解答題專項提分計劃四川省2023屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題10圓錐曲線文科含解析

Page1專題10圓錐曲線（文科）1．（2022秋·四川攀枝花·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓（）的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為．點G是橢圓上一點，的周長為6．(1)求橢圓C的方程；(2)過點F1的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，點P關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點為R，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，最大值為3．【分析】（1）利用焦點三角形的周長和橢圓離心率，列方程求得，可得橢圓C的方程；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組，設(shè)點，利用韋達(dá)定理表示的面積，再通過換元構(gòu)造函數(shù)求出最大值.【詳解】（1）因為的周長為6，所以2a＋2c＝6，即a＋c＝3．又離心率，解得a＝2，c＝1，從而．∴橢圓C的方程為．（2）設(shè)直線，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得，，則，．設(shè)△PQR的面積為S，則．令，則．令，對勾函數(shù)在上為增函數(shù)，所以．所以S的最大值為，此時，所以存在當(dāng)，即直線l的方程為x＝－1時，△PQR的面積有最大值，其最大值為3．【點睛】解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．2．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓：的右焦點為在橢圓上，的最大值與最小值分別是6和2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若橢圓的左頂點為，過點的直線與橢圓交于（異于點）兩點，直線分別與直線交于兩點，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程列方程組求解即可；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，易得，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線：，，，將直線與橢圓成聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題意可得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得，當(dāng)直線垂直于軸時，，代入橢圓方程，解得，.所以直線的方程為，令，得，則，直線的方程為，令，得，則，所以，，則，即，若為定值，則必為，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線，，，聯(lián)立整理得，，則，，直線的方程為，令，得，則，直線的方程為，令，得，則，因為，所以，，則，故，即.綜上，為定值.3．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知，分別是橢圓的上下頂點，，點在橢圓上，為坐標(biāo)原點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓交于軸上方兩點，．若，試判斷直線是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若否，說明理由．【答案】(1)；(2)是，直線過定點.【分析】（1）由題可得，然后把點代入橢圓方程可得，即得；（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理法結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而即得.【詳解】（1）因為，所以，又點在圖像上，所以，所以，所以橢圓的方程為；（2）由題可設(shè)直線：，、，，由，得，則，，又，即，所以，即，，解得，又，即，所以，，所以直線過定點．4．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點分別為，，點在直線上且不在軸上，直線與雙曲線的交點分別為A，B，直線與雙曲線的交點分別為C，D．(1)設(shè)直線和的斜率分別為，，求的值；(2)問直線l上是否存在點P，使得直線OA，OB，OC，OD的斜率，，，滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，或【分析】(1)設(shè)，結(jié)合兩點求直線斜率公式即可求解；(2)假設(shè)存在滿足題意的點，設(shè)點A、B、C、D的坐標(biāo)和直線、方程，聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理和兩點求斜率公式表示出和，根據(jù)求得或，結(jié)合(1)分類討論求出對應(yīng)的P點坐標(biāo)即可.【詳解】（1）設(shè)，，則，所以；（2）假設(shè)直線l上存在點，使得．設(shè)，，，，設(shè)直線，直線，由，得，，，∴，同理，由，得得或，當(dāng)時，由（1）得，，，，得，當(dāng)時，由（1）得，或，，，，得．所以或．5．（2022·四川成都·統(tǒng)考一模）已知橢圓且四個點、、、中恰好有三個點在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l與橢圓C交于A，B兩點，且，證明：直線l與定圓相切，并求出的值.【答案】(1)；(2)證明見解析，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用橢圓的對稱性判斷橢圓經(jīng)過的三點，再代入求解作答.