高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)大全

1/1高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)大全高中數(shù)學(xué)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、冪函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。

必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面對量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個高中同學(xué)所必需學(xué)習(xí)的。

上述內(nèi)容掩蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些學(xué)問的發(fā)生、進(jìn)展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。

此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。

選修課程有4個系列：

系列1：由2個模塊組成。

選修1—1：常用規(guī)律用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

選修1—2：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個模塊組成。

選修2—1：常用規(guī)律用語、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修2—2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

選修2—3：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。

系列3：由6個專題組成。

選修3—1：數(shù)學(xué)史選講。

選修3—2：信息平安與密碼。

選修3—3：球面上的幾何。

選修3—4：對稱與群。

選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。

選修3—6：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充。

系列4：由10個專題組成。

選修4—1：幾何證明選講。

選修4—2：矩陣與變換。

選修4—3：數(shù)列與差分。

選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。

選修4—5：不等式選講。

選修4—6：初等數(shù)論初步。

選修4—7：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。

選修4—8：統(tǒng)籌法與圖論初步。

選修4—9：風(fēng)險與決策。

選修4—10：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。

2．重難點(diǎn)及考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面對量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關(guān)考點(diǎn)：

⑴集合與簡易規(guī)律:集合的概念與運(yùn)算、簡易規(guī)律、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面對量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、肯定值不等式、不等式的應(yīng)用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用

⑼直線、平面、簡潔幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

⑽排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

⑾概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

⑿導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

⒀復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

高中數(shù)學(xué)必修1學(xué)問點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念

〖1.1〗集合

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

（2）常用數(shù)集及其記法

表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，

表示實(shí)數(shù)集.

（3）集合與元素間的關(guān)系

對象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

③描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合間的基本關(guān)系（6）子集、真子集、集合相等名稱記號

意義

性質(zhì)示意圖

子集

（或

A中的任一元素都屬于B

(1)AA(2)

(3)若

且

，則

(4)若

且

，則

或

真子集

AB（或BA）

，且B中至少有一元素不屬于A

（1）（A為非空子集）

(2)若

且

，則

集合相等

A中的任一元素都屬于

B，B中的任一元素都屬于A

(1)AB(2)B

A

（7）已知集合有

個元素，則它有

個子集，它有

個真子集，

它有

個非空子集，它有非空真子集.

【1.1.3】集合的基本運(yùn)算（8）交集、并集、補(bǔ)集

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

交集

且

（1）（2）

（3）

并集

或

（1）（2）（3）

補(bǔ)集

1

2

【補(bǔ)充學(xué)問】含肯定值的不等式與一元二次不等式的解法（1）含肯定值的不等式的解法不等式

解集

或

把

看成一個整體，化成，

型不等式來求解

（2）一元二次不等式的解法判別式

二次函數(shù)的圖象

一元二次方程

的根

（其中

無實(shí)根

的解集

或

的解集

〖1.2〗函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念（1）函數(shù)的概念①設(shè)、是兩個非空的數(shù)集，假如根據(jù)某種對應(yīng)法則

，對于集合中任何

一個數(shù)，在集合

中都有唯一確定的數(shù)

和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括

集合

，

以及到

的對應(yīng)法則

）叫做集合

到

的一個函數(shù)，記作

．

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則．

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．（2）區(qū)間的概念及表示法①設(shè)是兩個實(shí)數(shù)，且

，滿意

的實(shí)數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做

；滿意的實(shí)數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做；滿意，或

的實(shí)數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做

，

；滿意

的實(shí)數(shù)的集合分別記做

．

留意：對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必

須

，（前者可以不成立，為空集；而后者必需成立）．

（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①是整式時，定義域是全體實(shí)數(shù)．

②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)．

③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實(shí)數(shù)的集合．

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1．

⑤中，．

⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．

⑦若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域?yàn)?，其?fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出．

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，依據(jù)問題詳細(xì)狀況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類爭論．

⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義．

（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實(shí)上，假如在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀看法：對于比較簡潔的函數(shù)，我們可以通過觀看直接得到值域或最值．

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后依據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．

③判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程

，則在時，由于為實(shí)數(shù)，故必需有

，從而確定函數(shù)的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．

⑧函數(shù)的單調(diào)性法．

【1.2.2】函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．

（6）映射的概念

①設(shè)、是兩個集合，假如根據(jù)某種對應(yīng)法則，對于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合，以

及到的對應(yīng)法則）叫做集合到的映射，記作．

②給定一個集合到集合的映射，且．假如元素和元素對應(yīng)，那么我們把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．

〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)

【1.3.1】單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

（1）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方

法

函數(shù)的單調(diào)性假如對于屬于定義域I內(nèi)某個

區(qū)間上的任意兩個自變量的

值x1、x2,當(dāng)x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減

函數(shù)．（1）利用定義

（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性

（3）利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖

象下降為減）

（4）利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)．

③對于復(fù)合函數(shù)，令，若為增，為增，則

為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減．

（2）打“√”函數(shù)的圖象與性質(zhì)

分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)．

（3）最大（?。┲刀x

①一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋偃绱嬖趯?shí)數(shù)滿意：（1）對于任意的，都有；

（2）存在，使得．那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作．

②一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，假如存在?shí)數(shù)滿意：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我們稱

