生醫(yī)高數(shù)2 7新白板

xfi

f(x)在點(diǎn)x0有定義,即f(x0)存在

f(x)存在

f(x)=f(x0

f(x)在U(x0,d內(nèi)有定義,x?U(x0,d,Dyfxfx0fx)相應(yīng)于Dx的增量yy=f(0y=f(0定義f(x)在U(x0, 當(dāng)自變量的增量x趨向于零時(shí),對應(yīng)的函數(shù)的增量y也趨向于零,即 0 lim[

x) f(x0 0f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)x0稱為f(x)的連續(xù)點(diǎn)設(shè)x=x0+ Dy=f(x)-f(x0Dxfi0xfix0,Dyfi0fxfifx0f(x)x0處連續(xù)xfi

f(x)=f(x0lim[xfi

(xf(x0 limDy0Dxfi表明當(dāng)自變量在點(diǎn)x0附近作微小的變化時(shí)，對應(yīng)連f(x)在點(diǎn)x0處的一種穩(wěn)定狀態(tài)定義3 "定e0,$d0,使當(dāng)恒有f(x)f(x0

x-

若函數(shù)f(x)在(a,x內(nèi)有定義,且f(x f(x 則稱f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)若函數(shù)f(x)在[x,b)內(nèi)有定義,且f(x+) f(x 定理1：函數(shù)f(x)在x0處連 函數(shù)f(x)在處既左連續(xù)又右連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間(a,b內(nèi)連續(xù),并且在左端點(diǎn)xa處右連續(xù),在右端點(diǎn)xb處左連續(xù),則稱fx)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).例如有理整函數(shù)P(xaax+a 在(-￥￥)上連續(xù)又如,有理分式函數(shù):R(x

只要Q(x00都有xfi

R(x)=R(x0例1fx

sin1

x0,在x處連續(xù)

x=證xfi

xsinx

又f(0)=

f(x)=ffx)x0處連續(xù)例2連續(xù)性

f(x)

x+x-

x?x<

x0xfi

f(x)=lim(x+xfi

xfi

f(x)=lim(xfi

fx)在點(diǎn)x0處不連續(xù)任取x?(-￥,+￥),Dy=sin(x+Dx)-sinx=2sin2

cos(x+Dx2cos(x+Dx2

￡

￡2 有故Dy￡2 <Dx

<fi0時(shí)Dyfiysinx對任意x?(-￥,+￥)都是連續(xù)的 (x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形之一,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0不連續(xù):

(x)在x0無定義(x)在x0雖有定義,(x)在x0

f(x)不存在f(x)

f(x) f(x0這樣的點(diǎn)x0稱為間斷點(diǎn)f(x )及f 若f(x f(x ),稱x為可去間斷點(diǎn) 若f(x f(x f(x )及f(x 中至少一個(gè)不存在 ,稱y=tan

y=tan 22y=sinx

y

sinxx=0為其振蕩間斷點(diǎn) x2-

yx=1為可去間斷點(diǎn) f(x)sinx

在x0limsin解sin1在 0處沒有定義,limsinxlimsin

都不存在

xfi0時(shí),sinx

在+1-1y=f(x)=x x? =1 =12xfi

f(x)=1?f yy-1 x<(5)y=f(x)= x= x>f(0-)=- f(0+)=1x0★

y=D(x)

★f(x) 當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)- 當(dāng)x是無理數(shù)時(shí)僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷例4當(dāng)a取何值時(shí)函數(shù)f(x)=cos x<0,在x=0處連續(xù)a+ x?解f(0)xfi

f(x)=limcosx=xfixfi

f(x)=lim(axfi

x)=要使f(0-0)=f(0+0)=f a=故當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí) 函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)f(x)在點(diǎn)x0xfi

f(x)=f(x0 lim[Dxfif(x-)=f(x)=f(x+

(x0+Dx)-f(x0)]=

左連 右連 — y

x 點(diǎn)fx)在x0連續(xù)，則|fx|f2x)x0

fx|f2x)在x0fxfx)在x0xfi

f(x)=f(x0且0

f(x)

f(x0)

f(x)-f(x0\xfi

f(x)=f(x0xfi

f2(x)=xfi

f(

xfi

f(

f2(x0故|fx|f2x)在x0都連續(xù)-

x?例fx

x< 在 =0不連|fx|f2x)在

0討論函數(shù)f(x)=x2- x2-3x+答案:x1x2x設(shè)f xsin 0, 0時(shí),f(x)x 連續(xù)函數(shù)提示:f(0 ,f(0 f1

間斷點(diǎn)的類型x e1解:間斷點(diǎn)x0,x=1xfi

f(x)￥\x0為無窮間斷點(diǎn)當(dāng) 當(dāng) 故 為跳躍間斷點(diǎn)在 0,1處,f(x)連續(xù)

f( f( g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)則f(x)–g( f(x)g( f(x)(g(x)?g( 在點(diǎn)x0處也連續(xù) sinx,cosx在(-￥,+￥)內(nèi)連續(xù)tanx,cotx,secx,cscx在其定義域內(nèi)連續(xù)定理3嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù) y=sinx在[-2

