第1章導數(shù)及其應用知識點清單高二下學期數(shù)學湘教版選擇性

新教材湘教版2019版數(shù)學選擇性必修第二冊第1章知識點清單目錄第1章導數(shù)及其應用1.1導數(shù)概念及其意義1.2導數(shù)的運算1.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用第1章導數(shù)及其應用1.1導數(shù)概念及其意義一、平均速度與函數(shù)的平均變化率1.若在直線上運動的動點P在任何時刻t的位置均可用f(t)表示，則從時刻a到時刻b的位移為f(b)f(a).因為所花時間為ba，所以在時間段[a，b]內(nèi)動點P的平均速度為v[a，b]=f(b)-f(a)b-a2.一般地，我們把f(b)-f(a)b-a稱為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)的平均變化率，二、瞬時速度1.定義：運動物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.2.數(shù)學表達式：若物體的運動方程為s=f(t)，則物體在任意時刻t的瞬時速度v(t)，就

是平均速度v(t，d)=f(t+d)-f(t)d在d趨近于0時的極限三、函數(shù)的瞬時變化率與導數(shù)1.瞬時變化率一般地，若函數(shù)y=f(x)的平均變化率f(u+d)-f(u)d在d趨近于0時，有確定的極限值，則稱這個值為該函數(shù)在2.導數(shù)(1)導數(shù)的定義：設函數(shù)y=f(x)在包含x0的某個區(qū)間上有定義，在d趨近于0時，如果比值f(x0+d)-f(x0)d趨近于一個確定的極限值，則稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)或微商，記作f'(x(2)導數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)就是函數(shù)y=f(x)的圖象在點(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k=f'(x0).相應地，此切線的方程為yf(x0)=f'(x0)(xx0).四、函數(shù)的平均變化率1.函數(shù)的平均變化率實質(zhì)上是指函數(shù)值的增量與自變量的增量之比，其作用是刻畫函數(shù)值在區(qū)間[a，b]上變化的快慢.它的幾何意義是函數(shù)f(x)的圖象上P1(a，f(a))，P2(b，f(b))兩點連線(即割線P1P2)的斜率.五、求函數(shù)在某點處的導數(shù)1.求函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)的三個步驟(1)求函數(shù)值的變化量，即f(x0+d)f(x0)；(2)求函數(shù)的平均變化率，即f(x(3)求(2)中的表達式在d趨近于零時的值，即為f'(x0).六、曲線在某點處的切線與曲線過某點的切線1.曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程：(1)點P(x0，f(x0))為切點；(2)切線斜率k=f'(x0)；(3)切線方程為yf(x0)=f'(x0)(xx0).2.曲線y=f(x)過點P(x0，f(x0))的切線方程：(1)點P可能是切點，也可能不是切點.(2)如果點P不是切點，則切線可能不止一條，切線條數(shù)與切點個數(shù)有關.(3)求切線方程的一般步驟：①設出切點(x1，f(x1))；②求出函數(shù)f(x)在點(x1，f(x1))處的導數(shù)f'(x1)；③寫出切線方程：yf(x1)=f'(x1)(xx1)，將(x0，f(x0))代入，求得x1；④將x1代入切線方程，化簡得切線方程.1.2導數(shù)的運算一、常見冪函數(shù)的導數(shù)1.常數(shù)函數(shù)導數(shù)為0：(c)'=0；2.恒等函數(shù)導數(shù)為1：(x)'=1；3.(x2)'=2x；4.(x3)'=3x2；5.1x'=16.(x)'=12二、基本初等函數(shù)的求導公式1.(c)'=0；2.(xα)'=αxα1(α≠0)；3.(ex)'=ex；4.(ax)'=axlna(a>0，a≠1)；5.(lnx)'=1x6.(logax)'=1xlna(a>0，a7.(sinx)'=cosx；8.(cosx)'=sinx；9.(tanx)'=1co三、函數(shù)的求導法則1.和、差的導數(shù)：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x).2.積的導數(shù)(cf(x))'=cf'(x)(c為常數(shù))；(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).3.商的導數(shù)g(x)f(x)'=f(x)g'(x)-g(x)f'(x)四、復合函數(shù)的概念及求導法則1.一般地，設y=f(u)是關于u的函數(shù)，u=g(x)是關于x的函數(shù)，則y=f(g(x))是關于x的函數(shù)，稱為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復合函數(shù).2.對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數(shù)y=f(g(x))，其求導法則為y'x=y'u·u'x，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.五、利用導數(shù)公式及求導法則求函數(shù)的導數(shù)1.求函數(shù)的導數(shù)時需要注意以下幾個方面：(1)認真分析函數(shù)表達式，若其符合導數(shù)公式的形式，則直接利用公式求解.(2)對于不能直接利用公式求解的類型，一般遵循“先化簡再求導”的原則，例如，若待求導的函數(shù)是冪函數(shù)，則根指數(shù)要化成分數(shù)指數(shù)形式；若待求導的函數(shù)是三角函數(shù)，則往往需要利用三角恒等變換公式對函數(shù)式進行化簡等.