moor-pinrise廣義逆矩陣的代數(shù)性質(zhì)

moor-pinrise廣義逆矩陣的代數(shù)性質(zhì)

1moo-perse廣義逆矩陣的確定該算法在概率統(tǒng)計、數(shù)學(xué)規(guī)劃、數(shù)值分析、系統(tǒng)控制、博士論、信號理論、數(shù)據(jù)處理和網(wǎng)絡(luò)理論等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，并在其他領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。矩陣A的Moore-Penrose廣義逆是由矩陣A唯一確定的,矩陣A與它的Moore-Penrose廣義逆矩陣A+可構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系,矩陣在代數(shù)方面應(yīng)用較廣,并且己有較多較好的結(jié)果。因此,本文探討一些Moore-Penrose廣義逆矩陣的代數(shù)性質(zhì)。在灰色控制系統(tǒng)方面,也會遇到某列數(shù)據(jù)發(fā)生擾動時,系統(tǒng)參數(shù)也發(fā)生變化。因此,也探討不相容線性方程組AX=b,特別地當(dāng)A發(fā)生擾動E=(0,…,a,…,0),b發(fā)生擾動Δb時,最小范數(shù)最小二乘解的擾動估計。2矩陣的歐氏范數(shù)定義1對任意矩陣A,滿足方程:(1)AXA=A;(2)XAX=X;(3)(AX)*=AX;(4)(XA)*=XA的解X稱為矩陣A的Moore-Penrose廣義逆,記為A+。定理1設(shè)A∈Cm×n,有奇異值分解,其中P∈Cm×n,Q∈Cm×n,并且皆為酉陣,∑=diag(σ1,σ2,…,σr),σi>0,i=1,2,…,r,r=r(A),則定理2設(shè)a≠0,b≠0,則(ab*)+=ba*a*ab*b(ab?)+=ba?a?ab?b。證因為a≠0,b≠0,所以a*a≠0?b*b≠0?(ab*)(ba*)(ab*)=a(b*b)(a*a)b*,(ab*)(ba*a*ab*b)(ab*)=aba?a≠0?b?b≠0?(ab?)(ba?)(ab?)=a(b?b)(a?a)b?,(ab?)(ba?a?ab?b)(ab?)=ab*,因此(ab*)+=ba*a*ab*b(ab?)+=ba?a?ab?b。定義2矩陣A的歐氏范數(shù)為‖A‖F(xiàn)=(trA*A)1/2=(∑∑|aij|2)1/2,簡記為‖A‖。A的譜范數(shù)為‖A‖2=λ1/211/21(A*A)=λ1/211/21(AA*),其中λ1(B)為矩陣B的最大特征值,在數(shù)值上等于B的最大奇異值。定理3設(shè)A∈Cm×n,r(A+E)=r(A),‖A+‖2·‖E‖2<1,則∥(A+E)+∥2≤∥A+∥21-∥A+∥2?∥E∥2∥(A+E)+∥2≤∥A+∥21?∥A+∥2?∥E∥2。定理4設(shè)A∈Cm×n,B=A+E,則B+-A+=-B+EA++B+B*+E*(Im-AA+)-(In-B+B)E*A+*A+。3u3000d+u性質(zhì)5若n階矩陣a有極分解a+a+s的添加性質(zhì)1若A與B酉相似,則A+與B+也酉相似。證因為A與B酉相似,所以存在n階酉陣U,使得:B=U*AU。設(shè)A有奇異分解:A=Ρ(∑000)Q*由定理1知,A的廣義逆,又因為所以。以下驗證(2)成立。以下驗證(3)成立(BB+)*=(U*AU·U*A+U)*=(U*AA+U)*=UAA+U*BB+=U*AU·U*A+U=U*AA+U由于U是酉陣,所以(3)成立。同理可證(4)成立。所以A+與B+也酉相似。性質(zhì)2若A為正定實陣,則A+也為正定實陣,且存在可逆陣P,使得:A+=PP′.證因為A正定,所以存在可逆陣P,使得:P′AP=I,因此A=P′-1P-1,A-1=PP′=A+.性質(zhì)3若A為正定矩陣,λ1為A的特征根,則A+也為正定矩陣,且1λ1為A+的特征根。證明略。性質(zhì)4若A為實對稱陣,則存在正交陣U,使A+=UD+U′。其中D=diag(λ1,λ2…,λn),λi為A的特征根。