中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明方法

1/1中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明方法中學(xué)不等式證明方法探究

證明不等式的方法敏捷多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強(qiáng)要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟識(shí)各種證法中的推理思維，并把握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)．在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч?，為溝通?lián)系的途徑，證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到欲證的目的．

通過不等式的基本學(xué)問、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分學(xué)問中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)學(xué)問間的融匯貫穿，從而提高分析問題解決問題的力量．在應(yīng)用不等式的基本學(xué)問、方法、思想解決問題的過程中，提高同學(xué)數(shù)學(xué)素養(yǎng)及創(chuàng)新意識(shí)．1、比較法

比較法是證明不等式的一種最基本的方法，也是最常用的的方法，基本不等式就是用比較法證明的。其難點(diǎn)在其次步的“變形”上，變形的目的是有利于第三步推斷，求差比較法變形的方向主要是分解因式、配方。1）作差比較法的理論依據(jù)有：

.0,0,0=-?=-?>babababababa

2）作商比較法的理論依據(jù)有：

.1,0>?>>ba

bab

3）作差（商）比較法的步驟：

作差（商）→變形→推斷符號(hào)（與1的大?。├?：求證：234221xxx+≥+證明：法一：)221(234xxx+-+

23422223332210

]2

1

)21(2[)11221

122)(112)(11)(11(2xxxxxxxxxxxxxxxxxxx+≥+∴≥++-=++-=-+--==-+--=

法二：)2(21234xxx+-+

2

342222242342210

)1(1

22xxxxxxxxxxx+≥+∴≥-+-=+-++-=

說明：法一的變形主要是因式分解，其難點(diǎn)在于分解123--xx的因式，推斷1222++xx的符號(hào)除用配方法外，還可用判別式法（此法我們后面再述）。證法二的變形主要是配方法，難點(diǎn)在于拆項(xiàng)，此法筆者又將其歸納為裂項(xiàng)法。通過本例，可以了解求差比較法的全貌，以及關(guān)鍵的其次步變形。

例2：已知0,1>>λa，求證：)2(log)(log)(λλλ+>++aaaa證明：aaaaaaaa)(log)2(log)

(log)2(logλλλλλλ+++?+=++

).

(log)2(log,0)(log1

]2

)(log[

]2

)

2(log[

]2)

2(log[

]2

log)2(log[

)(22

)(22)(2

)(2

)(λλλλλλλλλλλλλ++=+>>cba，求證：（1）babaabba>

（2）bacacbcbacbacba+++>222

證明：（1）0>>>cba，babababa

a

bba-=)(

又0,1,0>->∴

>>bab

a

baa

bbaababb

ababababab

ababa>∴>>>∴-0

,1,1)(又即（2）由（1）的結(jié)果，有

0,0,0>>>>>>caacbccbabbaacaccbcbbaba

兩邊分別相乘得

b

ac

ac

bc

b

a

cabcabaccbbac

b

a

c

baa

ccbbaaccbba+++>∴??>??222

2、綜合法

利用某些證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所求證的不等式，這種證明方法叫做綜合法，綜合法的思索路線是“由因?qū)Ч?。?：（1）已知證：

為不全相等的正數(shù)，求cba,,

3>-++-++-+cc

babba

caacb（2）已知1,,=abccba為不相等正數(shù)，且，

求證：c

ba

cba1

11++-+++++∴

ac

cacbbcbaab（得證；證法二：)222(

-+++-+++-++=c

c

bab

cbaacba左式

3

696

1

336)111)(,,6

)111)((33=-=-?>-++++∴-++++=abc

abccbacbacbac

ba

cba（為不全等正數(shù)

得證。

（2）證法一：1,,=abccba為不等正數(shù)，且

c

babaa

ccbab

cabccba1

11211211211111+

+=+

++++++

+++=++=++∴222222111得證。

說明：（1）題兩種方法的差別主要在于對(duì)不等式左邊施行不同的恒等變形，其目的都是為了有效地利用基本不等式，敏捷地運(yùn)用均值不等式，這也是綜合法證明不等式的主要技巧之一；

（2）題是條件不等式的證明，要找出條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析已知與求證，不等式左邊與右邊的差異與聯(lián)系，去異求存同，找到證題的切入口，本題合理運(yùn)用條件

1=abc的不同變形。

3、分析法

從求證的不等式動(dòng)身，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問題轉(zhuǎn)化為推斷這些條件是否具備的問題，假如能夠確定這些條件都已具備，那么就可判定所求證的不等式成立，這種證明方法叫做分析法，分析法的思路是“執(zhí)果索因”。

