專題33三角函數(shù)圖像平移及圖像性質(zhì)（講練）

專題三角函數(shù)圖像：平移及圖像性質(zhì)一、知識(shí)梳理與二級(jí)結(jié)論二、熱考題型歸納【題型一】正弦到正弦的平移【題型二】余弦到余弦的平移【題型三】正弦到余弦的平移【題型四】余弦到正弦的平移【題型五】恒等變形平移【題型六】識(shí)圖平移【題型奇】平移前后函數(shù)的軸、中心對(duì)稱性質(zhì)【題型把】最小平移【題型九】平移計(jì)算w【題型十】五點(diǎn)作圖與識(shí)圖：【題型十一】超越函數(shù)識(shí)圖【題型十二】五點(diǎn)作圖應(yīng)用：三角函數(shù)零點(diǎn)【題型十三】五點(diǎn)作圖應(yīng)用：與冪指對(duì)等交點(diǎn)三、高考真題對(duì)點(diǎn)練四、最新模考題組練知識(shí)梳理與二級(jí)結(jié)論一、三角函數(shù)圖像函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R單調(diào)性[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞增；[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞減[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上遞增；[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上遞減(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上遞增最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱中心(kπ，0)(k∈Z)(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)對(duì)稱軸方程x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ二、確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法：(1)觀察確定A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)通過周期公式求ω：即ω＝eq\f(2π,T). (3)特殊點(diǎn)代入求φ：通常代入“最值點(diǎn)”或“零點(diǎn)”；三、A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響（1）函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中參數(shù)A．φ、ω的作用參數(shù)作用AA決定了函數(shù)的值域以及函數(shù)的最大值和最小值，通常稱A為振幅.φφ決定了x=0時(shí)的函數(shù)值，通常稱φ為初相，ωx＋φ為相位.ωω決定了函數(shù)的周期T＝.（2）圖象的變換（1）振幅變換要得到函數(shù)y＝Asinx（A＞0，A≠1）的圖象，只要將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A＞1時(shí)）或縮短（當(dāng)0＜A＜1時(shí)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）即可得到．（2）平移變換要得到函數(shù)y＝sin（x＋φ）的圖象，只要將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜0時(shí)）平行移動(dòng)|φ|個(gè)單位長度即可得到．（3）周期變換要得到函數(shù)y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的圖象，可以把函數(shù)y＝sinx上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω＞1時(shí)）或伸長（當(dāng)0＜ω＜1時(shí)）到原來的_倍（縱坐標(biāo)不變）即可得到．四、形如函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及性質(zhì)1.圖像變換：①相位變換：y＝sinx→y＝sin(x＋φ)的規(guī)則是：左加(φ＞0)或右減(φ＜0)|φ|個(gè)單位；②周期變換：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的規(guī)則是：縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)縮小(伸長)為原來的|eq\f(1,ω)|倍；③振幅變換：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)的規(guī)則是：橫坐標(biāo)不變，將縱坐標(biāo)縮小(伸長)為原來的|A|倍；注意：y＝sinωx→y＝sin(ωx＋φ)變換規(guī)則是：先提取后者x的系數(shù)ω，然后在左(右)平移|eq\f(φ,ω)|個(gè)單位；基本性質(zhì)：①定義域：解三角函數(shù)不等式用“數(shù)形結(jié)合” ②值域：由內(nèi)向外 ③單調(diào)性：同增異減周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|) ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝eq\f(π,|ω|).對(duì)稱性：換元思想，將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整體代入求解．①對(duì)稱軸：最值處，令sin(ωx＋φ)＝1，則ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得對(duì)稱軸方程；②對(duì)稱中心：零點(diǎn)處，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；正弦“第一零點(diǎn)”：；正弦“第二零點(diǎn)”：余弦“第一零點(diǎn)”：；余弦“第二零點(diǎn)”：4、奇偶性：利用“反向誘導(dǎo)法”理解掌握①函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)；函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函數(shù)?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；②函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函數(shù)?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)；③函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)．熱點(diǎn)考題歸納【題型一】正弦到正弦的平移【典例分析】1.（2021春·山西大同·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，為了得到的圖像，只需將的圖像上所有點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變B．向左平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變C．向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)縮短到原來的，橫坐標(biāo)不變D．向右平移個(gè)單位長度，縱坐伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變【答案】D【解析】直接觀察解析式，可發(fā)現(xiàn)需對(duì)縱坐標(biāo)伸長3倍，從而排除A，C；再從選項(xiàng)的向右平移個(gè)單位長度，代入驗(yàn)證，即可得到答案.【詳解】由向右平移個(gè)單位長度得：，縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變得：.故選：D2.（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三期末）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】C【解析】由三角函數(shù)圖像平移變化規(guī)律求解即可【詳解】解：因?yàn)?，所以要得到函?shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度即可，故選：C【提分秘籍】正弦到正弦的要得到函數(shù)y＝sin（x＋φ）的圖象，只要將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜0時(shí)）平行移動(dòng)|φ|個(gè)單位長度即可得到．如果系數(shù)不為1，【變式演練】1.（2020秋·廣東東莞·高三東莞市光明中學(xué)?？茧A段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像A．橫坐標(biāo)縮小到原來的,縱坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)縮小到原來的,橫坐標(biāo)不變D．縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍,橫坐標(biāo)不變【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)解析式的變化直接求解即可.【詳解】函數(shù)的圖像，橫坐標(biāo)縮小到原來的,縱坐標(biāo)不變，就得到函數(shù)的圖像.故選：A2.（2023春·吉林長春·高三?？计谥校榱说玫胶瘮?shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】C【分析】由，再根據(jù)平移規(guī)則，得到答案．【詳解】由，所以為了得到函數(shù)的圖像，函數(shù)需要向右平移個(gè)單位，即，故選：C．3.（2021春·上海浦東新·高三華師大二附中?？计谥校┮玫胶瘮?shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)（

