將軍飲馬問題

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐朝詩人李頎《古從軍行》里的一句詩。桃源縣文昌中學萬美珍“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”選自唐朝詩人李頎《古從軍行》將軍飲馬問題如圖：

將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次.問將軍怎樣走路程最短？問題情境ABAB抽象：P問題:如圖,另一位將軍也騎馬從城堡A到城堡B，途中馬也要到小溪邊飲水一次.問這位將軍怎樣走路程最短？使得PA+PB最小？問題抽象MN問題探究如圖，在直線MN上找一點P,在灌溉時，要把河中的水引到農(nóng)田P處，如何挖掘能使渠道最短？m垂線段最短思考:在前面研究幾何問題的過程中，你是否遇到過與此相類似求線段的距離最短或者線段和最小的問題？請舉例說明.

問題分析

如圖所示，直線MN表示一條鐵路，鐵路兩旁各有一點A和B，表示兩個工廠．要在鐵路上建一貨站，使它到兩廠距離之和最短，這個貨站應建在何處？PP???方法:在解決選擇位置、求最短距離等問題時，通常轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”問題分析思考:在前面研究幾何問題的過程中，你是否遇到過與此相類似求線段的距離最短或者線段和最小的問題的問題？請舉例說明.

抽象：如圖，在直線MN上找一點P,B問題:如圖,另一位將軍也騎馬從城堡A到城堡B，途中馬也要到小溪邊飲水一次.問這位將軍怎樣走路程最短？使得PA+PB最??？APMN問題分析PABA?P作法：（1）作點A關(guān)于直線MN

的對稱點A?（2）連結(jié)A?B，交MN于點P；∴點P就是所求的點．MN7問題分析如圖，在直線上找一點P使得PA+PB最?。縉BAPA?P?M問題分析作點A關(guān)于直線的對稱點A?,連接BA?，則PA?=PA，交MN于點P,連接AP,在直線MN上任意取一點P?連接AP?,BP?,A?P?,則AP?=A?P?，則PA+PB=則AP?+BP?=PA?+PB=A?BA?P?+BP?△BA?P?中，A

?B<BP?+A?P?，∴

AP+BP

<AP?+BP?，即AP+BP最?。鐖D，點A,B在直線MN的同側(cè)，在直線MN上找一點P,使得PA+PB最小.建立模型模型特征：解決方法：一線兩定一動依據(jù)兩點之間，線段最短,通過一次軸對稱,將兩條折線段化為一條直線段.已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點，你能在BC上確定一點R，使△PQR的周長最短嗎？RP’試一試R....已知:如圖射線OM和射線ON內(nèi)一點A

求作:OM上一點B,ON上一點C,

使AB+BC+AC最小作法:（1）作點A關(guān)于OM、ON的對稱點A?、A??11B.AM0NA??A??C

（2）連接A?和A??,交OM于B,交ON于C.則點B,C為所求.變一變?nèi)鐖D:點P在一個角的內(nèi)部，在角的兩邊上分別找一點M、N,使得PM+PN+MN最小.問題特征：解決方法：兩線一定兩動依據(jù)兩點之間，線段最短,通過兩次軸對稱,將三條折線段化為一條直線段.說一說已知P是△ABC的邊BC上的點，你能在AB、AC上分別確定一點Q和R，使△PQR的周長最短嗎？13練一練（2）把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，化折線為直線

將軍飲馬的實質(zhì)：（3）可利用“兩點之間線段最短”加以解決（1）求最短路線問題------

通過幾何變換找對稱圖形課堂小結(jié)15問題拓展已知：在一個角的內(nèi)部有兩點Q、P求作：點M和點N,使得點M在上，點N在上，使QM+MN+PN+PQ最短。Q..PQ.Q?.P?..MN問題特征：解決方法：兩線兩定兩動依據(jù)兩點之間，線段最短,通過兩次軸對稱,將三條折線段化為一條直線段.問題拓展已知：MON內(nèi)兩點A、B求作：點C和點D,使得點C在OM上，點D在ON上，使AC+CD+BD+AB最短