權(quán)是標的資產(chǎn)的衍生工具，其價格波動的來源主要就是標的資產(chǎn)價格的變化，期權(quán)價格受到標的資產(chǎn)價格的影響。(相對定價法)期權(quán)的價值正是來源于簽訂合約時，未來標的資產(chǎn)價格與合約執(zhí)行價格之間的預(yù)期差異變化。證券價格的變化還要受到市場的影響，也就是說市場狀況使所有證券價格發(fā)生變化的基礎(chǔ)和環(huán)境。為什么我們要研究證券價格的變化過程？

1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，1）投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；2）證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息；3）市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價格變動是相互獨立的1、弱式效率市場假說認為，證券價格變動的歷史不包含任何對預(yù)測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。2、半強式效率市場假說認為，證券價格會迅速、準確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。3、強式效率市場假說認為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對挑選證券都沒有用處。從定性到定量從規(guī)范到實證效率市場假說是從定性的角度研究證券市場的，為進一步的研究提供了基礎(chǔ)和背景，但是它并不能告訴我們證券價格是怎樣變動的。為此，需要找到某種方法描述證券價格的運動，并從中找到證券價格變動的規(guī)律。人們在對證券的價格進行研究時發(fā)現(xiàn)，隨機過程能夠很好地反映證券價格的變化，從而實現(xiàn)了從定性研究到定量研究，從規(guī)范研究到實證研究的轉(zhuǎn)變。

隨機過程（StochasticProcess）是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。根據(jù)時間是否連續(xù)和變量取值范圍是否連續(xù)，隨機過程可以做如下的劃分：

從嚴格意義上說，證券價格的變化過程屬于離散變量的離散時間隨機過程，為了研究方便，可以把它近似為連續(xù)變量的連續(xù)時間的隨機過程。

一般認為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機過程（MarkovStochasticProcess）是內(nèi)在一致的。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。在這個過程中，只有變量的當(dāng)前值才與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則意味著其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格，這顯然和弱式效率市場假說是一致的。

布朗運動（BrownianMotion）起源于物理學(xué)中對完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運動的描述。

對于標準布朗運動來說：設(shè)代表一個小的時間間隔長度，代表變量z在時間內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足：=其中，代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。特征2：對于任何兩個不同時間間隔，的值相互獨立。

當(dāng)

0時，可以得到極限的標準布朗運動：

1、為何定義=而非？

當(dāng)需要考察任意時間長度間隔中的變量變化的情況時，獨立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標準差不具有可加性。這樣定義可以使方差與時間長度成比例，不受時間劃分方法的影響。相應(yīng)的一個結(jié)果就是：標準差的單位變?yōu)?/p>

2、符合標準布朗運動的變量z在一段較長時間T中的變化情形：令z（T）－z(0)表示變量z在T中的變化量，顯然該變量又可被看作是在N個長度為的小時間間隔中z的變化總量，其中N=T/Δt。很顯然，這是n個相互獨立的正態(tài)分布的和：因此，z（T）-z（0）也具有正態(tài)分布特征，其均值為0，方差為NΔt=T，標準差。普通布朗運動若變量x遵循普通布朗運動：其中：1、a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。2、a為漂移率（DriftRate），是指單位時間內(nèi)變量z均值的變化值。3、b2為方差率（VarianceRate），是指單位時間的方差。普通布朗運動的離差形式為，顯然，Δx也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標準差為，方差為1、遵循普通布朗運動的變量x是關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程，其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a。第二項bdz是隨機項，它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。2、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標準差為，方差為b2T。3、標準布朗運動的漂移率a為0,方差率為1。

普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，就可以得到，這就是伊藤過程（ItoProcess）其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。

隨機分析學(xué)是概率論的一個重要分支,它誕生于20世紀40年代,創(chuàng)始人K.Ito獲得1987年Wolf數(shù)學(xué)獎.在對獲獎工作的評價中寫到:“他的隨機分析可以看作隨機王國中的牛頓定律.它提供的支配自然現(xiàn)象的偏微分方程和隱藏著的概率機制之間的直接翻譯過程。.……。

其主要成分是Brown運動函數(shù)的微分和積分運算.由此產(chǎn)生的理論是近代純粹與應(yīng)用概率論的基石.K.Ito(隨機分析簡介)16

在伊藤過程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

其中，dz是一個標準布朗運動。這就是著名的伊藤引理。

在研究證券價格變化過程的時候，目標是盡量找到一個合適的隨機過程表達式，來準確地描述證券價格的變動過程，同時盡量實現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡單性。一般來說，金融研究者認為證券價格的變化過程可以用漂移率為μS、方差率為S2的伊藤過程來表示：兩邊同除以S得：

該隨機過程又可以稱為幾何布朗運動。其中S表示證券價格，μ表示證券在瞬間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率），表示證券收益率瞬間的方差，表示證券收益率瞬間的標準差，簡稱證券價格的波動率（Volatility），dz表示標準布朗運動。其中，μ和σ的時間度量單位一般都采用年。幾何布朗運動的離散形式為：