）A．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位長度B．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，向左平移個(gè)單位長度C．橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位長度D．橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移個(gè)單位長度【答案】B【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】解：只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得的圖象；再向左平移個(gè)單位長度，可得函數(shù)的圖象，故選：．【題型二】余弦到余弦的平移【典例分析】1.（2022秋·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度【答案】C【分析】變形函數(shù)，再利用函數(shù)平移變換求解作答.【詳解】因?yàn)?，又函?shù)的周期為，所以將函數(shù)的圖象向左或向右平移個(gè)單位長度，即得的圖象，顯然當(dāng)時(shí)，C滿足，不存在整數(shù)k，使得選項(xiàng)A，B，D成立.故選：C.2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】C【分析】根據(jù)平移變換的定義判斷．【詳解】，因此將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象.故選：C.【提分秘籍】余弦到余弦：要得到函數(shù)y＝cos（x＋φ）的圖象，只要將函數(shù)y＝cosx的圖象上所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜0時(shí)）平行移動(dòng)|φ|個(gè)單位長度即可得到．如果系數(shù)不為1，【變式演練】1.（2023春·四川成都·高三成都外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）.A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】D【分析】根據(jù)圖象的平移變換左加右減法則得出結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)?，而，所以將向右平移個(gè)單位即可得圖象.故選：D2.（2019春·山東棗莊·高三棗莊八中?？茧A段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】A【詳解】試題分析：首先要注意到：要得到的函數(shù)是的圖像，否則易做反了.函數(shù)，向左平移個(gè)單位得到，故選A.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像變換.3.（2017春·陜西西安·高三長安一中校考期中）為了得到的圖像，只需將的圖像（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換求解即可.【詳解】解：因?yàn)樗裕瑸榱说玫降膱D像，只需將的圖像向左平移個(gè)單位長度．故選：C．【題型三】正弦到余弦的平移【典例分析】1.（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象只需將的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的平移結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)樗?，只需將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位，故選：A.2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）要得到的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】B【解析】化簡函數(shù)，，即可判斷.【詳解】，，需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位.故選：B.【提分秘籍】遇到正弦到余弦的平移。目標(biāo)是函數(shù)化一致，理論上正弦化為余弦或者余弦化為正弦都可以，實(shí)際操作時(shí)，建議把正弦化為余弦較簡單，原因主要是余弦是偶函數(shù)，可以利用xos（x）=cosx，達(dá)到轉(zhuǎn)化系數(shù)為正的目的?！咀兪窖菥殹?.（2021·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)（