例5：已知函數(shù))21,0,11lg(∈-=xxxf，若.)2

1

,0(,2121xxxx≠∈且

求證：)2

]([21

2121xxfxfxf+>+

證明：要證原不等式成立，只需證明22

121)12

11)(11(-+>--xxxx事實(shí)上，2121,2

1

0xxxx≠+-+>--∴-+>-->+--=++

+=

-+∴故即是

得證。4、換元法

換元法是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本方法。在不等式的證明過程中，根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將不等式中的變量作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，可使不等式的結(jié)構(gòu)明朗，從而使不等式變得簡單證明，這種方法稱為換元法。換元法的目的是把合命題化簡、化熟，把簡單的、不熟識(shí)的命題化為簡潔的、熟識(shí)的命題。

換元法在很多實(shí)際問題的解決中可以起到化難為易、化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，但若通過換元法的思想與方法來解就很便利，換元法多用于條件不等式的證明中，一般有增量換元、三角換元、和差換元、向量換元、利用對(duì)稱性換元、借助幾何圖形換元等幾種方法。1）增量換元

對(duì)對(duì)稱式（任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變）和給定字母挨次的不等式，常用增量換元，換元的目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡。

例6：已知.4

11,c

ac

bba

cba-≥-+->>求證：

分析：考慮到)(cbbaca-+-=-，由此可以令,0,0>-=>-=cbybax這時(shí)問題轉(zhuǎn)

化為“y

xyxyx+≥+>4

11,0,證明若”。

證明：令yxcacbybax+=->-=>-=,0,0，下面只要證明：

y

xyx+≥+411即可。取等號(hào)）

即當(dāng)且僅當(dāng)cabyxyx

xyyxxyyxyxyx+====+≥++=++∴>2,,(4222))(11(,0,成立。即c

ac

bbayxyx-≥-+-+≥+∴4

11,411例7：若.2,0222abababba≥-+-≥≥求證：分析：如何利用已知不等式0≥≥ba是證明本題的關(guān)鍵，

由于)00(0≥+=?≥=-?≥?≥-hhbahhbababa，這樣可把已知的不等式關(guān)系換成相等關(guān)系。

證明：),0(,0≥+=≥≥hhbaba設(shè)

.

222)(22222222

22222abababa

hbbhhnhbbhbbhbbbabab≥-+-∴=+≥+++=-++-+=-+-則

得證。

2）三角換元

三角換元就是依據(jù)已知的一些三角等式、三角代換來解決題目中的某些問題，如，問題中

若

已知

θθsi

n,cos)),,0(222ayaxaayx==+∞∈=+可設(shè)；若已知

)1(sin,cos,12

2

≤==≤+rryrxyxθθ可設(shè)；若已知，

或1122

222222=-=+b

yaxbyax則條件可設(shè)??

?==???==,tan,

sec;sin,cosθθθθyaxayax或其中θ的范圍取決于yx,的取值范圍，等等。例8：已知.1,1,1,,,2222≤+=+=+bdacdcbadcba求證：都是實(shí)數(shù)，且

分析：由1,12222=+=+dcba，可以聯(lián)想到1cossin22=+αα的關(guān)系作三角代換。證明：,cos,sin,cos,sin,1,12222ββαα=====+=+dcbadcba所以可設(shè),)cos(coscossinsinβαβαβα-=+=+∴bdac

1,1)cos(≤+∴≤-bdacβα又，即原不等式成立。3）和差換元

例9：對(duì)任意實(shí)數(shù).2

222,,6

63322bababababa+≤+?+?+求證：分析：對(duì)于任意實(shí)數(shù)ba與，都有2

2,22b

ababbabaa--+=-++=

，令tsbtsab

at

bas-=+=-=+=

,,2

,2則有。證明：設(shè)tsbtsa-=+=,，下面只需證

.1515)3)((6422462322ttstssststss+++≤++

.

2

222,1515)3)((,012116

63322642246232264224babababattstssststssttsts+≤+?+?++++≤++∴≥++=-即左邊右邊

得證。4）向量換元

例10：已知.221212,1,,≤+++=+∈+babaRba求證：

分析：將不等式變形為12122121121+++?≤+?++?baba，觀看其結(jié)構(gòu)我們可

聯(lián)想到學(xué)習(xí)兩個(gè)向量的內(nèi)積是有這樣一共性質(zhì)：2211baba?+?=?≤?。

證明：設(shè))12,12,1,1(++==ba，

則有12122,1212+++==+++=?baba

.221212,2,1≤+++≤?==+aanmba得由性質(zhì)

5）利用對(duì)稱性換元

例11：設(shè)).)((,,,cbabacacbabcRcba-+-+-+≥∈+求證：

分析：經(jīng)過觀看，我們發(fā)覺，把cba,,中的兩個(gè)互換，不等式不變，則可令

.8))((,,,xyzxzzyyxcbazbacyacbx≥+++-+=-+=-+=則原不等式可化為：證明：令cbazbacyacbx-+=-+=-+=,,

.8))((0,,,)(2

1

),(21),(21xyzxzzyyxxyzRcbayxczxbzya≥+++xyz時(shí)，有+∈Rzyx,,（否則zyx,,中必有兩個(gè)不為正值，不妨設(shè)0,0≤≤yx則0≤c，這與0>c沖突）

