華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課件

1復(fù)習(xí)與回顧

1復(fù)習(xí)與回顧

分式線性映射的性質(zhì)1.一一對應(yīng)性2.保角性3.保圓性說明:

如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點,那末它就映射成半徑為有限的圓周;有一個點映射成無窮遠點,那末它就映射成直線.如果4.保對稱性分式線性映射的性質(zhì)1.一一對應(yīng)性2.保角性3.保圓性說明:3

(I)當(dāng)二圓弧上沒有點映射成無窮遠點時,這二圓

弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域;

(II)當(dāng)二圓弧交點中的一個映射成無窮遠點時,這

二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成角形區(qū)域.3

(I)當(dāng)二圓弧上沒有點映射成無窮遠點時,這二圓

4映射的角形區(qū)如圖所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2'C1'Ouv(w)4映射的角形區(qū)如圖所示x1-ii-1C1C2y(z)OC2'華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課件00.0因此所求映射為:00.0因此所求映射為:7基本公式：已知相異三點：已知條件分式線性映射公式7基本公式：已知相異三點：已知條件分式線性映射公式))一、冪函數(shù)))一、冪函數(shù)特殊地:)0沿正實軸剪開的w平面特殊地:)0沿正實軸剪開的w平面華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課件11001)002)11001)002)120000特殊地:120000特殊地:13解

000??例13解000??例14例

求一函數(shù),它把新月形域:|z|<1,|z-i/2|>1/2保角映射成上半平面.·14例求一函數(shù),它把新月形域:|z|<1,|z-i/2|>求將區(qū)域映射為上半平面的一個共形映射.求將區(qū)域映射為上半平面的一個共形映射.16分式線性：1.有兩個交點的弧段映射成角形區(qū)域2.半圓映射成某一個象限3.將線段映射成射線4.只有一個交點的弧段映射成帶型區(qū)域。16分式線性：1.有兩個交點的弧段映射成角形區(qū)域2.半圓映17初等函數(shù)映射：角型區(qū)域?qū)?yīng)角型區(qū)域（或有隔閡的復(fù)平面）時利用冪函數(shù)（角度增加）或根式函數(shù)（角度減少）2.橫向帶型區(qū)域映射成角型區(qū)域（或上半平面，或有隔閡復(fù)平面利用指數(shù)函數(shù)反之利用對數(shù)函數(shù)因此對于這種情況，經(jīng)常需要對帶狀區(qū)域平移旋轉(zhuǎn)壓縮17初等函數(shù)映射：角型區(qū)域?qū)?yīng)角型區(qū)域（或有隔閡的復(fù)平面）2華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課件19復(fù)習(xí)19復(fù)習(xí)20第一章：

20第一章：

21利用直角坐標與極坐標的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示21利用直角坐標與極坐標的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式例求下列方程所表示的曲線:例求下列方程所表示的曲線:23積商冪方根23積商冪方根華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課件25復(fù)變函數(shù)的極限

和連續(xù)性一、函數(shù)的極限二、函數(shù)的連續(xù)性25復(fù)變函數(shù)的極限

和連續(xù)性一、函數(shù)的極限二、函數(shù)的連續(xù)性26定理三例如,26定理三例如,例1例128第二章

1.

能夠利用C-R條件判斷函數(shù)解析性

2.知道對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)，及相應(yīng)運算

3.能夠利用已知函數(shù)求出相應(yīng)調(diào)和函數(shù)28第二章

1.能夠利用C-R條件判斷函數(shù)解析性

2.29··在一點解析·在一點可導(dǎo)僅在此點滿足導(dǎo)數(shù)定義此點和其某領(lǐng)域內(nèi)點點滿足導(dǎo)數(shù)定義一點解析一點可導(dǎo)，反之不對