）A．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向右移動(dòng)個(gè)單位長度B．橫坐標(biāo)縮短到原來的，再向右移動(dòng)個(gè)單位長度C．向左移動(dòng)個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的D．向左移動(dòng)個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍【答案】D【分析】將進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)化，根據(jù)選項(xiàng)直接判斷即可.【詳解】，將的圖象，向左移動(dòng)個(gè)單位長度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象.故選：D.2.（2020春·河北張家口·高三張家口市第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，為了得到的圖象，只需將的圖象（

）A．向左平移個(gè)長度單位；B．向右平移個(gè)長度單位C．向左平移個(gè)長度單位；D．向右平移個(gè)長度單位【答案】D【分析】首先利用誘導(dǎo)公式可得，，接下來結(jié)合選項(xiàng)，根據(jù)三角形函數(shù)的平移法則即可得到答案【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,即可得到函數(shù)的圖象故選：D.3.（2021·全國·高三專題練習(xí)）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)（

）A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位【答案】D【分析】把變成正弦型函數(shù)，再根據(jù)左加右減規(guī)律即可【詳解】解：，所以左移故選：D【題型四】余弦到正弦的平移【典例分析】1.（2023春·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位【答案】A【分析】由函數(shù)圖像平移的規(guī)則求解.【詳解】,所以要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位.故選：A2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀榱说玫胶瘮?shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖象（

