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文檔簡介

第十章重積分

第三節(jié)三重積分的概念與計算問題的提出：設(shè)空間立體V

的密度函數(shù)為求立體V

的質(zhì)量M為了求V

的質(zhì)量，仍采用：分割、近似代替、求和、取極限四個步驟.首先把V

分成n

個小塊V1,V2,...,Vn,Vi

的體積記為一、三重積分的概念f(x,y,z)，其次在每個小塊

Vi

上任取一點則

Vi

的質(zhì)量然后對每個小塊

Vi

的質(zhì)量求和：最后，取極限其中三重積分的定義方法1：“先一后二”法（也稱為投影法）二、在直角坐標系下計算三重積分如圖，則注意例1設(shè)有一物體Ω=[0,1;0,1;0,1](即長方體)它在點p(x,y,z)處的密度為點p到原點距離的平方,求物體的質(zhì)量M.解即把一個三重積分化為三個定積分的積.當積分區(qū)域是長方體的時候,三重積分的積分限最容易安排例2計算三重積分其中Ω為三個坐標面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域.解:作閉區(qū)域Ω,如圖示.把Ω投影到xoy平面上，得到區(qū)域Dxy三角形閉區(qū)域OAB,直線OA,AB,OB的方程依次為y=0,x+2y=1x=0.所以oxyzC(0,0,1)B(0,1/2,0)A(1,0,0)在D內(nèi)任意取一點(x,y),過此點作平行于z軸的直線,該直線先通過平面z=0,再通過平面z=1-x-2y.于是立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域V

的立體的體積為解方法2：“先二后一”法（或稱截面法）解原式注：由上面兩個例題可知，當被積函數(shù)只是單變量三、在柱面坐標系下計算三重積分規(guī)定：

柱面坐標與直角坐標的關(guān)系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面；平面．如圖，柱面坐標系中的體積元素為柱面坐標系中的三重積分計算也是化為三次積分進行計算.化為三次積分時，積分限的確定是根據(jù)在積分區(qū)域中的變化范圍來確定的.例如積分區(qū)域在xOy平面上的投影區(qū)域為D（用極坐標表示），且可表示為解知交線為解所圍成的立體如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖，例8設(shè)有一個質(zhì)量均勻分別的截頭直圓柱體,其下底面在xoy平面上,上頂面在平面x+y+z=3上,側(cè)面為圓柱面x2+y2=1.求其質(zhì)量m.解:設(shè)密度函數(shù)ρ(x,y,z)=μ,積分區(qū)域為截頭圓柱體,我們采用柱面坐標來計算,Ω在xoy平面的投影D為圓x2+y2≤1.在極坐標下，x+y+z=3x2+y2=1333zxy二、利用球面坐標計

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