29··在一點解析·在一點可導(dǎo)僅在此點滿足導(dǎo)數(shù)定義此點和其某30在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)在區(qū)域內(nèi)解析因為區(qū)域為開集，故點點可導(dǎo)點點解析反之顯然30在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)在區(qū)域內(nèi)解析因為區(qū)域為開集，故點點可導(dǎo)31可導(dǎo)（解析）充要條件定理推論：31可導(dǎo)（解析）充要條件定理推論：二、典型例題例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:二、典型例題例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解證證華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課件35初等函數(shù)一指數(shù)函數(shù)的定義:加法定理解析性周期性35初等函數(shù)一指數(shù)函數(shù)的定義:加法定理解析性周期性36二.對數(shù)函數(shù)36二.對數(shù)函數(shù)37注解37注解38注意：他們是無界函數(shù)四、三角函數(shù)奇偶性周期性解析性38注意：他們是無界函數(shù)四、三角函數(shù)奇偶性周期性解析性39(注意：這是與實變函數(shù)完全不同的)39(注意：這是與實變函數(shù)完全不同的)4040414142定理區(qū)域D內(nèi)的函數(shù)解析

虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).

共軛調(diào)和函數(shù)42定理區(qū)域D內(nèi)的函數(shù)解析虛部為實部的共軛調(diào)和函華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課件華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課件45第四章.冪級數(shù)能夠利用收斂半徑的公式求得收斂半徑；2.能夠?qū)⒔馕龊瘮?shù)在給定點展開成泰勒公式；3.能夠在解析環(huán)域?qū)⒑瘮?shù)展開成洛朗級數(shù)。45第四章.冪級數(shù)46一、復(fù)數(shù)列的極限二、級數(shù)46一、復(fù)數(shù)列的極限二、級數(shù)必要條件必要條件48絕對收斂與條件收斂定理三48絕對收斂與條件收斂定理三下列數(shù)列是否收斂,如果收斂,求出其極限.三、典型例題例1例2例4下列數(shù)列是否收斂,如果收斂,求出其極限.三、典型例題例150定理四設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導(dǎo)得到,是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)

.(1)3.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)50定理四設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將51(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內(nèi),冪級數(shù)的和函數(shù)解析;冪級數(shù)可逐項求導(dǎo),逐項積分.(常用于求和函數(shù))即51(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內(nèi),52例4求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項積分,得:所以52例4求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項積分,得:53例6計算解53例6計算解54定理（泰勒級數(shù)展開定理）2.泰勒(Taylor)級數(shù)展開定理54定理（泰勒級數(shù)展開定理）2.泰勒(Taylor)級數(shù)展553.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式

以上三個在復(fù)平面上收斂一下兩個收斂域為單位圓盤內(nèi)，圓周上發(fā)散553.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式以上三個在復(fù)平面上收斂563.洛朗級數(shù)展開定理定理563.洛朗級數(shù)展開定理定理57負冪項部分正冪項部分主要部分解析部分同時收斂Laurent級數(shù)收斂57負冪項部分正冪項部分主要部分解析部分同時收斂Lauren華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課件59第五章:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點Laurent級數(shù)的特點存在且為有限值不存在且不為無負冪項含無窮多個負冪項含有有限個負冪項關(guān)于的最高冪為59第五章:孤立奇點可去奇點m級極點本性奇點Laurent級60即定義5.4

設(shè)z0是f(z)的孤立奇點,C是在z0的充分小鄰域內(nèi)包含z0在其內(nèi)部的分段光滑正向Jordan曲線,積分稱為f(z)在z0點的留數(shù)(Residue),記做函數(shù)f(z)在孤立奇點z0點的留數(shù)即是其在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)Laurent級數(shù)-1次冪項的系數(shù).60即定義5.4設(shè)z0是f(z)的孤立奇點,C是在z61留數(shù)計算規(guī)則(1)如果為的可去奇點,則成Laurent級數(shù),求(2)如果為的本性奇點,展開則需將)(zf61留數(shù)計算規(guī)則(1)如果為的可去奇點,則成Lauren62如果為的1級極點,那么法則5.1(3)如果為的極點,則有如下計算規(guī)則法則5.2設(shè)及在都解析.