（2）直線l的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合垂直的向量表示，并求出原點到直線l的距離，再討論直線斜率不存在的情況作答.【詳解】（1）由橢圓的對稱性知，，必在橢圓上，則不在橢圓上，有在橢圓上，因此，解得，所以橢圓C的方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)，則點，因，則，解得，即原點O到直線l的距離為，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線，，由消去y并整理得：，有，，，因，則，整理得，滿足，原點O到直線l的距離，綜上得：原點O到直線l的距離恒為，即直線l與圓相切，所以直線l與定圓相切，.6．（四川省綿陽市2023屆高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知點A為橢圓的左頂點，過點且斜率為的直線交橢圓于B，C兩點．(1)記直線AB，AC的斜率分別為，試判斷是否為定值?并說明理由；(2)直線AB，AC分別交直線于M，N兩點，當(dāng)時，求線段MN長度的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先表示出，再設(shè)出直線方程，利用韋達(dá)定理代入即可求解.（2）首先表示出、點的坐標(biāo)，再結(jié)合第一問，利用韋達(dá)定理得到然后得到關(guān)于的表達(dá)式，再結(jié)合的范圍，即可求解.【詳解】（1）設(shè)、，由題可知，，則，，所以①.由題意，可設(shè)所在的直線方程為，與橢圓聯(lián)立可得可得，所以由韋達(dá)定理可知，，，又，，代入和，可得，將其代入①式，可得，所以,是定值.（2）由（1）可知，設(shè)所在直線方程為，所在的直線方程為，則由題意可知、，又由（1）知，則，即，化簡可得，又因為，所以，則,即.7．（四川省達(dá)州市2023屆高三第一次診斷測試模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）平面直角坐標(biāo)系?中，已知橢圓?，橢圓?.設(shè)點?為橢圓?上任意一點，過點?的直線?交橢圓?于?兩點，射線?交橢圓?于點?.(1)求證:?;(2)求?面積的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)?.【分析】(1)設(shè)，可以求出，代入可求解.(2)?面積為?，設(shè)出方程，與橢圓聯(lián)立尋找韋達(dá)定理，把的面積表示為的關(guān)系，然后換元解決.【詳解】（1）設(shè)?，由題意知?.因為?，又?，即?，所以?，即?.（2）由（1）知，?面積為?，設(shè)?.將?代入橢圓?的方程，可得?，由?，可得?，①則有?.所以?.因為直線?與?軸交點的坐標(biāo)為?，所以?的面積??.設(shè)?，將?代入橢圓?的方程，可得?，由?，可得?，②由（1）（2）可知?，因此?，故?，當(dāng)且僅當(dāng)?，即?時取得最大值?.所以?面積的最大值為?.8．（四川省雅安市2022屆高三第三次診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓C：的右焦點為F，長軸長為4，離心率為.過點的直線與橢圓C交于A，B兩點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)設(shè)直線AF，BF的斜率分別為，求的值.【答案】(1)(2)0【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組即可求解；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理可得，，根據(jù)，代入，即可求解.(1)解：由已知有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)解：由已知直線l斜率不為零，設(shè)直線l的方程為，由，消去x得，令得，設(shè)，，則有，，易知，∴，所以的值為0.9．（四川省涼山州2022屆高三第三次診斷性檢測數(shù)學(xué)（文科）試題）已知橢圓經(jīng)過點，過其焦點且垂直于x軸的弦長為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知曲線，在點P處的切線l交于M，N兩點，且，求l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，，解得（2）設(shè)切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可求切線方程，由可得，結(jié)合韋達(dá)定理求解．（1）（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得：橢圓過即

解得：∴橢圓方程為（2）設(shè)由即得，∴切線l的切點坐標(biāo)為斜率為切線l的方程為：即，聯(lián)立方程消去得則可得：………①………②∵即則，即………③由①③可得：………④把④代入②：整理得：∵則經(jīng)檢驗符合題意∴直線l得方程為或10．（四川省遂寧市2022屆高三下學(xué)期三診考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，坐標(biāo)原點為O，離心率，過且垂直于軸的直線與交于兩點，；過且斜率為的直線與C交于，點．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)令，的中點為，若存在點（），使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法求出的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）用設(shè)而不求法表示出，根據(jù)，得到，列表達(dá)式，求出的取值范圍.（1）由題意可得：過且垂直于軸的直線與交于兩點，所以，所以.又有，，解得：.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知：.