為什么證券價格可以用幾何布朗運動表示？

1、市場一般認同股票市場符合“弱式效率市場假說”，而幾何布朗運動的隨機項來源于標準布朗運動dz，具有馬爾可夫性質(zhì)，符合弱式效率的假說。2、投資者感興趣的不是股票價格S，而是獨立于價格的收益率。投資者不是期望股票價格以一定的絕對價格增長，而是期望股票價格以一定的增長率在增長。3、幾何布朗運動最終隱含的是：股票價格的連續(xù)復(fù)利收益率（而不是百分比收益率）為正態(tài)分布；股票價格為對數(shù)正態(tài)分布。在短時間后，證券價格比率的變化值為：

可見，也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標準差為，方差為。也就是說其中表示均值為m，標準差為s的正態(tài)分布。1、幾何布朗運動意味著股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。令t時刻G的值為lnS，T時刻G的值為lnST，其中S表示t時刻（當(dāng)前時刻）的證券價格，ST表示T時刻（將來時刻）的證券價格，則在T－t期間G的變化為：從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到：兩點重要結(jié)論：

也就是說，證券價格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布的特性，以及符號的定義，可以得到:和從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到：2、股票價格對數(shù)收益率服從正態(tài)分布由于dG實際上就是連續(xù)復(fù)利的對數(shù)收益率。因此幾何布朗運動實際上意味著對數(shù)收益率遵循普通布朗運動，對數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對數(shù)收益率的標準差與時間的平方根成比例。:1、幾何布朗運動中的期望收益率。

2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險、無風(fēng)險利率水平、以及市場的風(fēng)險收益偏好。3、較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于，小于，這是因為較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值是較短時間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。1、證券價格的年波動率，是股票價格對數(shù)收益率的年標準差2、一般從歷史的證券價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標準差，再對時間標準化，得到年標準差，即為波動率的估計值。*一般來說時間距離計算時越近越好；時間窗口太長也不好；一般來說采用交易天數(shù)計算波動率而不采用日歷天數(shù)。::假設(shè)：1、證券價格遵循幾何布朗運動，即和為常數(shù)；2、允許賣空標的證券；3、沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的；4、衍生證券有效期內(nèi)標的證券沒有現(xiàn)金收益支付；5、不存在無風(fēng)險套利機會；6、證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；7、衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率r為常數(shù)。

由于證券價格S遵循幾何布朗運動，有：在一個小的時間間隔中，S的變化值為：在一個小的時間間隔中，f的變化值為：（2）設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：（1）構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和單位標的證券多頭的組合。令代表該投資組合的價值，則：

(3)在時間后，該投資組合的價值變化為：(4)

將式（1）和（2）代入式（4），可得：（5）由于式（5）中不含有，該組合的價值在一個小時間間隔后必定沒有風(fēng)險，因此該組合在中的瞬時收益率一定等于中的無風(fēng)險收益率。因此：

(6)把式（3）和（5）代入上式得：化簡為：（7）

這就是著名的布萊克——舒爾斯微分方程，適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。

受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標的證券預(yù)期收益率（）并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。

因此，可以假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。盡管這只是一個人為的假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。

風(fēng)險中性定價原理:

在風(fēng)險中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。風(fēng)險中性定價原理

在風(fēng)險中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為：其中，

表示風(fēng)險中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，歐式看漲期權(quán)的價格c等于將此期望值按無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即：（8）

布萊克-舒爾斯期權(quán)定價方程的推導(dǎo)對（8）右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為：其中，（9）

N（x）為標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)（即這個變量小于x的概率），根據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)特性，有

。

在B-S公式中，1）N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率.2）e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。3）SN(d1)=e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值

。

因此，這個公式的實質(zhì)就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。對于布萊克－舒爾斯期權(quán)定價公式的理解無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價公式

根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式：(ppt54)（10）

期權(quán)定價的二叉樹模型布萊克－舒爾斯期權(quán)定價公式可為一個歐式看漲、看跌期權(quán)，以及美式無收益看漲期權(quán)定價，但是布萊克－舒爾斯期權(quán)定價公式并不是萬能的，尤其是美式看跌期權(quán)，因為美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性。為股票期權(quán)定價的一個有用的和很常見的方法是構(gòu)造所謂的二叉樹圖（binomialtree）。這個樹圖表示了在期權(quán)有效期內(nèi)股票價格可能遵循的路徑。單步二叉樹模型例子：假設(shè)一種股票當(dāng)前價格為20美元，3個月后的價格可能為22美元或18美元。假設(shè)：1）股票不付紅利，打算對3個月后以21美元的執(zhí)行價格買入股票的歐式看漲期權(quán)進行定價。2）無風(fēng)險利率為12%。簡單的二叉樹模型Stockprice=$20StockPrice=$22當(dāng)前股票價格為$20三個月以后$22or$18StockPrice=$18買權(quán)StockPrice=$22OptionPrice=$1StockPrice=$18OptionPrice=$0Stockprice=$20OptionPrice=?

一個三個月的股票看漲期權(quán)，執(zhí)行價格為$21

考慮一個投資組合: longDshares short1calloption

投資組合什么時候是無風(fēng)險的：

22D–1=18DorD=0.2522D–118D建立一個無風(fēng)險投資組合對投資組合進行定價無風(fēng)險投資組合為: long0.25shares short1calloption三個月以后的價值：

22x0.25–1=4.50投資組合今天的價值：

4.5e–0.120.25

=4.3670x期權(quán)定價投資組合

long0.25