船體總振動計算的遷移矩陣法課件

第四章船體總振動計算的遷移矩陣法

第四章船體總振動計算的遷移矩陣法

1.1適用于遷移矩陣方法鏈狀結(jié)構(gòu)

在實際工程中的一些連續(xù)彈性結(jié)構(gòu),例如連續(xù)梁、液體或氣體等介質(zhì)的輸送管道,可以視為一系列彈性體組成的鏈狀結(jié)構(gòu),這類問題的動力分析(或者靜力分析)采用遷移矩陣法是非常合適的。遷移矩陣法是將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)離散為一些簡單的彈性和動力部件,根據(jù)不同的問題和要求,列出結(jié)合點處部件兩端的狀態(tài)矢量,并用振動時彈性系統(tǒng)部件狀態(tài)矢量的傳遞關(guān)系,列出遷移矩陣,再利用彈性系統(tǒng)的邊界條件,從而求得振動系統(tǒng)的數(shù)值解。該方法可用來計算固有振動特性和動力響應(yīng)。

1.1適用于遷移矩陣方法鏈狀結(jié)構(gòu)在實際工程中的0、預(yù)備知識：考慮轉(zhuǎn)動慣量和剪切梁的振動微分方程的推導(dǎo)

如果梁的高度（或者直徑）較大,則高跨比增加,剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量具有不可忽視的影響。轉(zhuǎn)動慣量是由于梁截面的轉(zhuǎn)動（垂直位置轉(zhuǎn)動角)所引起的。如果沒有剪切變形,振動過程種橫截面與彈性軸線將保持垂直。并且應(yīng)等于彈性軸線的斜率。然而剪切變形的影響,梁的橫截面的變形是十分復(fù)雜的。假定平面假設(shè)成立，此時用表示剪切變形，剪切滯后：剪力減小了梁的彈性變形，使得彈性軸線的傾角減小，這稱之為剪切滯后。梁彎曲后，截面轉(zhuǎn)角、剪切角及梁軸線傾角之間的關(guān)系見下圖：0、預(yù)備知識：考慮轉(zhuǎn)動慣量和剪切梁的振動微分方程的推導(dǎo)船體總振動計算的遷移矩陣法課件

根據(jù)微段的變形可知,軸線的轉(zhuǎn)角及剖面轉(zhuǎn)動之間的運動學(xué)關(guān)系為根據(jù)微段的上力的平衡條件，并注意到豎向力不影響力的平衡條件，則豎向力的平衡條件為：對微段右斷面軸線處取矩,并考慮到單位長度的慣性轉(zhuǎn)動力矩根據(jù)微段的變形可知,軸線的轉(zhuǎn)角及剖面轉(zhuǎn)動之間的運動學(xué)關(guān)單位長度的轉(zhuǎn)動慣性力矩：梁材料的密度：梁橫截面的慣性矩：剪力Q與剪切角之間的關(guān)系為：單位長度的轉(zhuǎn)動慣性力矩：梁材料的密度：梁橫截面的慣性矩：剪力（a）（b）由式（a）解出式（b）對x求導(dǎo)數(shù)（c）(e)

將式（c）代入（e），得（a）（b）由式（a）解出式（b）對x求導(dǎo)數(shù)（c）(e)上式為考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量梁的振動微分方程。上式為考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量梁的振動微分方程。1、狀態(tài)矢量狀態(tài)矢量指各個部件連接點處(節(jié)點)的狀態(tài)(包括位移和內(nèi)力)參數(shù)組成的列陣。對于梁的彎曲,某一點的狀態(tài)參數(shù)為位移

轉(zhuǎn)角彎矩

剪力故狀態(tài)矢量為

位移狀態(tài)矢量的坐標系統(tǒng)和符號規(guī)定采用右手坐標系。1、狀態(tài)矢量轉(zhuǎn)角彎矩剪力故狀態(tài)矢量為位移狀態(tài)矢量的坐標1.2梁彎曲振動的場遷移矩陣將研究的變斷面梁劃分為若干長為的均勻斷面梁,利用均勻等直梁的彎曲微分方程及其解,將梁段兩端的狀態(tài)矢量以矩陣形式聯(lián)系起來,即得到場遷移矩陣?？紤]剪切和轉(zhuǎn)動慣量影響的彎曲自由振動微分方程為（4.15）1.2梁彎曲振動的場遷移矩陣起來,即得到場遷移矩陣?？紤]剪其自由振動的解為