證因為A對實對稱陣,所以存在正交陣U,使得:U′AU=D=diag(λ1,λ2…,λn)所以A=(U-1)′DU-1又因為AA+A=A所以(U-1)′DU-1A+(U-1)′DU-1=(U-1)′DU-1因此A+=UD+U′性質(zhì)5若n階矩陣A有極分解A=SU,其中S為半正定矩陣,U為正交矩陣,則A+=U′S+證因為A=SU,AA+A=A,所以SUA+SU=SU,A+=U′S+,以下驗證A+=U*S+滿足(2)A+AA+=U*S+·SU·U*S+=U*S+SS+=U*S+=A+所以(2)成立。以下驗證A+=U*S+滿足(3)(AA+)*=SU·U*S+=SS+AA+=SU·U*S+=SS+所以(3)成立。以下驗證A+=U*S+滿足(4)(A+A)*=(U*S+·SU)*=U*S+SUA+A=U*S+·SU=U*S+SUBB+=U*AU·U*A+U=U*AA+U所以(4)成立。性質(zhì)6設(shè)n階矩陣,則A+=1∥a∥2AΤ證令,由定理2得(ab*)+=[[a1a2?an](0???0?1?0???0)]+=A+=1(a1???an)[a1?an](0???1???0)[0?1?0][0?1?0](a1?a2???an)=1∥a∥2[0?0?0???a1?ai?an???0?0?0]=1∥a∥2AΤ.定理設(shè),若r(A+E)=r(A),且‖A+‖2·‖E‖2<1,則不相容線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A發(fā)生擾動E,b發(fā)生擾動Δb時,其最小范數(shù)最小二乘解的擾動估計為:‖ΔX‖≤‖a‖·‖xo‖(β+‖A+‖2)+|<a,Y0>|·β2+β‖Δb‖,其中β=∥A+∥21-∥a∥?∥A+∥2。證若線性方程組AX=b不相容,則其最小范數(shù)最小二乘解為:X0=A+b,若A發(fā)生了變化也發(fā)生了變化Δb,則以上線性方程組變?yōu)?(A+E)(X+ΔX)=b+Δb這時該方程的最小范數(shù)最小二乘解為:X0+ΔX=(A+E)+(b+Δb)所以ΔX=(A+E)+(b+Δb)-X0=(A+E)+(b+Δb)-A+b=[(A+E)+-A+]b+(A+E)+Δb利用定理4得ΔX=-(A+E)+·E·A+b+(A+E)+(A+E)*+·E*·(Im-AA+)b-[In-(A+E)+(A+E)]E*·A+*·A+b+(A+E)+Δb=-(A+E)+·E·X0+(A+E)+·(A+E)*+·E*·(b-AX0)-[In-(A+E)+·(A+E)]·E*·A+*·X0+(A+E)+Δb記a*=(a1,a2,…,am),Y*0=(y1,y2,…,ym)=b-AX0,X*0=(x1,x2,…,xm)ΔX=-(A+E)+·EX0+(A+E)+(A+E)*+·E*Y*0-[In-(A+E)+·(A+E)]E*·A+*·X0+(A+E)+Δb兩邊取歐氏范數(shù)以及‖In-(A+E)+(A+E)‖2≤1得:‖ΔX‖≤‖(A+E)+‖2·‖E‖·‖X0‖+‖(A+E)+‖22·‖E*Y*0‖+‖E*‖2·‖A+*‖2·‖X0‖+‖(A+E)+‖2·‖Δb‖=‖E‖·‖X0‖·‖(A+E)+‖2+|<a,Y0>|·‖(A+E)+‖22+‖E‖2·‖A+‖2·‖X0‖+‖(A+E)+‖2·‖Δb‖利用定理3得:∥ΔX∥≤∥X0∥?∥a∥?∥A+∥21-∥a∥?∥A+∥2+|＜a?Y0＞|?∥A+∥22(1-∥a∥?∥A+∥2)2+∥a∥?∥A+∥2?∥X0∥+∥A+∥21-∥a∥?∥A+∥2?∥Δb∥記β=∥A+∥21-∥a∥?∥A+∥2,則上式為‖ΔX‖≤‖a‖·‖X0‖·(β+‖A+‖2)+|<a,Y0>|·β2+β‖Δb‖由上式可知,若A的擾動E=(0,…,a,…,0)的第i列與a與Y0正交,則上式變?yōu)?‖ΔX‖≤‖a‖·‖X0‖(β+‖A+‖2)+β‖Δb‖.所以,如果A的擾動E=(0,…,a,…,0)的第i列a的范數(shù)較小,b的擾動Δb也較小,且a與Y0正交,則最小范數(shù)最小二乘解的擾動也會較小。例設(shè)A=[-4.51-7.81-11.31-14.71]?b=(3.3?3.5?3.58?3.87)Τ?Δb=(0?0.01?0.015?0.025)ΤE=(a,0),a=(-0.02?-0.03?-0.05?-0.15)Τ以下看A發(fā)生擾動E,b發(fā)生擾動Δb時最小二乘解的擾動估計。A+=(0.0872780.0305258-0.0296659-0.08813791.085690.542285-0.0340513-0.593921)∥A+∥2=1.35704?X0=A+b=(-0.0524399?3.06039)Τ∥X0∥=3.06084?AX0=(3.29637?3.46942