是函數(shù)的最小值，記作．

【1.3.2】奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

定義圖象判定方法函數(shù)的

性質(zhì)

函數(shù)的奇偶性

假如對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)=－f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)．

（1）利用定義（要先推斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱）

假如對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．

（1）利用定義（要先推斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱）

（2）利用圖象（圖象關(guān)于y軸對稱）

②若函數(shù)

為奇函數(shù)，且在

處有定義，則

．

③奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．〖補(bǔ)充學(xué)問〗函數(shù)的圖象（1）作圖利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③爭論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要精確?????記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．

①平移變換

②伸縮變換

③對稱變換

（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面討論函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，留意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為討論數(shù)量關(guān)系問題供應(yīng)了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．其次章基本初等函數(shù)(Ⅰ)

〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

（1）根式的概念

①假如，且，那么叫做的次方根．當(dāng)是奇數(shù)時，的次方根用符號表示；當(dāng)是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次方根用

符號表示，負(fù)的次方根用符號表示；0的次方根是0；負(fù)數(shù)沒有次方根．

②式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．當(dāng)為奇數(shù)時，為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，．

③根式的性質(zhì)：；當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，

．

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0．

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：且

．0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．留意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

①②

③

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名

指數(shù)函數(shù)

稱

定義函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)

圖象

定義域

值域

過定點(diǎn)

圖象過定點(diǎn)

，即當(dāng)

時，

．

奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)

在

上是減函數(shù)

函數(shù)值的變化狀況

變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在其次象限內(nèi)，越大圖象越低．

〖2.2〗對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算（1）對數(shù)的定義

①若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)．

②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)．

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：．

（2）幾個重要的對數(shù)恒等式

，，．

（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即（其中

…）．

（4）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)假如，那么

①加法：②減法：

③數(shù)乘：④

⑤⑥換底公式：

【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

名稱

對數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)且

叫做對數(shù)函數(shù)

圖象

定義域

值域過定點(diǎn)

圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)

時，

．

奇偶性非奇非偶單調(diào)性

在

上是增函數(shù)在上是減函

數(shù)

函數(shù)值的變化狀況

變化對圖象的影響

在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高．

(6)反函

數(shù)的概念設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

，值域?yàn)椋瑥氖阶?/p>

中解出，得式子

．假如對于在

中的任何一個值，通過式子

，在中都有

唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子

表示是的函數(shù)，函數(shù)

叫

做函數(shù)

的反函數(shù)，記作

，習(xí)慣上改寫成

．

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式中反解出

；

③將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域．

（8）反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．

②函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域．

③若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上．

④一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必需為單調(diào)函數(shù)．

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)．

（2）冪函數(shù)的圖象

（3）冪函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限．

②過定點(diǎn)：全部的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)．

③單調(diào)性：假如，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在上為增函數(shù)．假如，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸．

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)（其中互質(zhì)，和），若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為偶數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù)．

⑤圖象特征：冪函數(shù)，當(dāng)時，若，其圖象在直線

下方，若，其圖象在直線上方，當(dāng)時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方．

〖補(bǔ)充學(xué)問〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：②頂點(diǎn)式：③兩根式：（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點(diǎn)坐標(biāo)時，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時，常使用頂點(diǎn)式．

③若已知拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式求更便利．

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為

頂點(diǎn)坐標(biāo)是．

②當(dāng)時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，．

③二次函數(shù)當(dāng)時，圖象與軸有兩個交點(diǎn)

．

（4）一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分學(xué)問在學(xué)校代數(shù)中雖有

所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析

一元二次方程實(shí)根的分布．

設(shè)一元二次方程的兩實(shí)根為，且．令

，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向：②對稱軸

位置：③判別式：④端點(diǎn)函數(shù)值符號．

①k＜x1≤x2

②x1≤x2＜k

③x1＜k＜x2af(k)＜0

④k1＜x1≤x2＜k2

⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿意k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k

2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種狀況是否也符合

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2

此結(jié)論可直接由⑤推出．

（5）二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

設(shè)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令．

（Ⅰ）當(dāng)時（開口向上）

①若，則②若，則③若，

則

①若，則

②，則

(Ⅱ)當(dāng)時(開口向下)

①若，則②若，則③若，則

①若，則②，則．

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)

的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)的零點(diǎn)：

（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；

（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)．

１）△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個零點(diǎn)．

２）△＝０，方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．

３）△＜０，方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．

高中數(shù)學(xué)必修2學(xué)問點(diǎn)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：定義：有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四

邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對角線的端點(diǎn)字母，

如五棱柱

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；

側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所

圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相像，其相像比

等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的

部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺

幾何特征：①上下底面是相像的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；

④側(cè)面綻開圖是一個矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面綻開圖是一個扇形。

（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面綻開圖是一個弓形。

（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依舊平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；

（3）.畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積

3圓錐的表面積

4圓臺的表面積

5球的表面積

（二）空間幾何體的體積

1柱體的體積

2錐體的體積

3臺體的體積

4球體的體積

其次章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）

（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示

平面的平行四邊形的四個頂點(diǎn)或者相對的兩個頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

（1）公理1：假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

符號表示為

A∈L

B∈L=>Lα

A∈α

B∈α

公理1作用：推斷直線是否在平面內(nèi)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。

符號表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個平面α，

使A∈α、B∈α、C∈