為振型函數(shù),

為固有頻率,為初相位.將上式代入式(4.15),并取P=0,則得到引入記號

得到（4.91）其自由振動的解為為振型函數(shù),為固有頻率,為初相位.將上式為四階常系數(shù)齊次微分方程,其解為將此式代入(4.91)式,可求得特征根故得到振型解為根據(jù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)及雙曲函數(shù)之間的關(guān)系,上式的等價形式為（4.93）若確定后,轉(zhuǎn)角彎矩和剪力均可導(dǎo)出。考慮到狀態(tài)矢量具有相同的表達形式,即均為簡諧變化,對于自由振動,剪力的變化式為上式為四階常系數(shù)齊次微分方程,其解為將此式代入(4.91)上式中的也可寫成式振型函數(shù)的形式，得振型和之間的關(guān)系為

將剪力的振型函數(shù)代入得

列出微段豎向力的平衡方程為：振型函數(shù)：上式中的也可寫成式振型函數(shù)的形式，得振型和之間的關(guān)系將振型、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力寫成矩陣形式得將振型、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力寫成矩陣形式得

將梁段的左段取為坐標原點即左端x=0，該處狀態(tài)矢量

為：

（4.98）由（4.98）式得，梁單元將梁段的左段取為坐標原點即左端x=0，由此可解出列陣A

單元內(nèi)任意點的狀態(tài)矢量為：單元右端的狀態(tài)矢量,即x=l

處的狀態(tài)矢量為這里

F稱為場遷移矩陣,由常量矩陣得到。為的方陣,F表達了梁段兩端狀態(tài)矢量之間的關(guān)系。為計算,將其分割為四個子陣

后求逆陣，經(jīng)計算得：由此可解出列陣A單元內(nèi)任意點的狀態(tài)矢量為：單元右端船體總振動計算的遷移矩陣法課件場遷移矩陣1.3點遷移矩陣如果從前面第

個單元越過節(jié)點而到后面的矩陣相類似,該點的前后(或左右)兩側(cè)的狀態(tài)矢量可以用點遷移矩陣單元,則和場遷移其中：第i梁段右端的狀態(tài)矢量；：第i+1梁段左端的狀態(tài)矢量：第i點的點遷移矩陣

連接,即場遷移矩陣1.3點遷移矩陣如果從前面第個單元越過節(jié)點而（1）結(jié)構(gòu)i節(jié)點上有集中質(zhì)量M則自由振動時節(jié)點兩側(cè)的剪力關(guān)系式為慣性力不影響節(jié)點兩側(cè)位移、轉(zhuǎn)角和彎矩，但影響節(jié)點兩側(cè)的剪力關(guān)系，得到節(jié)點i