六、復合函數(shù)求導1.復合函數(shù)求導的步驟2.求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點(1)分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；(2)求導時分清是對哪個變量求導；(3)計算結果盡量簡單.七、利用導數(shù)的運算解決切線問題1.利用導數(shù)的運算法則解決切線問題，有以下幾種常見題型：(1)求曲線在某點處的切線方程；(2)已知切線的方程或斜率求切點；(3)切線問題的綜合應用.2.切線問題的處理方法：(1)對函數(shù)進行求導；(2)若已知切點，則直接求出切線斜率、切線方程；(3)若切點未知，則先設出切點，用切點橫坐標表示切線斜率，再根據(jù)條件求切點坐標.在解決此類問題時，求函數(shù)的導數(shù)是基礎，找切點是關鍵.1.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)一、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系1.函數(shù)f(x)的單調(diào)性與其導數(shù)f'(x)的正負的關系若在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f'(x)>0，則函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，(a，b)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；若在區(qū)間(a，b)內(nèi)，f'(x)<0，則函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，(a，b)為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.特別地，如果在區(qū)間(a，b)上恒有f'(x)=0，那么函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上是常數(shù)函數(shù).2.一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較快，這時函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得較慢，函數(shù)的圖象就比較“平緩”.二、導數(shù)與原函數(shù)圖象間的關系1.導函數(shù)的正負決定了原函數(shù)圖象的變化，遵循“符號為正，圖象上升；符號為負，圖象下降”的原則.根據(jù)導函數(shù)圖象在x軸的上方或下方，確定導函數(shù)的正或負.解決問題時，一定要分清是原函數(shù)圖象還是導函數(shù)圖象.2.由函數(shù)f(x)的圖象判斷其導函數(shù)f'(x)的圖象，其思維方式是利用函數(shù)f(x)的圖象得到函數(shù)的單調(diào)性，進而得到函數(shù)f'(x)的正負；由f'(x)的圖象判斷f(x)的圖象，其思維方式是利用函數(shù)f'(x)的正負來確定原函數(shù)f(x)的單調(diào)性.三、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟(1)求函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)；(2)結合定義域求出導數(shù)f'(x)的零點；(3)用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，分析f'(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.2.含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題解決含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，要考慮參數(shù)對單調(diào)性的影響，必要時要進行分類討論，主要考慮：①含參數(shù)的方程f'(x)=0是否有根；②方程f'(x)=0的根是否在定義域內(nèi)；③方程f'(x)=0的不同根的大小.四、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值（或范圍）1.已知f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)的值(或范圍)的步驟：(1)求f(x)的導數(shù)f'(x)；(2)將f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)問題轉化為不等式恒成立問題，即f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a，b)內(nèi)恒成立；(3)利用函數(shù)的最值解決不等式恒成立問題；(4)注意驗證等號能否取到.五、利用導數(shù)證明（解）不等式1.利用導數(shù)證明(解)不等式的關鍵是構造函數(shù)，因此熟悉以下結論可以達到事半功倍的效果.(1)對于f'(x)>g'(x)，可構造h(x)=f(x)g(x)，特殊地，若遇到f'(x)>a(a≠0)，則可構造h(x)=f(x)ax.(2)對于f'(x)+g'(x)>0，可構造h(x)=f(x)+g(x).(3)對于f'(x)+f(x)>0，可構造h(x)=exf(x).(4)對于f'(x)f(x)>0，可構造h(x)=f(x)x(5)對于xf'(x)+f(x)>0，可構造h(x)=xf(x).(6)對于xf'(x)f(x)>0，可構造h(x)=f(x)e(7)對于f'(x)f(x)>0，分類討論：①若f(x)>0，則構造h(x)=lnf(x)②若f(x)<0，則構造h(x)=ln[f(x)].2.利用導數(shù)證明不等式的步驟(1)將要證明的不等式f(x)>g(x)(x∈(a，b))移項，構造函數(shù)F(x)=f(x)g(x)，轉化為證明

