線性代數(shù) 課件 ch02 方陣的行列式

線性代數(shù)方陣的行列式第二章高等學(xué)校教材系列01n階行列式n階行列式余子矩陣設(shè)A是一個(gè)MXN矩陣，從A中選定若干行和若干列，將其余的行和列刪去，將剩下的元素按原來的排列順序排列構(gòu)成的一個(gè)矩陣稱為A的子矩陣(subrnatrix)特別地，A自身也是A的一個(gè)子矩陣．1n階行列式余子矩陣1n階行列式余子矩陣1n階行列式余子矩陣1n階行列式n階行列式的定義2n階行列式n階行列式的定義2n階行列式n階行列式的定義2n階行列式n階行列式的定義2n階行列式n階行列式的定義2n階行列式n階行列式的定義2其所示規(guī)則稱為3階行列式的對(duì)角線展開規(guī)則。可以看到3階行列式展開后共有6項(xiàng)，每一項(xiàng)都是3個(gè)數(shù)之積，根據(jù)對(duì)角線展開規(guī)則，這3個(gè)數(shù)分別取自不同的行、不同的列，并且每一項(xiàng)一定的規(guī)則分別帶有正號(hào)、負(fù)號(hào)3階行列式共有6=3項(xiàng)(2階行列式共有2=2項(xiàng)）．對(duì)于4階行列式，因第一行共有4個(gè)元素，故其展開式有4x3=4項(xiàng)，且每一項(xiàng)都為4個(gè)數(shù)的乘積．依據(jù)定義，這4個(gè)數(shù)應(yīng)取自不同的行、不同的列．以此類推，可知：n階行列式的值由小個(gè)項(xiàng)相加得到，每一項(xiàng)都是n個(gè)數(shù)的乘積，這n個(gè)數(shù)取自不同的行、不同的列，每一項(xiàng)都依固定的規(guī)則帶有正號(hào)或負(fù)號(hào)。n階行列式n階行列式的定義2n階行列式n階行列式的定義2n階行列式n階行列式的定義2n階行列式n階行列式的定義2n階行列式n階行列式的定義202n階行列式的性質(zhì)n階行列式的性質(zhì)代數(shù)余子式展開性質(zhì)根據(jù)定義可以看到，n階行列式可以按第一行元素的代數(shù)余子式展開，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)n階矩陣來說，其行和列的地位是對(duì)稱的，可以想象，行列式的展開也可以按第一列元素的代數(shù)余子式進(jìn)行.1n階行列式的性質(zhì)代數(shù)余子式展開性質(zhì)1n階行列式的性質(zhì)代數(shù)余子式展開性質(zhì)1n階行列式的性質(zhì)代數(shù)余子式展開性質(zhì)1n階行列式的性質(zhì)代數(shù)余子式展開性質(zhì)1n階行列式的性質(zhì)代數(shù)余子式展開性質(zhì)1n階行列式的性質(zhì)初等變換性質(zhì)上三角矩陣的行列式非常容易計(jì)算，又任何一個(gè)n階方陣都可以經(jīng)－初等變換化為上三角矩陣，所以下面討論矩陣的初等變換對(duì)方陣行列式值的影響．定理2.4設(shè)A是n階方陣：(1)若將A的任意兩行互換，得n階方陣B,則detB=detA;(2)一若將A的某一行乘以常數(shù)入，得n階方陣B,則detB＝detA;(3)若將A的某行乘以常數(shù)加到另行，得n階方陣B,則detB=detA.2n階行列式的性質(zhì)初等變換性質(zhì)2n階行列式的性質(zhì)初等變換性質(zhì)2n階行列式的性質(zhì)初等變換性質(zhì)2n階行列式的性質(zhì)初等變換性質(zhì)2n階行列式的性質(zhì)行列式的計(jì)算舉例3n階行列式的性質(zhì)行列式的計(jì)算舉例303行列式的應(yīng)用行列式的應(yīng)用矩陣的秩設(shè)A是mxn矩陣，A的任意方子矩陣的行列式稱為A的一個(gè)子行列式，簡稱為子式。