）A．左移個(gè)單位長度 B．左移個(gè)單位長度C．右移個(gè)單位長度 D．右移個(gè)單位長度【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以為了得到函?shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖象右移個(gè)單位長度，故選:D.【提分秘籍】余弦到正弦的平移，和正弦到余弦一樣思維。一些特殊數(shù)據(jù)?？梢灾苯油ㄟ^誘導(dǎo)公式互化。【變式演練】1.（2022秋·江蘇徐州·高三學(xué)業(yè)考試）要得到函數(shù)的圖像，只需將的圖像上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】C【分析】將變形為，進(jìn)而結(jié)合左右平移變換的特征即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以只需將的圖像上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度即可，故選：C.2.（2023春·貴州畢節(jié)·高三?？茧A段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】A【分析】將利用誘導(dǎo)公式變形為，再根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律求解.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以把函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度可以得到函數(shù)的圖象.故選：A.3..（2023·全國·高三專題練習(xí)）若要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為同名函數(shù)，然后利用左加右減的原則確定平移的方向與單位，即可得解．【詳解】因?yàn)?，故將已知轉(zhuǎn)化為要得到函數(shù)的圖象，又，所以將的圖象向右平移個(gè)單位長度即可得到的圖象.故選：D【題型五】恒等變形平移【典例分析】1.（2018·湖北荊州·荊州中學(xué)?？家荒＃┪颐刻鞄Ыo你驚喜和希望，思念就像正弦余弦曲線無盡延展......為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向右平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度【答案】D【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再由左加右減，上加下減的原則確定平移的方向和單位即可得到答案【詳解】要得到函數(shù)的圖象只需要將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度故選2.（2019秋·湖北黃岡·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，要得到的圖象，只需將的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】B【分析】將和利用三角公式化為的形式，然后觀察可得平移的的方向和長度.【詳解】解：由已知，則，故將的圖象向右平移個(gè)單位長度可得到的圖象.故選B.【提分秘籍】涉及到較復(fù)雜形式的函數(shù)平移，需要通過和、差、倍、半公式，降冪公式，輔助角公式等等恒等變形方法，轉(zhuǎn)化為同名正余弦函數(shù)，再進(jìn)行平移計(jì)算【變式演練】1.（2018·全國·?？既＃榱说玫胶瘮?shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向右平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度【答案】D【詳解】分析：先利用二倍角公式化簡兩個(gè)函數(shù)解析式，再用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，再利用圖象平移進(jìn)行判定．詳解：因?yàn)椋遥詾榱说玫胶瘮?shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度．2.（2019秋·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】A【分析】由三角恒等變換的公式，化簡得，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象的變換，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，將向左平移個(gè)單位，可得，故選A.3.（2020秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校考階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】B【分析】把化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式（余弦型），然后由三角函數(shù)的圖象變換可得．【詳解】，∴把的圖象向左平移個(gè)單位可得的圖象．故選：B．【題型六】識(shí)圖平移【典例分析】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，要得到的圖象，只需將的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度【答案】D【分析】由周期求得ω，再結(jié)合最高點(diǎn)求得φ，得到函數(shù)的解析式，進(jìn)而做出判定.【詳解】由圖可知，，所以，即，所以．所以，又，所以，所以，,將其圖象向左平移個(gè)單位長度即可得到的圖象．故選：D2.（2022·四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測）函數(shù)(，常數(shù)，，)的部分圖象如圖所示，為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個(gè)長度單位 B．向右平移個(gè)長度單位C．向左平移個(gè)長度單位 D．向左平移個(gè)長度單位【答案】B【分析】利用最值和周期可得，，利用五點(diǎn)法可得，再通過誘導(dǎo)公式及函數(shù)的圖象變換規(guī)律可得結(jié)論.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)(，常數(shù)，，)的部分圖象，可得，，∴.再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，故，函數(shù).為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)長度單位即可.故選：B.【提分秘籍】已知的部分圖象求其解析式時(shí)，比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法：(1)由即可求出；確定時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)，則令(或)，即可求出.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出和，若對(duì)，的符號(hào)或?qū)Φ姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.【變式演練】1.（2019·安徽蚌埠·蚌埠二中?？级＃┖瘮?shù)的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位【答案】C【解析】根據(jù)圖象，由最高點(diǎn)縱坐標(biāo)得出A的值；由圖中的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，求出周期，進(jìn)而求出；再由五點(diǎn)作圖法求出初相，從而求出函數(shù)的解析式.再利用誘導(dǎo)公式，圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，，，再根據(jù)五點(diǎn)作圖法可得：，則故，則將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得的圖象.故選：C.2.（2019秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)（，）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個(gè)單位長度B．向左平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度D．向左平移個(gè)單位長度【答案】C【分析】根據(jù)圖象可得，再由自變量加減左右移可得，函數(shù)向右平移個(gè)單位長度得到的圖象.【詳解】由圖象可得，所以，又，所以，所以.因?yàn)?，所以向右平移個(gè)單位長度可得.故選C.3.（2019春·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高三校考期中）函數(shù)（其中，，）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象上所有點(diǎn)A．向右平移個(gè)單位長度 B．向左平移個(gè)單位長度C．向右平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度【答案】A【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得得解析式，再利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)（其中，，）的圖象，可得，，．再利用五點(diǎn)法作圖可得，求得，為了得到的圖象，只需將的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，即可，故選A．【題型七】平移前后函數(shù)的軸、對(duì)稱中心等性質(zhì)【典例分析】1.（2022秋·廣西桂林·高三?？茧A段練習(xí)）已知將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像，若的圖像都關(guān)于對(duì)稱，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移法則，可得的解析式，原條件等價(jià)于和的圖像都關(guān)于軸對(duì)稱，再結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性，得解．【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，若和的圖像都關(guān)于對(duì)稱，則和的圖像都關(guān)于軸對(duì)稱，而，，所以且，，即，，又，所以的最小值為3．故選：B．2.（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線是函數(shù)圖像相鄰的兩條對(duì)稱軸，將的圖像向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖像.若在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意先求出，再結(jié)合圖像得出關(guān)于的不等式組，即可求得m的范圍.【詳解】解：由題意得,即，解得，則，向右平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)，又在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以轉(zhuǎn)化為在上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，其中，，則，要使在上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則或，解之得故選：A.