,p]上單調(diào)增加且連續(xù),yarcsinx在[-1,1]上也是單調(diào)增加且連續(xù).同理yarccosx在[-1,1]上單調(diào)減少且連續(xù);yarctanx,yarccotx在[-￥,+￥]上單調(diào)且連續(xù)定理4xfi

jxa,f(u)在點(diǎn)a連續(xù)則有xfi

f[j(x)]=f(a)=f[xfi

j(證f(u)在點(diǎn)ua連續(xù) $h0,uah時(shí)f(uf(a)成立又limjx)xfi對于h>0,$d>0,使當(dāng)0<x- 恒有jx

"e>0,$d>0,使當(dāng)0<x- f(uf(a)f[jxf(a)e成立\xfi

f[j(x)]=f(a)=fxfi

j(x)].意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換2.變量代換(ujx))的理論依據(jù)例5limln(1xfi

x).1解原式limln(1xfi

x)xxfi

x]=lne=例6lime

-1xfi 解令ex-1= 則x=ln(1+當(dāng)xfi0時(shí)yfi原式y(tǒng)fi

ln(1+

=yfi

1

=

xfi

ax-x

推論：設(shè)函數(shù)ujx)在點(diǎn)x=x0連續(xù),且jx0)u0,而函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)uu0連續(xù),yf[jx)]在點(diǎn)xx0也連續(xù).

u=x

在(-￥,0)(0,￥)內(nèi)連續(xù)ysinu在(-￥,￥)內(nèi)連續(xù)\y=sinx

在(-￥0)(0,￥)內(nèi)連續(xù)★指數(shù)函數(shù)y=ax (a>0,a?在(-￥,+￥)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)★對數(shù)函數(shù)y=loga (a>0,a?在(0,+￥)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)a★y=xm=amloga y=au u=mloga在(0,+￥)內(nèi)連續(xù) 定理一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), y=cosx- D:x=x2(x-y Dx2(x-注意2.初等函數(shù)求極限的方法代入法xfi

f(x)=f(x0 (x0?定義區(qū)間例7limxfi

ex-解原式= e1-1= e-例8

xfi (

-11+x1+x

解原式

1+ 1+x2+=xfi

+1=

=

fx)sgnxgx)1x2，試研fgx)]與g[fx)]的連續(xù)性. x> g(x)=1+

f(x)

x=\f[g(x)]=sgn(1+x2)= x<f[gx)]在(-￥,+￥)nx2

x?x=gfx)]在(-￥,0)¨(0,+￥)x0xfix+2、 -x+xfi 3、limln(2cos2xfi6

. 4、 -2cosx xfit4t5、lim

tan2+ tfi- 6、設(shè)fx)xxa+x,x?

,當(dāng)a ，f(x)￥,+￥)7、函數(shù)fx)x4x1x2+x-cosx,x￡8、設(shè)fx)

1,

xfi2

f(x) xfi-

f(x) ；limsinxsina 2、lim(13tan2x)cot；xfi x- xfi3、 xfi￥2x+a+x2,x<三、設(shè)f(x)= ,x= 已知f(x)ln(b+x+x2),x>x0ab四、設(shè)函數(shù)知

fx)x0處連續(xù)，且f(00gx)￡fxgx)x021 2

2e

二、1、cosa；2、 .e三、a1,be最值定理有界定理介值定理定義：對于在區(qū)間If(x),有x0?I 使得對于任一x?I都f(x)￡f(x0 (f(x)?f(x0fx0fx)在區(qū)間I上的最大(小)值 y=1+sin y=sgnx,在(-￥,+￥)上 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I（內(nèi)有最大值或最小值 點(diǎn)x0未必唯一。

最大值點(diǎn) 定理5(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連y=ffxy=f則$x1,x2?[a使得x?[af(x)￡f(2注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立例如 y=x,x?(0, 1-x+1 0￡x<

f

= x=1-x+3 1<x￡

證設(shè)f(x?Cab由定理5M=x?[a,b

f(x),m=x?[a,b

fy故"x?[a,b],有m￡f(x)￡M f(x在[ab]上有界mOax1 b定義如果x0f(x00,則x0稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).定理8(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即f(a) f(b)<0),那么在開區(qū)間,內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),即至少有一點(diǎn)x(a<x<b)，使f(x)=0.fx0在(ab)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根yfx)的兩個(gè)端點(diǎn)位于x軸的不同側(cè),則曲線弧與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn).7fx)af(a)A及f(bB, (a<x<M證設(shè)j(x)=f(x)- M y=f(且j(a)=f(a)- A Aj(b)=f(b)-C=B-C

\j(a)j(b)< 即j(x)=f(x)-C= \f(x)=C 線y=C至少有一個(gè)交點(diǎn).推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大M與最小值m之間的任何值.例9證明方程x3 -4x2 +1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一根.證令f(x)=x3-4x2 又f(0)=1> f(1)=-2< \方程 - +1=0在(0,1)內(nèi)至少有一根例10設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)<a,f(b)>b.證明$x?(a,b), 使得f(x)=x.Fx)F(a)

f(x)-f(a)-

F(b)f(bb f(x11．f(x在[02af(0)f(2a明在[0,a上至少存在一點(diǎn)x，使得F(0)F(a)=[f(a)-f(0)][f(2a)-ff(a)f(0f(0)f(a)f(2a，故F(0)F(a0，可取x0或xaF(x)0；如果f(a)f(0)F(0)F(a)0，故由零點(diǎn)定理，至少存在一點(diǎn)x?(0,a，使得F(x0f(axf(x注意12f(a)f(b0，那么fx在(ab)內(nèi)必有零點(diǎn).例函數(shù)fx

-

0<x￡x=f(x)在(0