處的點遷移矩陣為:（1）結(jié)構(gòu)i節(jié)點上有集中質(zhì)量M則自由振動時節(jié)點兩側(cè)的剪力關(guān)（2）結(jié)構(gòu)i節(jié)點上有抗位移剛度為的彈簧（3）結(jié)構(gòu)i節(jié)點上質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量為J規(guī)定節(jié)點逆時針轉(zhuǎn)動為正。彈簧抗力的方向向上（2）結(jié)構(gòu)i節(jié)點上有抗位移剛度為的彈簧（3）結(jié)構(gòu)i（4）節(jié)點上有集中質(zhì)量、限位移彈簧、限轉(zhuǎn)動彈簧及轉(zhuǎn)動慣量疊加得：（5）如果節(jié)點上無任何質(zhì)量與彈簧,則節(jié)點左右兩側(cè)截面,的狀態(tài)矢量相同,此時的點遷移矩陣為單位矩陣。4.6.3固有振動特性計算將整體結(jié)構(gòu)劃分為n段梁。每段處理為均勻的等直梁段，段內(nèi)無集中質(zhì)量和集中支座。取各段之間的連接點為節(jié)點。梁的首尾端也作為節(jié)點。點遷移矩陣為固有頻率的函數(shù)（4）節(jié)點上有集中質(zhì)量、限位移彈簧、限轉(zhuǎn)動彈簧及轉(zhuǎn)動慣量疊加1.4固有振動特性計算步驟整體結(jié)構(gòu)離散后，進行節(jié)點編號和梁段編號，尾端節(jié)點編號為0,而首端節(jié)點編號為n,則整個梁共有n+1個節(jié)點。梁起始段編號為1，最后段編號為n。寫出整個梁的遷移狀態(tài)矢量關(guān)系為：P的下標為節(jié)點編號F的下標為結(jié)構(gòu)分段編號1.4固有振動特性計算步驟寫出整個梁的遷移狀態(tài)矢量關(guān)系為式中,、

,為尾端的狀態(tài)矢量；

狀態(tài)矢量,分別為第n段梁左端和右端的第n段梁的場遷移矩陣,為第n點的點遷移矩陣。由狀態(tài)矢量關(guān)系式得，得到。稱為鏈狀結(jié)構(gòu)的遷移矩陣。的方陣，利用整體梁兩端的邊界條件，消去首尾的已知邊界條件所含的物理量,然后再利用非零解的條件即可得到頻率方程式。例1求兩端全自由梁的頻率和振型.解:整個梁的遷移矩陣為式中,、,為尾端的狀態(tài)矢量；狀態(tài)矢量,分別為第n全自由梁的邊界條件為兩端的剪力和彎矩等于零,即將(b)式邊界條件代入(a)式,可得（a）(b)由于,不能同時等于零(否則為靜止狀態(tài)),必須其系數(shù)行列式的值值等于零,即得求解上式，得到各階固有頻率。全自由梁的邊界條件為兩端的剪力和彎矩等于零,即將(b)式邊界將固有頻率代入振幅方程，得到與頻率對應(yīng)的第j諧調(diào)的尾端狀態(tài)矢量。因為假設(shè)，則

起始端狀態(tài)矢量為將固有頻率代入上式，得到各個點的點遷移矩陣和各個單元的場遷移矩陣。將固有頻率代入振幅方程，得到與頻率對應(yīng)的第j諧調(diào)由上至下求出逐個節(jié)點的狀態(tài)矢量,從而得到以節(jié)點位移值表達的離散的振型值。例2求兩端簡支梁的頻率和振型.012345（1）（2）（3）（4）(5)邊界條件：初始節(jié)點狀態(tài)矢量：;終端節(jié)點狀態(tài)矢量：由上至下求出逐個節(jié)點的狀態(tài)矢量,從而得到以節(jié)點位4.6.4集中簡諧干擾力作用下的動力響應(yīng)計算

設(shè)干擾力作用于節(jié)點,并將狀態(tài)矢量與遷移矩陣的階數(shù)加以擴展,即可以采用遷移矩陣法計算動力響應(yīng)。若某節(jié)點作用簡諧干擾力則由該節(jié)點處力的平衡條件可知,該節(jié)點處剪力有突變,于是該節(jié)點兩側(cè)的狀態(tài)矢量可以寫為:可以將此式的狀態(tài)矩陣和點矩陣擴展為kk4.6.4集中簡諧干擾力作用下的動力響應(yīng)計算或者寫為上式帶“~”的表示擴展后的矢量。將擴展后的場遷移矩陣劃分四個子陣,即或者寫為上式帶“~”的表示擴展后的矢量。將擴展后的場遷移矩船體總振動計算的遷移矩陣法課件或者與自由振動分析類似,建立首尾兩端狀態(tài)矢量之間的關(guān)系或者與自由振動分析類似,建立首尾兩端狀態(tài)矢量之間的關(guān)系

由于上述方程為非齊次的,只要不發(fā)生共振,在應(yīng)用邊界條件后,可以