因此：02,02,02>≥+>≥+>≥+zxxzyzzyxyyx則有：xyzxzzyyx8))((≥+++綜上，恒有xyzxzzyyx8))((≥+++，

把zyx,,的值代人上式得：).)((cbabacacbabc-+-+-+≥得證。6）借助幾何圖形換元

例12：已知cba,,是ABC?三邊的長，求證：.222222333accbbaaccbba++≥++分析：如圖，作為切點(diǎn)的內(nèi)切圓，設(shè)FEDABC,,?，令.,,AEzCDyBDx===（其中+∈Rzyx,,）

，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：zyxyyxxxzzzy222)(2

22++≥+++++（1）再利用均值不等式：abba2≥+。

證明：設(shè)FED,,為切點(diǎn)，令.,,AEzCDyBDx===則原不等式可化為（1）的形式，又

由于+

∈Rzyx,,，則有，.2,2,22

22xyy

xzxxzyzzy≥+≥+≥+所以（1）式成立，故原不

等式成立。得證。

7）代數(shù)換元

例13：已知+∈Rcba,,，且.23131313,1≤+++++=++cbacba求證：分析：引入?yún)?shù)，配湊成二次方程轉(zhuǎn)化為二次不等式證明：設(shè).131313kcba=+++++則可令.0,3

13,313,313321321=+++=++=++=

+ttttk

ctkbtka其中所以232221)3

33(131313tk

tktkcba+++++=+++++

即)(3)(32362

3222122322213212tttkttttttkk+++=++++++=

所以3

62

k≥，解得

23≤k，即23131313≤+++++cba。得證。8）分式換元

例14：設(shè)2232

1,1,0,0+≥+=+>>y

xyxyx求證：

分析：由于,0,0,1>>=+yxyx所以用分式換元，轉(zhuǎn)化為均值不等式證明。證明：設(shè))0,0(,>>+=+=

bab

abybaax，則22323)(221+≥++=+++=+b

a

abbbaabayx，即

2232

1+≥+y

x9）比值換元法

對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問題，往往可先設(shè)一個(gè)幫助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式即可。

例15：已知.10,421222≥++-=+=-zyxzyx求證：證明：設(shè)kzyx=-=+=-421，于是4,2,1+=-=+=kzkykx

把zyx,,代入222zyx++得：1010)1(310)12(31363222≥++=+++=++kkkkk。得證。5、放縮法

為了證明不等式，有時(shí)需舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性達(dá)到證題的目的，這種方法稱為放縮法，放縮時(shí)主要方法有：

1）舍去或加上一些項(xiàng)，如：.)2

1

(43)21(22+>++aa

2）將分子或分母放大（縮小），如：

).1,.(1

21,1

21

,)1(11,)1(112

2>∈++>

-+-+++?+?=2211)1(3221

.2

)

1(21+=

+++=nnn又)..(2

)

11(,1Nkkkkkkk∈++A,先假設(shè)BA≤，依據(jù)題設(shè)及其他性質(zhì)推出沖突，從而確定B>A成立。

例17：已知.2

1

)3(,)2(,)1(,)(2不全小于求證：

fffbaxxxf++=證明：假設(shè),2

1

)3(,21)2(,21)1(21)3(,)2(,)1(=++=++∈aazyxazyxRzyx用且求證zyx,,都是不大于a

3

2

的非負(fù)數(shù)。

證明：由22222

1

,azyxyxaz=++--=代入，可得

。得證。

，同理可得：，化簡得即，azaxayaayyayayyaRxayayxyax3

2

032032

00,0230

]2

1

)([8)(4,00

2

1

)(22222222222≤≤≤≤≤

≤∴>≤-≥--+--≥?∴∈=--++--8、構(gòu)造法

有些不等式可構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)性質(zhì)，或構(gòu)造復(fù)數(shù)利用復(fù)數(shù)向量有關(guān)性質(zhì)，或構(gòu)造幾何圖形利用集合學(xué)問，還可以構(gòu)造數(shù)列利用數(shù)列相關(guān)性質(zhì)來證明不等式。1）利用函數(shù)的單調(diào)性

例19：求證：

.111b

ba

ab

aba++

+≤

+++

分析：由不等號(hào)兩邊形式可歸納為)0.(1)(≥+=

xx

x

xf的形式，因此可考慮函數(shù)x

x

xf+=

1)(在0≥x時(shí)的單調(diào)性。證明：構(gòu)造函數(shù)xx

xf+=

1)(，設(shè)210xx<≤，0)

1)(1(1121212211<++-=+-+xxxxxxxx)(xf∴在0≥x上是增函數(shù)，且baba+≤+

令baxbax+=