可設(shè)直線PQ:.設(shè)，則，消去y，可得：.因為在橢圓內(nèi)，所以直線PQ與橢圓恒有兩個交點，..設(shè)，則，即.直線PQ的方向向量為，.因為，所以.所以.因為，所以，解得：或.即的取值范圍為.11．（四川省內(nèi)江市2022屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)文科試題）已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上第一象限的點，直線過P且與橢圓C有且僅有一個公共點.①求直線的方程（用，表示）；②設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線分別與x軸，y軸相交于點M，N，求面積的最小值.【答案】(1)；(2)；.【分析】(1)根據(jù)橢圓離心率的概念和點在橢圓上列出關(guān)于a、b、c的方程組，結(jié)合解方程組即可；(2)根據(jù)題意可得，設(shè)直線l方程，聯(lián)立橢圓方程，利用根的判別式等于0得出關(guān)于k的一元二次方程，根據(jù)公式法解出k，代入直線l方程即可；求出點M、N的坐標(biāo)，根據(jù)和基本不等式可得，結(jié)合三角形面積公式化簡計算即可.(1)由題意知，橢圓的離心率為，且過點，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)①因為是橢圓在第一象限的點，所以，即()，設(shè)直線l方程為，則，消去y，整理得，則，整理，得，即，則，解得，所以直線l方程為，即；②令，得，令，得，即，由()，得，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，得，所以，此時，故當(dāng)點P的坐標(biāo)為，的面積最小，最小值為.12．（四川省成都市2022屆高三第二次診斷性檢測文科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：經(jīng)過點，其右頂點為A（2，0）．(1)求橢圓C的方程；(2)若點P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為．證明直線PQ經(jīng)過定點，并求△APQ面積的最大值．【答案】(1)(2)證明見解析，定點，△APQ面積的最大值為．【分析】（1）根據(jù)題意可得，再結(jié)合，即可解出，從而得出橢圓C的方程；（2）依題可設(shè)，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，即可得到，然后結(jié)合，可找到的關(guān)系，從而可知直線PQ經(jīng)過定點，于是△APQ面積等于，即可求出其最大值．【詳解】（1）依題可得，，解得，所以橢圓C的方程為．（2）易知直線AP與AQ的斜率同號，所以直線不垂直于軸，故可設(shè)，，，由可得，，所以，，，而，即，化簡可得，①，因為，所以，令可得，②，令可得，③，把②③代入①得，，化簡得，所以，或，，所以直線或，因為直線不經(jīng)過點，所以直線經(jīng)過定點．設(shè)定點，所以，，因為，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，即△APQ面積的最大值為．13．（四川省瀘州市2022屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試文科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：的左，右頂點分別為A，B，且，橢圓C過點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)斜率不為0的直線l與C交于M，N兩點，若直線BM的斜率是直線AN斜率的兩倍，證明直線l經(jīng)過定點，并求出定點的坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，.【分析】（1）根據(jù)橢圓長軸長及過點，列出方程組，求出的值，求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立后得到根與系數(shù)的關(guān)系，由斜率關(guān)系得到方程，化簡后得到，進(jìn)而求出直線所過定點.(1)由題意：，且，解得：，，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.(2)由（1）得：，，設(shè)，，，聯(lián)立橢圓方程得：，則，，又，，所以，化簡得：，將，代入得：，由于不恒為0，所以，解得：，故過定點，即直線l過定點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：這道題目的難點是在根據(jù)斜率關(guān)系得到的方程時，通過整理不能整理出兩根之和的對稱形式，此時要適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行整理，通過湊出對稱式，因式分解求出的關(guān)系或者的值，進(jìn)而求出直線所過的定點.14．（四川省巴中市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期一診數(shù)學(xué)文科試題）已知橢圓C：（a>b>0）的左?右焦點分別為，，點滿足，且的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的上頂點為P，不過點P的直線l交C于A，B兩點，若，證明直線l恒過定點.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】(1)由可得，由題意點在橢圓上，將點坐標(biāo)代入橢圓，結(jié)合可得答案.(2)由題意，根據(jù)條件直線的斜率必存在,設(shè)直線的方程為，,將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由，則，將韋達(dá)定理代入，可得出答案.（1）由,則，所以又，則點在橢圓上所以，又聯(lián)立解得所以橢圓C的方程；（2）由題意，根據(jù)條件直線的斜率必存在設(shè)直線的方程為，由，得所以（*）由，則所以，即，即或（舍）將代入（*）成立.