F(x)>0(x∈(a，b)).(2)確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性，若F'(x)>0，則F(x)在(a，b)上是增函數(shù)；若F'(x)<0，則F(x)在(a，b)上是減函數(shù).(3)將區(qū)間的端點值a或b代入F(x)，若函數(shù)F(x)是增函數(shù)，且F(a)=f(a)g(a)≥0，則當x∈(a，b)時，f(x)g(x)>0，即f(x)>g(x)；若F(x)是減函數(shù)，且F(b)≥0，則當x∈(a，b)時，f(x)g(x)>0，即f(x)>g(x).1.3.2函數(shù)的極值與導數(shù)一、函數(shù)極值的定義1.極大值與極大值點設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是區(qū)間(a，b)內(nèi)的一個點，若點x0附近的函數(shù)值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0))，就說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極大值，此時x0稱為f(x)的一個極大值點.2.極小值與極小值點設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是區(qū)間(a，b)內(nèi)的一個點，若點x0附近的函數(shù)值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0))，就說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值，此時x0稱為f(x)的一個極小值點.3.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.二、函數(shù)極值的求法1.如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，就可按下列步驟求它的極值：(1)求導數(shù)f'(x).(2)求f(x)的駐點，即求方程f'(x)=0的解.(3)對于方程f'(x)=0的每一個解x0，分析f'(x)在x0左右兩側的符號(即討論f(x)的單調(diào)性)，確定極值點：①若f'(x)在x0兩側的符號為“左正右負”，則x0為極大值點；②若f'(x)在x0兩側的符號為“左負右正”，則x0為極小值點.(4)求出各極值點的函數(shù)值，就得到函數(shù)y=f(x)的全部極值.三、利用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題1.求可導函數(shù)f(x)的極值時可直接按照求極值的步驟進行求解，特別地，由f'(x)=0求

出全部的根后，可通過列表把x，f'(x)，f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況表示出來，再求

極值.2.有關含參數(shù)的函數(shù)的極值問題求含參數(shù)的函數(shù)的極值時，要根據(jù)f'(x)=0的不同類型對參數(shù)進行分類討論.通常要考慮以下幾個方面：①方程f'(x)=0有無實數(shù)根；②方程f'(x)=0的實數(shù)根是否在定義域內(nèi)；③方程f'(x)=0的實數(shù)根之間的大小關系.通過列表得到函數(shù)的極值.四、利用函數(shù)的極值求參數(shù)的值或范圍1.由函數(shù)的極值求參數(shù)的值或范圍，解題的切入點是明確極值存在的條件：極值點處的導數(shù)值為0，極值點兩側的導數(shù)值異號.解題步驟如下：①求函數(shù)的導函數(shù)f'(x)；②由極值點處的導數(shù)值為0，列出方程(組)，求解參數(shù)的值或范圍.注意：求出參數(shù)的值后，一定要驗證其是否滿足題目的條件.五、利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點（方程根）問題1.利用導數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便.2.利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，可通過極值的正用和逆用，結合分類討論、數(shù)形結合等思想方法進行有效處理，解題的關鍵是掌握求單調(diào)區(qū)間和極值的方法.1.3.3三次函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)區(qū)間和極值1.3.4導數(shù)的應用舉例一、利用導數(shù)研究函數(shù)的最大（小）值問題1.一般地，如果在閉區(qū)間[a，b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么該

函數(shù)在[a，b]上必有最大值和最小值，且必在極值點或區(qū)間端點處取得.2.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在[a，b]上的最值的步驟如下：(1)求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)f(x)在端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大者是最大值，最小者是最小值.注意：不要忽略將所求極值與區(qū)間端點處的函數(shù)值進行比較的過程.二、利用導數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題1.利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：三、含參數(shù)的函數(shù)的最值問題1.含有參數(shù)的函數(shù)的最值問題一般有兩類：（1）一類是求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，對于此類問題，參數(shù)的取值范圍不同會導致函數(shù)的單調(diào)性變化，從而導致最值變化，因此求解時常常需要分類討論，在分類討論解決函數(shù)的單調(diào)性的基礎上