空間向量求立體幾何中空間角解答題

試卷第試卷第#頁，共16頁TOC\o"1-5"\h\z/4[設(shè)AD=2，則A(1,O,O),B(0j3,0),D(—1,0,0),P(0,0,l),F-,0,-y22EB=DA=(2,0,0),BF=(—^3,2],y22丿n=(0,0,1)為面BEC的一個(gè)法向量，設(shè)面FBE的法向量為m=（x,y,z）,EB-m=2x=0麗-麗-m=-x—朽y+-z=0,取y=23，得m=(0八36),m-nm-ncos<m,n>=ImI-1nI2■<3913???二面角C-BE-F為鈍角，???二面角C—BE—F的余弦值為-空39?137?如圖在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=1,BC=*3,D、D分別是BC,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G111111是厶ABC的重心，過點(diǎn)G作EFIIBC交于點(diǎn)E，F(xiàn).（1）證明：EF丄平面AADD；11n（2）如果銳二面角A—AE—F的大小是￡求AA的長度.1317.【解析】（1）由已知AA1丄平面ABC，EFu平面ABC，所以AA丄EF.11又AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，得AD丄BC，又EFIIBC，故AD丄EF.因?yàn)锳A,AD是平面AADD內(nèi)的2條相交直線，所以EF丄平面AADD.11111

222(2)顯然重心G在中線AD上，且AG=3AD，又EFIIBC，所以AE=3AB，AF=3AC.1111則A匚,0,0，A-,0,h，1(巧1C0,-—,h1111則A匚,0,0，A-,0,h，1(巧1C0,-—,h，2k丿6'3丿6'3丿zh=0設(shè)m=G,y,?是平面AAE的法向量，則AA=(0,0,h)zh=01J3，取x=73，y=1，z=0得m=C/3,1,0).—x+—y=0〔33設(shè)n設(shè)n=g訃是平面￥F的法向量，則垂=EF=TOC\o"1-5"\h\z13_一x+y+zh=0]31311取x=3，y.=0，Z[=得n=-111h!T嚴(yán)3逅1因?yàn)殇J二面角ATE"的大小是n所以z?=668.如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且ZBAD=60,CE=DE,EFIIDB,DB=2EF，平面CDE丄平面ABCD.(1)求證：平面(1)求證：平面BCF丄平面ABCD；(2)若平面AEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值為總,求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值.5【解析】(1)證明：設(shè)點(diǎn)G,H分別是CD,CB的中點(diǎn)，連結(jié)EG,FH,GH,則GH//DB，且DB二2GH，?：EF//DB，且DB=2EF，/.EF//GH，且EF=GH，EFHG是平行四邊形，???FH//EG，?：CE=DE，EG丄CD，■■-平面CDE丄平面ABCD，EG丄平面ABCD，F(xiàn)H丄平面ABCD,FHu平面BCF，?平面BCF丄平面ABCD；(2)連結(jié)BG,由(1)得EG丄平面ABCD，；四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且ZBAD=60，:△BCD是邊長為2的等邊三角形，???BG丄CD，BG=、K，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，以GD,GB,GE分別為x軸，y軸，乙軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由題意得g(0,0,0),aC,73,o),BC,q3,0),C(-1,0,0),設(shè)E(0,0,t)(t>0)，則f|—k22丿EF=(—1，亙,0),AE=(—2,—呂t),bc=(—1,—^3,0),BF=(--3,t),2222設(shè)m=(x,y,z)是平面AEF的一個(gè)法向量,111m-EF=0m-AE=0令m-EF=0m-AE=0令y1=y=01+tz=01——x+?212-2x-百y111設(shè)n=(x,y,z)是平面BCF的一個(gè)法向量,222