所以直線的方程為，所以直線恒過點15．（2022·四川南充·統(tǒng)考一模）已知拋物線上一點到準(zhǔn)線的距離為，焦點為，坐標(biāo)原點為，直線與拋物線交于、兩點（與點均不重合）．(1)求拋物線的方程；(2)若以為直徑的圓過原點，求與的面積之和的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由拋物線的定義求出的值，即可得出拋物線的方程；（2）分析可知直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用可求得的值，可知直線過定點，再利用三角形的面積公式以及基本不等式可求得與的面積之和的最小值.【詳解】（1）解：由拋物線的定義可知點到準(zhǔn)線的距離為，解得，所以，拋物線的方程為.（2）解：若直線垂直于軸，此時直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，不妨設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，，解得，所以，直線的方程為，直線過定點，則，不妨設(shè)，則，則，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，與的面積之和的最小值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．16．（2023春·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）圓的離心率為，且過點，點分別為橢圓的左頂點和右頂點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在定點，對任意過點的直線（在橢圓上且異于兩點），都有.若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）由橢圓所過點、離心率和之間關(guān)系可構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，求得坐標(biāo)，可得；當(dāng)直線斜率存在時，假設(shè)直線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求得點坐標(biāo)，同理可求得點坐標(biāo)，利用可整理得到，由此可確定；綜合兩種情況可得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：，解得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）知：，；①當(dāng)直線斜率不存在時，由得：或，若，，則，，，解得：；若，，同理可求得：；②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，則；設(shè)直線，由得：，，解得：，，又，同理可得：，，，整理可得：，當(dāng)時，恒成立；綜上所述：存在滿足題意的點，使得恒成立，此時.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓中存在定點滿足某條件的問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為兩點與定點連線的斜率相等的關(guān)系，從而利用兩點連線斜率公式構(gòu)造關(guān)于變量的方程，由方程恒成立可求得結(jié)果.17．（2023·四川綿陽·綿陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一定點，定直線，設(shè)動點P到定直線的距離為d，且滿足．(1)求動點P的軌跡方程；(2)直線過定點Q，與動點P的軌跡交于不同的兩點M，N，動點P的軌跡與y的負(fù)半軸交于A點，直線分別交直線于點H、K，若，求k的取值范圍．【答案】(1)動點P的軌跡方程為橢圓(2)【分析】（1）設(shè)動點P的坐標(biāo)為，根據(jù)題意列式再化簡方程求解即可；（2）設(shè)，再根據(jù)的直線方程得出，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得出韋達(dá)定理與判別式中的范圍，進(jìn)而將韋達(dá)定理代入化簡可得，結(jié)合判別式中的范圍即可得【詳解】（1）設(shè)動點P的坐標(biāo)為，因為，所以，即，整理得．所以動點P的軌跡方程為橢圓．（2）設(shè)，由（1）可得A的坐標(biāo)為，故直線，令，則，同理．直線，由，消去y得，故，解得或．又，故，又，∵，故，即，綜上，或．所以k的取值范圍是．18．（2023秋·四川瀘州·高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？计谀┮阎c是橢圓的左頂點，橢圓的離心率為，(1)求橢圓的方程；(2)斜率為的直線交橢圓于兩點，點在橢圓上，，且，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用給定左頂點及離心率求出a，b作答.（2）求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長，弦長，再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性、零點推理作答.【詳解】（1）依題意，，橢圓半焦距c，則，即，因此，所以橢圓的方程為.（2）直線的方程為：，由消去y并整理得：，設(shè)，由得，于是得，因，即直線的斜率為，同理得，而，即，整理得，令，則是的零點，又，因此在單調(diào)遞增，又，即在有唯一的零點，且零點在內(nèi)，所以.【點睛】思路點睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設(shè)出直線方程，再與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合已知推理求解.19．（2022秋·四川成都·高三?？