【提分秘籍】Asin(ωx＋φ)形式函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心性質(zhì)（余弦可以借助五點(diǎn)圖像類比得到）：對(duì)稱性：換元思想，將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整體代入求解．對(duì)稱軸：最值處，令sin(ωx＋φ)＝1，則ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得對(duì)稱軸方程；對(duì)稱中心：零點(diǎn)處，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；【變式演練】1.（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是（

）A．B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】B【分析】由函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求得，再利用圖象平移變換得到，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，將函?shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，得到，則，令，解得，則在上遞增；令，解得，則在上遞減，故選：B2.（2022·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)校考一模）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到的圖像．若在上單調(diào)，則的值不可能為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知，進(jìn)而得，故有或或，再解不等式求解即可.【詳解】解：由題知，，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，又在上單調(diào)，所以或或，所以的取值范圍是．所以，的值不可能為故選：B3.（2023春·遼寧·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)，將圖像向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖像，若對(duì)任意，都有成立，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的解析式，再求出，由題意是的最大值，運(yùn)用輔助角公式求出的最大值即可.【詳解】依題意，，，其中，∴的最大值為，依題意有，即，；故選：A.【題型八】最小平移【典例分析】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)長度單位后，所得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把函數(shù)整理成正弦型函數(shù)，利用平移以后關(guān)于軸對(duì)稱即可得到的式子，根據(jù)范圍即可確定的具體值.【詳解】，將圖像向右平移個(gè)單位長度后，變?yōu)椋藭r(shí)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，，，則.又，則的最小值是.故選：D.2.．（2023春·廣東廣州·高三廣州市第七中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，將函數(shù)的圖像沿軸向左平移個(gè)單位后，得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和輔助角公式可得，向左平移個(gè)單位，得到，從而有，，再結(jié)合，即可得解．【詳解】解：，將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得到，因?yàn)樵摵瘮?shù)關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，解得，，又因?yàn)?，所以的最小值為．故選：B．【提分秘籍】可以三角函數(shù)圖像公式，再借助五點(diǎn)畫圖法，可直觀觀察對(duì)應(yīng)的最小值。在求解最小平移時(shí)候，要結(jié)合五點(diǎn)圖像，注意平移方向。【變式演練】1.（2022秋·新疆和田·高三統(tǒng)考期中）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)長度單位后，所得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，再求出平移后的解析式，由其為偶函數(shù)，由兩角和與差的正弦公式展開后由三角函數(shù)的性質(zhì)可求得的m值，從而得到最小值．【詳解】，圖像向左平移個(gè)單位后得到，由函數(shù)為偶函數(shù)，有，∴，得，∴，∴，，即．，由，所以當(dāng)時(shí)，m的最小值為．故選：A2.（2021春·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖像，若，則實(shí)數(shù)t的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換關(guān)系以及三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后，所得，因?yàn)?，所以為的一條對(duì)稱軸，所以，解得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)t有最小值為，故選:B.3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像變換性質(zhì)，結(jié)合余弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以有，因此的最小值為.故選：A.【題型九】平移計(jì)算w【典例分析】1.．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)（其中）的圖像向右平移個(gè)單位長度，所得圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由條件根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性可得，，即可求出，由此求得的最小值．【詳解】解：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，，的最小值為，故選：D．2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對(duì)稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.【提分秘籍】大多數(shù)時(shí)候，是代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，或者利用單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合圖形解出值或者范圍?！咀兪窖菥殹?.（2022秋·高三單元測試）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，若在上為增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由圖像平移求得的解析式，再利用換元法結(jié)合題設(shè)條件，得到關(guān)于的不等式組，解之即可.【詳解】因?yàn)橄蛴移揭苽€(gè)單位，得到函數(shù)，所以，令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故由，，得，即，所以在上為增函數(shù)，故，即，解得，故，因?yàn)?，所以，所以由得，故，所以，即故選：B.2．（2023春·湖北武漢·高三武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)（）的圖像向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)）的一個(gè)極值點(diǎn)是，且在上單調(diào)遞增，則ω的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由函數(shù)的圖像平移變換得到函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)得到是函數(shù)一條對(duì)稱軸，從而得出（），結(jié)合正弦函數(shù)的周期與單調(diào)性的關(guān)系得到，即可得到答案.【詳解】由題意得：，又函數(shù)）的一個(gè)極值點(diǎn)是，即是函數(shù)一條對(duì)稱軸，所以，則（），函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)的周期，解得，則，，故選：A.3.（2021秋·高三課時(shí)練習(xí)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，若在上為增函數(shù)，則ω的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)已知化簡可得，然后平移可得.由已知可得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，求解即可得出答案.【詳解】函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位，得的圖象，所以.因?yàn)?，，所?又在上為增函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可知，解得，所以的最大值為2．故選：B．【題型十】五點(diǎn)作圖與識(shí)圖【典例分析】1.函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)的解析式為B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再向上平移一個(gè)單位長度D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱寧夏銀川一中2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（理）試題【答案】D【分析】由題意求出的解析式可判斷A；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性可判斷BD；由三角函數(shù)的平移變換可判斷C.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，不妨設(shè)，則，，由，則，兩式相減得，所以①，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)?，所以，結(jié)合①，，因?yàn)椋?，可得，因?yàn)?，所以，，所以，故A正確；對(duì)于B，由，解得：，故B正確；對(duì)于C，將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到，向上平移一個(gè)單位長度可得，故C正確；對(duì)于D，令，解得：，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以D不正確；故選：D.2.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的表達(dá)式可以為（

