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§2數(shù)集·確界原理一、有界集二、確界三、確界的存在性定理四、非正常確界確界原理本質(zhì)上體現(xiàn)了實(shí)數(shù)的完備性，是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn).返回記號與術(shù)語一、有界集定義1因此S無上界.證故S有下界.取L
=1,例1例2證二、確界定義2若數(shù)集S有上界,則必有無窮多個上界,而其中最小的一個具有重要的作用.最小的上界稱為上確界.同樣,若S有下界,則最大的下界稱為下確界.點(diǎn)擊上圖動畫演示注2注1條件(i)說明
是
的一個上界,條件(ii)說明比小的數(shù)都不是
的上界,從而
是最小的上界,即上確界是最小的上界.定義3注2注1由定義,下確界是最大的下界.證先證supS=1.例2以下確界原理也可作公理,不予證明.雖然我們定義了上確界,但并沒有證明上確界的存在性,這是由于上界集是無限集,而無限數(shù)集不一定有最小值,例如(0,
)無最小值.三、確界存在性定理證法一設(shè)
S是有上界的非空集合.為敘述方便起見,不妨設(shè)
S含有非負(fù)數(shù).定理1.1(確界原理)證明分以下四步:1.S是有上界的集合,從而S
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