计谥校┤鐖D，已知橢圓的左、右兩個焦點分別為、，左、右頂點分別為、，離心率為，過的動直線與橢圓交于、兩點，且的周長為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在軸上是否存在點，使得（為坐標(biāo)原點），若存在，求出點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在滿足條件【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求出的值，可得出、的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)存在點使得恒成立，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，分析可知，利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：的周長為，，，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：由題意可知，直線不與軸重合，假設(shè)存在點使得恒成立，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，因為，則，所以，恒成立，所以，，解得，因此，存在滿足條件.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.20．（2022秋·四川成都·高三石室中學(xué)?？计谥校┮阎€C上的任意一點到點的距離和它到直線l：的距離的比是常數(shù)，過點F作不與x軸重合的直線與曲線C相交于A，B兩點，過點A作AP垂直于直線l，交直線l于點P，直線PB與x軸相交于點M.(1)求曲線C的方程；(2)求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意列出曲線方程化簡即可求解；（2）設(shè)直線AB的方程為，，，表示出，聯(lián)立直線與橢圓方程消去，表示出關(guān)于的韋達(dá)定理，結(jié)合求出直接PB的方程，令，求出坐標(biāo)，進(jìn)而得到，由求出面積，結(jié)合換元法和對勾函數(shù)性質(zhì)可求面積的最大值.【詳解】（1）設(shè)曲線C上的任意一點的坐標(biāo)為，由題意，得，即，所以曲線C的方程為；（2）由題意，設(shè)直線AB的方程為，，，則.聯(lián)立方程得，則，所以，，所以.又因為，所以直線PB的方程為.令，則，所以，.因為，所以.令，，則.又因為在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，故面積的最大值為.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．（2022·四川南充·高三統(tǒng)考期中）已知橢圓：（）的離心率為，且．(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與自右向左依次交于點，，點在線段上，且，求證：點橫坐標(biāo)為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)離心率的定義，結(jié)合，建立方程，即得；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，利用韋達(dá)定理法，設(shè)出的坐標(biāo)，利用結(jié)合條件即得.【詳解】（1）由題意，，可設(shè)，，則，由，可得，解得，故橢圓；（2）設(shè)過點的直線方程為，，聯(lián)立可得，消去可得，由，解得，則，依題意，可設(shè)，由在線段上，則，所以，因為，所以由，可得，則，所以，將代入上式并整理可得，解得，則，即點橫坐標(biāo)為定值.22．（2023春·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）橢圓的離心率為，右頂點為A，設(shè)點O為坐標(biāo)原點，點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，面積的最大值為．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線交x軸于點P，直線PB交橢圓E于另一點C，直線BA和CA分別交直線l于點M和N，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由離心率得，代入面積的最大值為可求得得橢圓方程；（2）設(shè)直線BC方程為，，，直線方程代入橢圓方程后由韋達(dá)定理得，由直線方程求得的縱坐標(biāo)，從而計算并代入可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意，設(shè)橢圓半焦距為c，則，即，得．設(shè)，，由，所以的最大值為，將代入，有，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2），設(shè)，因為點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，則直線BC不與x軸重合，設(shè)直線BC方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，直線BA的方程為，令得點M縱坐標(biāo)，同理可得點N縱坐標(biāo)．則，，所以．【點睛】方法點睛：直線與橢圓相交問題，常常設(shè)出直線方程，代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得（或），再利用交點坐標(biāo)表示出題中要求的量，代入韋達(dá)定理的結(jié)果化簡即可得結(jié)論．23．（四川省成都市2023屆高三第一次診斷性檢測數(shù)學(xué)（文科）試題）已知橢圓的左，右焦點分別為，上頂點為，且為等邊三角形．經(jīng)過焦點的直線與橢圓相交于兩點，的周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)求的面積的最大值及此時直線的方程．【答案】(1)；(2)最大值3，此時直線的方程為.