）A． B．C． D．江西省豐城中學(xué)2023屆高三（重點(diǎn)班）上學(xué)期第三次段考數(shù)學(xué)（文）試題【答案】A【分析】根據(jù)振幅可確定根據(jù)周期可確定，進(jìn)而根據(jù)最高點(diǎn)確定，代入中化簡即可求解.【詳解】由圖可知：,經(jīng)過最高點(diǎn)，故,故，所以．故選：A．【提分秘籍】函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中參數(shù)A．φ、ω的作用參數(shù)作用AA決定了函數(shù)的值域以及函數(shù)的最大值和最小值，通常稱A為振幅.φφ決定了x=0時(shí)的函數(shù)值，通常稱φ為初相，ωx＋φ為相位.ωω決定了函數(shù)的周期T＝.【變式演練】1.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（

）A． B．C． D．四川省南充市南部縣南部中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考（文科）月考數(shù)學(xué)試題【答案】A【分析】根據(jù)周期即可求解，代入最高點(diǎn)即可求解.【詳解】由圖象知函數(shù)周期，，把?代入解析式，得，即?.?又?故選：A2.已知函數(shù)的大致圖像如圖所示，將函數(shù)的圖像向右平移后得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B． C． D．寧夏銀川市第六中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題【答案】A【分析】根據(jù)圖象先求得A和，得到，再將代入求得，再利用平移變換得到即可.【詳解】解：依題意，，，故，故，故，將代入可知，，解得，故，故，則.故選：A.3.已知函數(shù)的最小正周期為，若，把的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到奇函數(shù)的圖象，則（

）A． B．2 C． D．河南省鄭州外國語學(xué)校20222023學(xué)年高三上期第二次調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)試卷【答案】A【分析】根據(jù)平移得的表達(dá)式，由為奇函數(shù)以及可得，進(jìn)而由可得，由代入即可求值.【詳解】∴，∵為奇函數(shù)，∴，即，∴．又，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選:A．【題型十一】超越函數(shù)識(shí)圖【典例分析】1.（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】對(duì)函數(shù)化簡后，利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值判斷即可【詳解】因?yàn)?，，所以為偶函?shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以排除A，C選項(xiàng)；又，所以排除B選項(xiàng)，故選：D．2.（2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象可能是（

