專題03-因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題-2018版突破中考數(shù)學(xué)壓軸之學(xué)霸秘笈大揭秘(原卷版)

______________________________________________________________________________________________________________精品資料【類型綜述】解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程．有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡(jiǎn)便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡(jiǎn)便．【方法揭秘】我們先看三個(gè)問題：1．已知線段AB，以線段AB為直角邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？2．已知線段AB，以線段AB為斜邊的直角三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？3．已知點(diǎn)A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)．圖1圖2圖3如圖1，點(diǎn)C在垂線上，垂足除外．如圖2，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點(diǎn)除外．如圖3，以O(shè)A為邊畫兩個(gè)正方形，除了O、A兩點(diǎn)以外的頂點(diǎn)和正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，都是符合題意的點(diǎn)B，共6個(gè)．如圖4，已知A(3,0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的頂點(diǎn)C在y軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個(gè)符合條件的點(diǎn)C．如果作BD⊥y軸于D，那么△AOC∽△CDB．設(shè)OC＝m，那么．這個(gè)方程有兩個(gè)解，分別對(duì)應(yīng)圖中圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)．【典例分析】例1如圖1，已知拋物線E1：y＝x2經(jīng)過點(diǎn)A(1,m)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E2經(jīng)過點(diǎn)B(2,2)，點(diǎn)A、B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、B′．（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、B、B′為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，連結(jié)OP并延長(zhǎng)與拋物線E2相交于點(diǎn)P′，求△PAA′與△P′BB′的面積之比．圖1圖2例2如圖1，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC．動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，連結(jié)PQ，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，求t的值；（3）如圖2，當(dāng)t＜2時(shí)，延長(zhǎng)QP交y軸于點(diǎn)M，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得PQ的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)與t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1圖2例3如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，點(diǎn)E為射線CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），聯(lián)結(jié)AE交邊BC于F，∠BAE的平分線交BC于點(diǎn)G．（1）當(dāng)CE＝3時(shí)，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）設(shè)CE＝x，AE＝y(tǒng)，當(dāng)CG＝2GB時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)AC＝5時(shí)，聯(lián)結(jié)EG，若△AEG為直角三角形，求BG的長(zhǎng)．圖1例4如圖1，二次函數(shù)y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖像與x軸分別交于A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0,－3)，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖像上，CD//AB，聯(lián)結(jié)AD．過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)E，AB平分∠（1）用含m的式子表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為F．探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．圖1例5如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0)，過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q．（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N．試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1例6如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若直線l過點(diǎn)E(4,0)，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．圖1【變式訓(xùn)練】1.（2017黑龍江齊齊哈爾第19題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊在軸的正半軸上，且，以為直角邊作第二個(gè)等腰直角三角形，以為直角邊作第三個(gè)等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．2.（2017黑龍江綏化第21題）如圖，順次連接腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形各邊中點(diǎn)得到第1個(gè)小三角形，再順次連接所得的小三角形各邊中點(diǎn)得到第2個(gè)小三角形，如此操作下去，則第個(gè)小三角形的面積為．3.（2017內(nèi)蒙古通遼第26題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn).（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，求的周長(zhǎng)的最小值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使是直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.4.(2017山東濰坊第25題)（本題滿分13分）如圖1，拋物線經(jīng)過平行四邊形的頂點(diǎn)、、，拋物線與軸的另一交點(diǎn)為.經(jīng)過點(diǎn)的直線將平行四邊形分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點(diǎn).點(diǎn)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)何值時(shí)，的面積最大?并求最大值的立方根；

（3）是否存在點(diǎn)使為直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

5.(2017浙江溫州第24題)（本題14分）如圖，已知線段AB=2，MN⊥AB于點(diǎn)M，且AM=BM，P是射線MN上一動(dòng)點(diǎn)，E，D分別是PA，PB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，M，D的圓與BP的另一交點(diǎn)C（點(diǎn)C在線段BD上），連結(jié)AC，DE．（1）當(dāng)∠APB=28°時(shí)，求∠B和的度數(shù)；（2）求證：AC=AB。（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中①當(dāng)MP=4時(shí)，取四邊形ACDE一邊的兩端點(diǎn)和線段MP上一點(diǎn)Q，若以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，且Q為銳角頂點(diǎn)，求所有滿足條件的MQ的值；②記AP與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為F，將點(diǎn)F繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在MN上時(shí)，連結(jié)AG，CG，DG，EG，直接寫出△ACG和△DEG的面積之比．6.（2017湖北荊門市第24題）已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，.若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）在上是否存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.7.（2017江蘇淮安市第28題）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），連接AC，BC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由；（3）在x軸下方，該二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M，使△PQM是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）如圖②，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，0），線段PQ的中點(diǎn)為H，連接NH，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于直線NH的對(duì)稱點(diǎn)Q′恰好落在線段BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q′的坐標(biāo)．8.（2017郴州第26題）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，邊在射線上，且，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的方向以的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)不與點(diǎn)重合是，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接.（1）求證：是等邊三角形；（2）當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出的最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.9.（2017湖南長(zhǎng)沙第26題）如圖，拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，連接OD、BD、AC、AD，延長(zhǎng)AD交y軸于點(diǎn)E。（1）若為等腰直角三角形，求的值；（2）若對(duì)任意，兩點(diǎn)總關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，恰好使得，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，此時(shí)對(duì)于該拋物線上任意一點(diǎn)總有成立，求實(shí)數(shù)的最小值．10.（2017年山東省濰坊市第25