【分析】（1）由為等邊三角形，得到，由橢圓定義得到的周長為，求出，進(jìn)而求出，得到橢圓方程；（2）推理出直線斜率不為0，設(shè)出直線，聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，表達(dá)出的面積，換元后結(jié)合基本不等式求出最大值及此時直線的方程.【詳解】（1）由為等邊三角形，，，故，，的周長為，得．，橢圓的方程為；（2）由（1）知，且直線斜率不為0．設(shè)直線．由消去，得，顯然，，由面積，而，設(shè)，則．在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，．即當(dāng)時，取得最大值3，此時直線的方程為．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．24．（四川省達(dá)州市普通高中2023屆高三第一次診斷性測試文科數(shù)學(xué)試題）已知是橢圓的一個焦點，過點的直線交于不同兩點.當(dāng)，且經(jīng)過原點時，.(1)求的方程；(2)為的上頂點，當(dāng)，且直線的斜率分別為時，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線過原點，關(guān)于原點對稱，結(jié)合橢圓的定義與對稱性求得長半軸長，再由求得，從而得橢圓方程；（2）設(shè)，設(shè)，代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后代入化簡可得．【詳解】（1）由題意，當(dāng)，且經(jīng)過原點時，的方程為，且點關(guān)于原點對稱.設(shè)，將代入，并化簡得，即，..設(shè)的另一個焦點為，根據(jù)對稱性，，根據(jù)橢圓定義得.所以的方程為.（2）由（1）知，點坐標(biāo)為.由題意可設(shè)，即，將該式代入，并化簡得.設(shè)，則...即.【點睛】方法點睛：直線與橢圓相交問題的解決方法，設(shè)交點坐標(biāo)為，設(shè)直線方程，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，把此結(jié)果代入題中要求解的式子變形化簡后可得結(jié)論．25．（四川省成都市2022屆高三第三次診斷考試文科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，橢圓C的右頂點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4．(1)求橢圓C和拋物線E的方程；(2)設(shè)與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l與拋物線E相交于A，B兩點，與橢圓C相交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，若，則在x軸上是否存在點H，使得x軸平分？若存在，求出點H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在；【分析】（1）依題意得到方程組，即可求出，，從而得到橢圓方程，再求出橢圓的右頂點，即可求出，從而求出拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)得到，再假設(shè)在軸上存在點，使得軸平分，則直線的斜率與直線的斜率之和為，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，由，即可求出，從而求出的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：由已知得，∴，．∴橢圓的方程為．∴橢圓的右頂點為．∴，解得．∴拋物線的方程為．（2）解：由題意知直線l的斜率存在且不為0．設(shè)直線的方程為，，．由消去y，得．∴，∴．∴，．∴．∴．∴，∴．∴，此時．∴直線l的方程為．假設(shè)在軸上存在點，使得軸平分，則直線的斜率與直線的斜率之和為，設(shè)，，由消去，得．∴，即恒成立．∴，．∵，∴．∴．∴．∴．解得．∴在軸上存在點，使得軸平分．【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查橢圓的方程以及韋達(dá)定理法在圓錐曲線綜合中的應(yīng)用，屬于難題；在解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．26．（四川省眉山市2022屆高中第三次診斷性考試數(shù)學(xué)（文史類）試題）如圖，橢圓：的離心率為e，點在上.A，B是的上?下頂點，直線l與交于不同兩點C，D（兩點的橫坐標(biāo)都不為零，l不平行于x軸）.點E與C關(guān)于原點O對稱，直線AE與BD交于點F，直線FO與l交于點M.(1)求b的值；(2)求點M到x軸的距離.【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）由題可得，即得；（2）設(shè)聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，利用韋達(dá)定理結(jié)合條件可得，進(jìn)而可得，結(jié)合直線，即得.（1）∵，點在上，∴，∴，即；（2）由題可得橢圓：，即，設(shè)直線，代入橢圓方程可得，，設(shè)，則，∴，，又點E與C關(guān)于原點O對稱，，∴，故直線①，直線②，由①②可得，∴直線的斜率為，∴直線，把代入可得，所以，點M到x軸的距離為1.27．（四川省德陽市2022屆高三“三診”數(shù)學(xué)（文科）試題）橢圓的左?右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)不過原點О的直線與橢圓交于M，N兩點，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由，得到，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，因為直線的斜率依次成等比數(shù)列，得到，解得，進(jìn)而求得且，再結(jié)合弦長公式和點到直線的距離公式，得到，即可求解.(1)解：由題意，橢圓的離心率為，可得，即，又由過