n-bc二o

n-n-bc二o

n-BF二o—x-逅y=0V3八，令y2=—1?——x—y+tz=02222則f2zJ2?n=(%■3,—1,0),|cos<m,n>\=3+1+27八E12?GE=3方，所以EB=<EG2+GB2=、；27+3=<30，因?yàn)镋G丄平面ABCD，所以ZEBG是直線BE與平面ABCD所成的角,所以sin所以sinZEBG=EG=3/3=3頃EB~—10?直線BE與平面ABCD所成角的正弦值竺10.109?如圖所示，平面五邊形可分割成一個(gè)邊長為2的等邊三角形ABC和一個(gè)直角梯形ACDE，其中AE//CD，ae=2CD=2AC，ZEAC=90°，現(xiàn)將直角梯形acde沿邊AC折起，使得AEGB，連接BE、如圖，以A如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AF為x軸，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)A作BC的平行線為y軸，AE為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),Fc3,0,0),B(.3,—1,0),Cw3,l,o),E(0,0,1),D(、：3,1,2),EF=G30,—1),BE=(—73,1,1),Ed=63,1,1),設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z)，+y+z+y+z=0y+z=0n?竺=0，即n-ED=0令y=1,則z=—l，x=0，所以n=(0,1,—1),設(shè)直線EF與平面BDE所成角為0,In?EFIInI-1EFI所以In?EFIInI-1EFI所以sin0=1cos〈n,EF〉I=1=蟲2^2=4B10?如圖所示，四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是矩形，SA丄底面ABCD，點(diǎn)E,F分別為AB,SD的中占I八、、?證明：直線EF//平面SBC；設(shè)SA=AD=2AB，試求直線EF與平面SCD所成角的正弦值.10.【解析】(1)證明：過點(diǎn)E作EG//SB交SA于點(diǎn)G.連接GF.因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，所以G為SA中點(diǎn).所以GF//AD，所以GF//BC，所以GF//平面SBC同理可得，EG//平面SBC所以平面GEF//平面SBC所以EF//平面SBC.(2)如圖，因?yàn)?，底面ABCD是矩形，SA丄底面ABCD所以可以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AS分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.設(shè)SA=AD=2AB=4，則S(0,0,4),C(2,4,0),D(0,4,0),E(1,0,0),F(0,2,2)所以EF=(-1,2,2).設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為a=(x,y,z)，fa-SzDC4y-4z:0,所以a=(0,1,1).a-DC=2x=0設(shè)直線EF與平面SCD所成的角為6，所以sin611?在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD丄底面ABCD，△PAD為等邊三角形，底面ABCD為菱形,

兀ZDAB=-3,O為AD的中點(diǎn).試在線段BP上找一點(diǎn)E,使OEII平面PCD,并說明理由;求直線PC求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.11.【解析】(11.【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)時(shí)，OEII平面PCD,理由如下：取PC的中點(diǎn)F,連接EF,DF,因?yàn)镻E=EB,PF=FC，所以EFIIBC,EF=-BC,21因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，OA=OD，所以O(shè)D11BC,OD——BC,2<所以O(shè)DIIEF,OD—EF，所以四邊形ODFE是平行四邊形，所以O(shè)EIIDF,又因?yàn)镺E#平面PCD,DFu平面PCD，所以，OEII平面PCD.(2)連接PO,因?yàn)锳PAD是等邊三角形，O是AD的中點(diǎn)，所以PO丄AD,又側(cè)面PAD丄底面ABCD,側(cè)面PADPl底面ABCD—AD,所以PO丄平面ABCD,所以PO丄OB.兀因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，ZDAB—-，則△ABD為等邊三角形，所以O(shè)B丄AD，即PO,OB,OA兩兩垂直.如圖，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OA,OB,OP分別人x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐系Oxyz,設(shè)AD=2，則A(1,0,0),B(0,總0),P(0,0,間,C(-2,賦0),AB—(-1,點(diǎn),0),AP—(―1,0,u3),PC—(―2,方,-冋,設(shè)平面PAB的法向量為孑=(x,y,z)，ab-n由｛一一ab-n由｛一一AP-n73y=0<3z=0令x=，得才=(u3,l,l)，設(shè)PC與平面PAB所成的角為0,ci心-IIPC用I丨-2xJ3+打xl-點(diǎn)xll<6貝卩sin0=lcos<PC,n>l===——,IpC||-|v4+3+3xs/3+1+15則直線PC與平面PAB所成的角的正弦值為工6.512?如圖，在四棱^P-ABCD中，側(cè)棱PA丄底面ABCD,AD//BC,ZABC=90°,PA=AB=BC=2,ADAD(2)設(shè)點(diǎn)N是線段CD上一動點(diǎn)，且DNTDC,當(dāng)直線MN與平面PAB所成的角最大時(shí)，求久的值.【解析】(1)JPA丄底面ABCD,ZABC=90°,則可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1),AM=(0,1,1),PD=(1,0,—2),CD=(—1,—2,0),n-pd=0則Inn-pd=0則In■CD=0即jx—22=00，令x=2，則y=—1,z=1，即n=(2,-1,1),—x—2y=0AM-n=0,.AM丄n，且amW平面PCD,.AM//平面PCD；(2)可得DN=XDC=X(12,0)=(X,2九,0),AN=AD+DN=(1,0,0)+(九,2九,0)=(1+九,2九,0),MN=AN—AM=(1+九,2九,0)—(0,1,1)=(1+九,2九一1,—1),易得平面PAB的一個(gè)法向量m=(1,0,0),設(shè)直線MN與平面PAB所成的角為0,MN-m10132則J當(dāng)=：時(shí)，即九=時(shí)，sin0最大，1+入532所以當(dāng)直線MN與平面PAB所成的角最大時(shí)X=3.(2)在線段PB上是否存在點(diǎn)M,使得直線AM與平面PBD所成角的正弦值為巴5?若存在，求出線5段PM的長度；若不存在，請說明理由.【解析】(1)證明：???面PAB丄面ABCD且面PABc面ABCD=AB,BC丄AB,BCu面ABCD,/?BC丄平面ABP，又BCu平面PBC,???平面PBC丄平面PAB.(2)在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)A作AE丄AB交PB于點(diǎn)E,則可知AE丄平面ABCD.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,AE方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-