）．A．B．C． D．【答案】A【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號(hào)分析判斷.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B，D都不正確；對(duì)于C，時(shí)，，，所以，所以，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)A，符合函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也符合時(shí)，，故A正確．故選：A.【提分秘籍】超越型函數(shù)“識(shí)圖”與“解圖”，從以下幾方面入手：函數(shù)中定義域是否有限制。函數(shù)值大致的正負(fù)分界（一些容易觀察出現(xiàn)的零點(diǎn)可以作為分界點(diǎn)）代入一些容易運(yùn)算的特殊值進(jìn)行判斷。函數(shù)是否有具有“奇偶”（函數(shù)乘除（加減需要同奇偶）構(gòu)成，容易觀察處奇偶）函數(shù)是否具有“漸近線”可以利用極限思想，在0與∞處進(jìn)行正負(fù)判斷比值判斷法：借助與相對(duì)的“暴增”函數(shù)做比值判斷【變式演練】1.（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）函數(shù)的大致圖象是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】求函數(shù)的定義域，證明函數(shù)為偶函數(shù)，排除CD，再證明當(dāng)時(shí)，，排除B，由此可得結(jié)論.【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)C，D；當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以，排除B．故選：A.2.（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）函數(shù)在上的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先確定函數(shù)的奇偶性，排除C，代入特殊點(diǎn)的函數(shù)值，排除AB，得到D正確.【詳解】定義域?yàn)镽，又，故為奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，又，排除B選項(xiàng)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且關(guān)于對(duì)稱，又，所以，故，即，排除A選項(xiàng)，故D正確.故選：D3.（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)在上的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，即可排除C、D，再由特殊值排除B，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除C、D；又，由于，所以，故排除B；故選：A【題型十二】五點(diǎn)畫圖應(yīng)用：三角函數(shù)零點(diǎn)【典例分析】1.（2023春·江西上饒·高三上饒市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的簡圖如下：函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則，解之得.故選：C2.（2023秋·四川眉山·高三眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)（），若在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和3條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用整體換元法，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)．當(dāng)時(shí)，令，則，若在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和3條對(duì)稱軸，則在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)和3條對(duì)稱軸，則，解得.故選：A．【提分秘籍】一些形如的正余弦三角函數(shù)零點(diǎn)，可以借助五點(diǎn)畫圖法，畫出區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖像，由函數(shù)周期性，以及對(duì)稱軸，對(duì)稱中心等的周期性，進(jìn)行求解計(jì)算【變式演練】1.（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有3個(gè)極值點(diǎn)，2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)在區(qū)間恰有3極值點(diǎn)，2個(gè)零點(diǎn)，在恰有3個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù)在區(qū)間恰有2零點(diǎn)，由于，則，故問題轉(zhuǎn)化為在上有3個(gè)零點(diǎn)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正余弦函數(shù)圖象可得：，故.故選：C.

.

.2.（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的最小正周期為，若，且在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式和求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解】由題意的最小正周期為T，則，又，可得，即，又，所以，在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合函數(shù)的圖象如圖所示：則在原點(diǎn)右側(cè)的零點(diǎn)依次為，，，，…，所以，解得，即的取值范圍為．故選：D．3.（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出，將問題轉(zhuǎn)化為在有兩個(gè)零點(diǎn)，列出不等式求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏嫌星覂H有2個(gè)零點(diǎn)，所以在有兩個(gè)零點(diǎn)，則有，解得.故選：D【題型十三】五點(diǎn)畫圖應(yīng)用：與冪指對(duì)等交點(diǎn)【典例分析】1.（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)設(shè)為…，，則（