如果那么為f(z)的1級極點,并且62如果為的1級極點,那么法則5.63如果為的級極點,取正整數(shù)法則5.3那么63如果為的級極點,取正645.2.4函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)定義5.6設(shè)z=

是f(z)的孤立奇點,即f(z)在z=的去心鄰域內(nèi)解析,稱積分為f(z)在z=的留數(shù),并記做其中表示圓周的負向(即順時針方向).易見f(z)在內(nèi)Laurent展開式項的系數(shù)645.2.4函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)定義5.6設(shè)z=65法則5.5設(shè)是有理分式,且多項式Q(z)的次數(shù)比P(z)的次數(shù)至少高2次，則求無窮遠點留數(shù)的方法.

法則5.4設(shè)f(z)在內(nèi)解析，則65法則5.5設(shè)6666華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課件6868華東理工大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課件積分計算總結(jié)70積分計算總結(jié)70積分（已知曲線參數(shù)方程）71積分（已知曲線參數(shù)方程）7172定理（當(dāng)被積函數(shù)解析）積分類型（第一類，被積函數(shù)解析）72定理（當(dāng)被積函數(shù)解析）積分類型（第一類，被積函數(shù)解析）73例3此方法使用了微積分中“分部積分法”73例3此方法使用了微積分中“分部積分法”74積分類型（第二類，被積函數(shù)有有限奇點）對于封閉路徑，如果被積函數(shù)不解析，有有限奇點，則要判斷函數(shù)奇點位置以及個數(shù)，而后利用復(fù)閉合定理或留數(shù)定理。定理

(留數(shù)基本定理)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點外處處解析,C是D內(nèi)包含所有奇點在其內(nèi)部的分段光滑正向Jordan曲線,則74積分類型（第二類，被積函數(shù)有有限奇點）對于封閉路徑，如果75那末

復(fù)合閉路定理75那末復(fù)合閉路定理76高階導(dǎo)公式前提條件與柯西積分公式相同

Cauchy積分公式被積函數(shù)在曲線C內(nèi)只有一個奇點，分子完全解析如果要用復(fù)閉合定理，則需一下定理最終計算結(jié)果76高階導(dǎo)公式前提條件與柯西積分公式相同Cauchy積分77三、典型例題例1解77三、典型例題例1解787879根據(jù)復(fù)合閉路定理79根據(jù)復(fù)合閉路定理808081定理5.10

(留數(shù)基本定理)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點外處處解析,C是D內(nèi)包含所有奇點在其內(nèi)部的分段光滑正向Jordan曲線,則根據(jù)留數(shù)基本定理,函數(shù)在閉曲線f(z)上的積分可歸結(jié)為函數(shù)在曲線內(nèi)部各孤立奇點處留數(shù)的計算問題.81定理5.10(留數(shù)基本定理)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)82例5.12

求在z=0處的留數(shù)，并求其中C是的正向.解易見z=0是函數(shù)f(z)的本性奇點，并且因此于是，根據(jù)留數(shù)基本定理82例5.12求83定理5.11設(shè)函數(shù)f(z)在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點則f(z)在所有各孤立奇點留數(shù)的總和等于零，即83定理5.11設(shè)函數(shù)f(z)在擴充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤84例5.15計算積分其中C是的正向.f(z)有7個孤立奇點,5個1級極點在C內(nèi)部,1個1級解設(shè)在擴充復(fù)平面內(nèi)極點z=3和可去奇點z=

在C外部.由可知,84例5.15計算積分85只需要計算f(z)在z=3和z=

的留數(shù).

根據(jù),而所以根據(jù)和,注本題采用這種方法要比直接應(yīng)用留數(shù)基本定理簡便一些.85只需要計算f(z)在z=3和z=的留數(shù).根據(jù)86積分類型（第三類實數(shù)積分）

用實例說明類型種類，利用留數(shù)計算86積分類型（第三類實數(shù)積分）用實例說明類型種類，利用留87第七章，第八章

知道Fourier變換存在定理，能夠利用Fourier變換算出某些特殊無窮限積分。2.d-函數(shù)性質(zhì)。熟悉Fourier變