在A的非零子式中，階數(shù)最高的非零子式稱為A的最高階非零子式。1定義2.2設(shè)A是一個(gè)非零的mxn矩陣，稱A的最高階非零子式的階數(shù)為矩陣A的秩，記為rankA或R(A)。行列式的應(yīng)用矩陣的秩1行列式的應(yīng)用矩陣的秩矩陣的秩是矩陣的一個(gè)重要的數(shù)值特征，是矩陣的一個(gè)不變量（下面將會(huì)看到，對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換不改變矩陣的秩），也是線性代數(shù)中一個(gè)非常深刻的概念，在很多問題的討論中都要用到它。1行列式的應(yīng)用矩陣的秩根據(jù)定義，容易看出矩陣的秩具有如下特征。(1)若R(A)=r,則A至少有一個(gè)r階子式不等于零，而所有r+l階子式都等于零．(2)若A有一個(gè)K階非零子式，則R(A)nck.(3)設(shè)A是mxn矩陣，則R(A)=min{m,n).(4)R(A)=R(AT）定義2.3設(shè)A為一n階方陣，若R(A)=n,則稱A為滿秩方陣，又稱為非退化方陣或非奇異方陣當(dāng)R(A)<n時(shí)，稱A為降秩方陣（或退化方陣或奇異方陣）。1行列式的應(yīng)用矩陣的秩1行列式的應(yīng)用矩陣的秩1定理2.7設(shè)A是一個(gè)梯形矩陣，若A有r個(gè)非零行，則矩陣A的秩為r.證：取A的r個(gè)非零行，取每個(gè)非零行的主元素所在的列，得到矩陣A的一個(gè)r階子式，這個(gè)子式為上三角行列式，且其主對(duì)角線元素為矩陣A的非零行的主元素，故該子式不等于零又由于A只有r個(gè)非零行，因此A的所有r+I階子式（如果存在）全為零，于是R(A)=r.根據(jù)定理2.4的推論4可以知道，對(duì)一個(gè)矩陣進(jìn)行初等變換，對(duì)這個(gè)矩陣的行列式是否為零沒有影響，所以初等變換不改變矩陣的非退化性．下面的定理說明，初等變換不改變矩陣的秩．行列式的應(yīng)用矩陣的秩1定理2.8設(shè)矩陣A經(jīng)一次初等變換化為矩陣B,則R(B)=R(A)(2.13)證：設(shè)R(A)=k,以M人記A的一個(gè)最高階非零子式，對(duì)A做一次行初等變換化為矩陣B,現(xiàn)在來證明R(B)?R(A).(1)若A~B,則這時(shí)M,或者是B的一個(gè)K階子式，或者經(jīng)交換其兩行后成為B的個(gè)K階子式，故R(B)>=k(2)若A~B,則當(dāng)M,不含有A的第i行時(shí)，Mk矩陣B的一個(gè)K階子式;當(dāng)Mk含有A的第i行時(shí)，矩陣B有K階子式行列式的應(yīng)用矩陣的秩1行列式的應(yīng)用克拉默法則2行列式的應(yīng)用克拉默法則當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式detA不等于0時(shí)，方程組有唯一解這里應(yīng)用行列式給出方程組的解公式，這個(gè)公式稱為克拉默法則。2行列式的應(yīng)用克拉默法則2行列式的應(yīng)用克拉默法則2行列式的應(yīng)用克拉默法則2行列式的應(yīng)用克拉默法則2行列式的應(yīng)用克拉默法則204定理的證明與拉普拉斯定理定理的證明與拉普拉斯定理定理的證明這里給出前面幾個(gè)定理的證明．這些定理的證明較煩瑣，初學(xué)者可以略去。1定理的證明與拉普拉斯定理定理的證明1定理的證明與拉普拉斯定理定理的證明1定理的證明與拉普拉斯定理定理的證明1定理的證明與拉普拉斯定理定理的證明1定理的證明與拉普拉斯定理定理的證明1定理的證明與拉普拉斯定理定理的證明1定理的證明與拉普拉斯定理拉普拉斯定理下面介紹拉普拉斯定理，這個(gè)定理可以視為行列式按第1行展開式的推廣。首先把元素的余子式和代數(shù)余子