）A．6 B．18 C．12 D．16【答案】B【分析】化簡可得，令可得，易得與均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)對(duì)稱性結(jié)合函數(shù)圖象即可得解.【詳解】由得，即，∵與均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由圖可知，兩函數(shù)有個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，根據(jù)對(duì)稱性得，故函數(shù)在上所有零點(diǎn)之和為．故選B．2.（2023春·四川成都·高三成都七中?？计谀┖瘮?shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)、的圖象，觀察兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得出結(jié)論.【詳解】令可得，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，函?shù)、在上的圖象沒有交點(diǎn)，觀察圖象可知，函數(shù)、的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因此，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故答案為：B.【提分秘籍】含有三角函數(shù)和冪指對(duì)等的函數(shù)零點(diǎn)，借助“分離函數(shù)”思想，分離出三角函數(shù)圖像與冪指對(duì)等函數(shù)圖像，研究兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)情況?！咀兪窖菥殹?.（2023春·山東淄博·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】C【分析】令，，則問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的解，令，，也就是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下所示，由圖可知與有6個(gè)交點(diǎn)，即有6個(gè)零點(diǎn).故選：C2.（2022秋·四川涼山·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)，且）最多有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義結(jié)合函數(shù)與的圖像性質(zhì)，列式得出答案.【詳解】，則，的最小正周期，根據(jù)函數(shù)與的圖像性質(zhì)可得，若函數(shù)，且）最多有6個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，則，解得，當(dāng)，則，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：D.3.．（2023秋·福建龍巖·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】根據(jù)題意整理可得，將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問題，利用圖象結(jié)合對(duì)稱性分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：，令，且，可得，∵與均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由圖可設(shè)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為，根據(jù)對(duì)稱性可得，故函數(shù)在上所有零點(diǎn)之和為.故選：B.高考真題對(duì)點(diǎn)練1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對(duì)稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的一條對(duì)稱軸為直線，一個(gè)周期為4，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在處的函數(shù)值，排除不合題意的選項(xiàng)即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項(xiàng)中，B選項(xiàng)中，C選項(xiàng)中，D選項(xiàng)中，排除選項(xiàng)CD，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，排除選項(xiàng)A，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故選：B.4．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號(hào)排除選項(xiàng)，即得答案.【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域?yàn)镽，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當(dāng)時(shí)、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D5．（全國·高考真題）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個(gè)長度單位 B．向右平移個(gè)長度單位C．向左平移個(gè)長度單位 D．向右平移個(gè)長度單位【答案】A【分析】設(shè)出向左平移個(gè)長度，利用誘導(dǎo)公式將余弦函數(shù)變?yōu)檎液瘮?shù)，列出方程，求出答案.【詳解】，將函數(shù)向左平移個(gè)長度單位，得到，故，解得即向左平移個(gè)長度單位.故選：A6．（全國·高考真題）如圖是函數(shù)的圖象，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由、在函數(shù)的圖象結(jié)合五點(diǎn)作圖法可得答案.【詳解】因?yàn)樵诤瘮?shù)的圖象上，所以，，所以，此時(shí)，，又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，由五點(diǎn)作圖得該點(diǎn)是“五點(diǎn)”中的第五個(gè)點(diǎn)，所以，.故選：C.7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D故選：A.8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對(duì)稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對(duì)稱，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.二、填空題9．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進(jìn)而求得．【詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)?，所以，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出的取值，從而得解；【詳解】解：因?yàn)?，（，）所以最小正周期，因?yàn)?，又，所以，即，又為的零點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)；故答案為：最新?？颊骖}一、單選題1．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．若在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意得出函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，要使在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，需滿足，解不等式即可.【詳解】由題可知，，當(dāng)時(shí)，．因?yàn)樵谏嫌星覂H有3個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，所以的取值范圍為：．故選：C.2．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用輔助角公式得到，得到，進(jìn)而得到不等式組，求出的取值范圍.【詳解】，，時(shí)，，要想在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，則要滿足，解得，要想不等式組有解，則要，解得，故或0，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，則的取值范圍是.故選：D3．（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可得，求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象.時(shí)，，在軸右方的零點(diǎn)為因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.故選:D.4．（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測）.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．C．在上單調(diào)遞增D．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象【答案】D【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出周期及，進(jìn)而求出解析式，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】對(duì)于A，由圖象得函數(shù)的周期，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖象得，，即有，又圖象過點(diǎn)，則，即，又，于是，因此，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，而，即有，即，則，在上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得的圖象，D正確.故選：D5．（2023·四川·校聯(lián)考一模）將函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象變換求出的解析式，利用周期縮小的范圍，再從反面求解可得結(jié)果.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，再把所得函數(shù)圖象的橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上沒有零點(diǎn)，則，即，即，則，由，得，得，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則，，即，又，則.當(dāng)時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，解得，與矛盾.綜上，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則或，則若沒有零點(diǎn)，則或.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角函數(shù)平移法則求出函數(shù)的解析式，利用間接法求解的范圍是解決本題的關(guān)鍵.6．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測）將的圖象向左平移個(gè)單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象變換可得，根據(jù)題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，運(yùn)算求解即可得結(jié)果.【詳解】將的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.7．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度（縱坐標(biāo)不變）后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡的解析式，然后根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得正確答案.【詳解】，，所以的最小值為.故選：D8．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考二模）已知，若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，其中，則的所有可能的取值有（

）A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】利用正余弦的二倍角公式、兩角和的正弦展開式化簡得成立，所以，再分情況討論的值可得答案．【詳解】由已知得，∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有成立，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有成立，∴與的最值和最小正周期相同，∴，即．①當(dāng)時(shí)，，又或；②當(dāng)時(shí)，，又或；③當(dāng)時(shí)，，